Exercices de Primitives et équations différentielles, Terminale (page 2)

Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^2+x$ ; on rappelle que $u^{\prime }(x)=2x+1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(2x+1){\left(x^2+x\right)}^3$

Montrer que $f$ s'écrit sous la forme $u^{\prime }(x)\times u(x{)}^3$, puis en déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\cos (x)e^{\sin (x)}$

En posant $u(x)=\sin (x)$, montrer que $f$ s'écrit sous la forme $u^{\prime }(x)e^{u(x)}$, puis en déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On considère les deux équations différentielles suivantes, où l'on cherche des fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ :

$(E_1)$ : $y^{\prime }=5y$

$(E_2)$ : $y^{\prime }=-3y$

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=2y-10$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=2x+2$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2+2x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=3x^2+2x$

Deux élèves proposent chacun une primitive de $f$ :

$F_1(x)=x^3+x^2$ et $F_2(x)=x^3+x$

Déterminer, par un calcul de dérivée, laquelle de ces deux fonctions est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, et expliquer précisément pourquoi l'autre ne l'est pas. Peut-on trancher par simple inspection des expressions, sans dériver ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^2{e}^{x^3}$

On pose $u(x)=x^3$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=2x+\frac{3}{x}$

Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $]0;+\infty [$ qui vérifie la condition initiale $F(1)=4$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=3x^2\cos \left(x^3\right)-2\sin (x)$

Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, en traitant séparément chaque terme.

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $2y^{\prime }-8y=0$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $3y^{\prime }=-6y+9$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On étudie la quantité d'une substance radioactive présente dans un échantillon. On note $N(t)$ la masse, en grammes, présente à l'instant $t$, exprimé en années, avec $N(0)=400$. La vitesse de disparition de la substance est proportionnelle à la quantité présente : pour tout $t⩾0$,

$N^{\prime }(t)=-\frac{1}{5}N(t)$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=3x^2+2x{e}^{x^2}+\frac{1}{x}$

Déterminer une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$, en précisant pour chaque terme la forme reconnue.

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=y+2x$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Un manuel annonce que la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=-2x-2$ est une solution particulière de $(E)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\frac{y^{\prime }}{2}+y=6$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, et la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0)=2$.

Dans une région, on note $p(t)$ la proportion de foyers équipés en très haut débit, exprimée en pourcentage, $t$ années après le lancement du déploiement, avec $p(0)=20$. L'évolution est modélisée par l'équation différentielle :

$p^{\prime }(t)=\frac{1}{4}\left(80-p(t)\right)$

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=2y+4x$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. On admet qu'il n'y a pas de solution constante ; l'énoncé fournit la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$p(x)=-2x-1$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{4x+8}{x^2+4x+5}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{2x^3+3x}{x^2+1}$

Le numérateur n'est pas proportionnel à la dérivée du dénominateur : la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ n'apparaît pas directement.

Dans un lac, la population de poissons, exprimée en milliers d'individus, est modélisée par une fonction $y$ du temps $t$, en mois, solution de l'équation différentielle :

$y^{\prime }=-\frac{1}{2}y+6$

On constate qu'à l'instant initial la population vaut $y(0)=20$ (milliers).

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=3y-6$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. On pose $p(x)=2$ et, pour toute solution $f$ de $(E)$, on définit la fonction écart $g=f-p$.

Un patient reçoit un médicament ; on note $y(t)$ la concentration du produit dans le sang, en mg/L, à l'instant $t$, en heures.

Partie A. La concentration vérifie l'équation différentielle :

$(E)$ : $y^{\prime }=-\frac{1}{2}y+2$

avec la condition initiale $y(0)=5$.

1. Résoudre l'équation $(E)$ et déterminer $y(t)$.

Partie B. Avec un autre protocole d'administration, la concentration est modélisée par la fonction $g$ définie par :

$g(t)=4+3e^{-t/5}$

Le traitement doit être interrompu lorsque la concentration repasse en dessous de $6$ mg/L. On dispose du tableau de valeurs suivant :

$t$ (heures) : $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$

$g(t)$ (mg/L) : $7$ ; $6,46$ ; $6,01$ ; $5,65$ ; $5,35$ ; $5,10$

2. Justifier que $g$ est strictement décroissante, puis déterminer, à l'aide du tableau, entre quels instants entiers consécutifs la concentration franchit le seuil de $6$ mg/L.

Un compte d'épargne est rémunéré à $4$ % par an en capitalisation continue ; son titulaire effectue des retraits réguliers totalisant $600$ euros par an. On note $y(t)$ le solde du compte, en euros, après $t$ années ; on admet que $y$ vérifie l'équation différentielle :

$y^{\prime }=\frac{1}{25}y-600$

avec $y(0)=20000$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{3e^x+6x}{e^x+x^2}$

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=y+\sin (x)$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. Il n'y a pas de solution constante ; l'énoncé fournit la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$p(x)=-\frac{1}{2}\left(\cos (x)+\sin (x)\right)$

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x}$

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }=-y+x^2$, où l'on cherche des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. Aucune solution particulière n'est fournie ; on va en construire une.

Partie A. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a\ne 0$, et soit $p$ la fonction constante $p=-\frac{b}{a}$. Démontrer l'équivalence suivante, pour toute fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ :

$f$ est solution de l'équation $y^{\prime }=ay+b$ si et seulement si $h=f-p$ est solution de l'équation homogène $y^{\prime }=ay$

Partie B. Dans un lac, la masse de sel dissoute, en kilogrammes, à l'instant $t$ (en années) est modélisée par une fonction $S$ vérifiant :

$S^{\prime }=-\frac{1}{10}S+20$, avec $S(0)=50$

En utilisant la partie A, résoudre complètement cette équation, puis interpréter dans le contexte la limite de $S(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a\ne 0$, et soient $x_0$ et $y_0$ deux réels donnés. On considère le problème suivant : trouver une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que

$f^{\prime }=af+b$ et $f(x_0)=y_0$

En admettant que les solutions de l'équation $y^{\prime }=ay$ sont exactement les fonctions $x\mapsto C{e}^{ax}$, $C\in \mathbb{R}$, démontrer que ce problème admet une solution et une seule.

Partie A. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. En utilisant le fait qu'une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, démontrer l'équivalence :

une fonction $G$, dérivable sur $I$, est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement s'il existe un réel $C$ tel que $G=F+C$ sur $I$

Partie B. Application : $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction sur $\mathbb{R}$ telles que $F(2)=5$ et $G(2)=-1$. De plus, $F(x)=x^2+1$. Exprimer $G(x)$ en fonction de $x$, puis vérifier la cohérence du résultat.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<0$, et soit $C$ un réel quelconque.

Partie 1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{3x-2}{3x^2-4x+9}$

Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, après avoir justifié que le dénominateur ne s'annule jamais.

Partie 2. Dans une serre, la concentration en dioxyde de carbone, en mg par mètre cube, à l'instant $t$ en heures, est modélisée par une fonction $C$ vérifiant :

$C^{\prime }=-\frac{1}{2}C+2$, avec $C(0)=6$

Résoudre cette équation différentielle et exprimer $C(t)$.

Partie 3. Une alarme se déclenche dès que la concentration descend en dessous de $4,5$ mg par mètre cube. Déterminer l'instant exact auquel la concentration atteint $4,5$ : on donnera la valeur exacte à l'aide du logarithme népérien, puis un arrondi au centième d'heure.

Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(4x-4)e^{2x}\text{et}F(x)=(2x-3)e^{2x}$$Déterminer si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=6x^2-4x+5-\frac{3}{x^2}$$Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]0;+\infty [$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(3x^2+2)(x^3+2x-1{)}^4$$Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On considère l'équation différentielle :$$(E):y^{\prime }=-3y+12$$Démontrer que la fonction constante $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=4$ est une solution de l'équation $(E)$.

On considère l'équation différentielle :$$(E):y^{\prime }=\frac{1}{3}y$$Donner la forme générale des solutions de l'équation $(E)$ sur $\mathbb{R}$.