Exercices de Primitives et équations différentielles, Terminale

La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty [$ et y admet donc des primitives, obtenues terme à terme par linéarité, à partir du tableau des primitives usuelles.

Une primitive de $x\mapsto 5x^3$ est $x\mapsto \frac{5}{4}{x}^4$, car ${\left(\frac{5}{4}{x}^4\right)}^{\prime }=5x^3$.

Une primitive de $x\mapsto -\frac{2}{x^2}$, qui s'écrit aussi $-2x^{-2}$, est $x\mapsto \frac{2}{x}$, car ${\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{x^2}$ : le signe négatif de l'exposant entraîne un changement de signe dans la primitive.

Une primitive de $x\mapsto \frac{4}{x}$ sur $]0;+\infty [$ est $x\mapsto 4\ln (x)$.

Une primitive de $x\mapsto \frac{2}{\sqrt{x}}$ est $x\mapsto 4\sqrt{x}$, car ${\left(4\sqrt{x}\right)}^{\prime }=4\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.

Les primitives de $f$ sur $]0;+\infty [$ sont donc les fonctions $F$ définies par :

$F(x)=\frac{5}{4}{x}^4+\frac{2}{x}+4\ln (x)+4\sqrt{x}+C$, avec $C\in \mathbb{R}$.

1. L'équation $y^{\prime }=-7y$ est de la forme $y^{\prime }=ay$ avec $a=-7$. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{-7x}$, où $C$ est un réel quelconque.

2. L'équation $y^{\prime }=\frac{1}{2}y$ est de la forme $y^{\prime }=ay$ avec $a=\frac{1}{2}$. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{\frac{1}{2}x}$, où $C$ est un réel quelconque.

3. Non. La constante $C$ peut prendre une infinité de valeurs distinctes, et deux valeurs différentes de $C$ donnent deux fonctions différentes, car $e^{ax}$ ne s'annule jamais. L'ensemble des solutions est donc une famille infinie de fonctions : c'est seulement en ajoutant une condition initiale que la solution devient unique.

4. Toute solution de $y^{\prime }=-7y$ s'écrit $x\mapsto C{e}^{-7x}$. Puisque $e^{-7x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$, toute solution de cette équation tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ : les courbes des solutions ont toutes l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $+\infty$.