Exercices de Primitives et équations différentielles en maths Terminale (page 3)

82. $Reconnaissance directe d'un quotient logarithmique$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2}

Déterminer une primitive

F

f

sur

R

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83. $Ajustement d'un facteur devant une exponentielle composée$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = x^{2} e^{- x^{3}}

Déterminer une primitive

F

f

sur

R

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84. $Primitive satisfaisant une condition initiale donnée$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = 3 x^{2} - \frac{2}{x}

Déterminer la primitive

F

f

sur

] 0; + \infty [

qui vérifie la condition

F (1) = 5

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85. $Résolution d'une équation homogène avec réécriture$

On considère l'équation différentielle :

(E) : 2 y^{'} + 5 y = 0

Q1-Exprimer

y^{'}

en fonction de

y

et donner la forme générale des solutions de

(E)

sur

R

Q2-Déterminer l'unique solution

f

(E)

vérifiant la condition initiale

f (0) = - 3

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86. $Résolution d'une équation différentielle affine avec condition initiale$

On considère l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = - 2 y + 6

Q1-Déterminer une solution particulière constante de

(E)

Q2-Donner l'ensemble des solutions de

(E)

sur

R

Q3-Déterminer la solution

f

(E)

telle que

f (0) = 1

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87. $Modélisation de l'élimination d'une substance$

Après l'injection d'un médicament, la concentration

C (t)

(en

mg \cdot L^{- 1}

) de la substance active dans le sang en fonction du temps

t

(en heures) vérifie l'équation différentielle :

C^{'} (t) = - 0, 15 C (t)

À l'instant

t = 0

, la concentration initiale est de

20 mg \cdot L^{- 1}

Q1-Déterminer l'expression de

C (t)

pour tout

t ⩾ 0

Q2-Calculer la concentration sanguine au bout de

4

heures, arrondie au dixième.

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88. $Primitives de fonctions trigonométriques composées$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = 4 cos (2 x - \frac{π}{3}) - 3 sin (3 x)

Déterminer une primitive

F

f

sur

R

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89. $Forme composée avec racine carrée au dénominateur$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 9}

Déterminer une primitive

F

f

sur

R

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90. $Combinaison linéaire de trois formes usuelles et composées$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = 5 e^{- x} + \frac{4}{2 x + 1} - 6 x

Déterminer une primitive

F

f

sur

] 0; + \infty [

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91. $Contrôle d'une solution particulière affine$

On considère l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = 3 y - 6 x + 5

Démontrer que la fonction affine

p

définie sur

R

par

p (x) = 2 x - 1

est une solution particulière de l'équation

(E)

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92. $Primitive d'une exponentielle composée avec condition initiale$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = (2 x + 1) e^{x^{2} + x}

Déterminer l'unique primitive

F

f

sur

R

vérifiant la condition

F (0) = 4

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93. $Équation affine à réécrire et comportement asymptotique$

On considère l'équation différentielle :

(E) : 3 y^{'} - 2 y = 8

Q1-Mettre

(E)

sous la forme

y^{'} = a y + b

et déterminer l'ensemble de ses solutions sur

R

Q2-Déterminer la solution

f

(E)

vérifiant la condition initiale

f (0) = - 2

Q3-Déterminer les limites de

f

- \infty

et en

+ \infty

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94. $Refroidissement d'un liquide dans une pièce tempérée$

Un récipient contenant un liquide chaud est placé dans une salle maintenue à température constante de

20^{\circ} C

.
D'après la loi de refroidissement de Newton, la température

T (t)

(en degrés Celsius) du liquide au temps

t

(en minutes) vérifie l'équation différentielle :

T^{'} (t) = - 0, 05 (T (t) - 20)

La température initiale du liquide est

T (0) = 80^{\circ} C

Q1-Réécrire l'équation sous la forme

T^{'} (t) = a T (t) + b

, puis déterminer toutes ses solutions sur

[0; + \infty [

Q2-En utilisant la condition initiale, montrer que pour tout

t ⩾ 0

T (t) = 60 e^{- 0, 05 t} + 20

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95. $Résolution avec solution particulière affine fournie$

On considère l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = - y + 2 x + 1

Q1-Démontrer que la fonction

p

définie sur

R

par

p (x) = 2 x - 1

est une solution particulière de

(E)

Q2-Démontrer qu'une fonction

g

est solution de

(E)

si et seulement si la fonction

h = g - p

est solution de l'équation différentielle

(E_{0}) : y^{'} = - y

Q3-En déduire l'ensemble des solutions de l'équation

(E)

sur

R

Q4-Déterminer l'unique solution

f

(E)

vérifiant

f (0) = 3

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96. $Réécriture d'une puissance négative avant détermination d'une primitive$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = \frac{4 x - 6}{( x ^{2} - 3 x + 5 ) ^{3}}

Q1-Justifier que pour tout réel

x

x^{2} - 3 x + 5 > 0

Q2-Faire apparaître une forme composée du type

k \times u^{'} (x) (u (x))^{n}

où

k

est une constante et

n

un entier relatif.

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97. $Cinétique d'une perfusion et franchissement d'un seuil$

Lors d'une perfusion intraveineuse continue, la concentration

C (t)

d'un produit (en

g \cdot L^{- 1}

) à l'instant

t

(en heures) vérifie l'équation différentielle :

C^{'} (t) = - 0, 2 C (t) + 1, 2

À l'instant initial

t = 0

, la concentration est nulle :

C (0) = 0

Q1-Résoudre cette équation différentielle et déterminer l'expression de

C (t)

pour tout

t ⩾ 0

Q2-Déterminer la concentration limite du produit dans l'organisme lorsque

t \to + \infty

Q3-Déterminer, par un calcul algébrique faisant intervenir le logarithme népérien, la valeur exacte de l'instant

t_{1}

à partir duquel la concentration atteint

4 g \cdot L^{- 1}

. Donner une valeur approchée de

t_{1}

à la minute près.

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98. $Réduction à l'équation homogène par fonction écart$

Soit l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = 4 y - 12

Q1-Déterminer la solution particulière constante

p

de l'équation

(E)

Q2-Soit

f

une fonction dérivable sur

R

. On pose

g = f - p

. Démontrer que

f

est solution de

(E)

si et seulement si

g

est solution de l'équation

(E_{0}) : y^{'} = 4 y

Q3-En déduire la résolution complète de

(E_{0})

, puis l'ensemble des solutions de

(E)

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99. $Reconnaissance d'un quotient logarithmique après ajustement$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par :

f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} + 4 x + 7}

Q1-Justifier que pour tout réel

x

x^{2} + 4 x + 7 > 0

Q2-Déterminer une primitive

F

f

sur

R

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100. $Tension aux bornes d'un condensateur en régime transitoire$

Dans un circuit électrique composé d'un résistor de résistance

R

et d'un condensateur de capacité

C

alimenté par une tension constante

E

, la tension

u (t)

aux bornes du condensateur (en volts) à l'instant

t

(en secondes) vérifie l'équation différentielle :

u^{'} (t) + 50 u (t) = 250

Le condensateur est initialement déchargé :

u (0) = 0

Q1-Résoudre cette équation différentielle et déterminer l'expression de

u (t)

pour tout

t ⩾ 0

Q2-Déterminer la valeur de la tension limite en régime permanent (lorsque

t \to + \infty

Q3-Déterminer l'instant

t_{0}

auquel le condensateur a atteint

90 %

de sa tension limite (valeur exacte avec

ln

, puis valeur approchée au millième de seconde).

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101. $Équation différentielle avec second membre trigonométrique$

On considère l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = 2 y + cos (x) - 7 sin (x)

Q1-Démontrer que la fonction

p

définie sur

R

par

p (x) = cos (x) + 3 sin (x)

est une solution particulière de

(E)

Q2-Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle

(E)

sur

R

Q3-Déterminer l'unique solution

f

(E)

qui s'annule en

0

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102. $Dépréciation d'un équipement et seuil de renouvellement$

La valeur comptable

V (t)

(en euros) d'un matériel industriel au cours du temps

t

(en années) est modélisée par l'équation différentielle :

V^{'} (t) = - 0, 15 V (t) + 600

À l'achat (

t = 0

), le matériel a coûté

20000

euros.

Q1-Résoudre l'équation différentielle et déterminer

V (t)

pour tout

t ⩾ 0

Q2-Déterminer la valeur minimale vers laquelle tend le matériel au bout d'un temps très long.

Q3-L'entreprise décide de remplacer le matériel lorsque sa valeur devient inférieure à

8000

euros. Déterminer, par un calcul avec le logarithme népérien, la date à laquelle le renouvellement doit avoir lieu (valeur exacte, puis arrondie au mois près).

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103. $Démonstration de cours sur l'écart de deux primitives$

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

R

Q1-Soient

F

G

deux primitives de

f

sur

I

. Démontrer que la fonction

H = F - G

est constante sur

I

Q2-En déduire que toute primitive de

f

sur

I

est de la forme

x \mapsto F (x) + C

, où

C

est une constante réelle.

Q3-Expliquer pourquoi l'hypothèse «

I

est un intervalle » est essentielle en donnant un exemple sur

R^{*}

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104. $Démonstration de cours sur la résolution de l'équation linéaire homogène$

Soit

a

un nombre réel donné. On considère l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = a y

Le but de l'exercice est de démontrer que les solutions de

(E)

sur

R

sont exactement les fonctions de la forme

x \mapsto C e^{a x}

, où

C \in R

Q1-Soit

C \in R

. Vérifier que la fonction

u

définie sur

R

par

u (x) = C e^{a x}

est solution de l'équation

(E)

Q2-Soit

f

une solution quelconque de

(E)

sur

R

g (x) = f (x) e^{- a x}

. Justifier que

g

est dérivable sur

R

et calculer sa dérivée

g^{'}

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105. $Recherche autonome d'une solution particulière polynomiale du second degré$

On considère l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = - 2 y + 4 x^{2} - 2 x + 5

Q1-Déterminer des réels

a

b

c

tels que la fonction polynomiale

p

définie sur

R

par

p (x) = a x^{2} + b x + c

soit une solution particulière de

(E)

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106. $Démonstration autonome d'équivalence et modélisation d'un polluant$

Dans un bassin industriel, la quantité

q (t)

(en kilogrammes) d'un polluant à l'instant

t

(en jours) vérifie l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = - 0, 5 y + 2

Q1-Démontrer que la fonction constante

p : t \mapsto 4

est solution de

(E)

Q2-Démontrer rigoureusement qu'une fonction

f

est solution de

(E)

si et seulement si la fonction

h = f - 4

est solution de l'équation

(E_{0}) : y^{'} = - 0, 5 y

Q3-À l'instant initial

t = 0

, le bassin contient

10 kg

de polluant. Déterminer l'expression de

q (t)

pour tout

t ⩾ 0

Q4-Déterminer la limite de

q (t)

+ \infty

. Quel niveau d'équilibre de pollution s'établit à long terme ?

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107. $Stabilité des solutions de l'équation homogène par combinaison linéaire$

Soit

a \in R

. On note

S

l'ensemble des solutions sur

R

de l'équation différentielle :

(E) : y^{'} = a y

Q1-Soient

f \in S

g \in S

. Démontrer que la fonction somme

f + g

appartient à

S

Q2-Soient

f \in S

λ \in R

. Démontrer que la fonction

λ f

appartient à

S

Q3-En déduire que pour tous réels

λ, μ

et toutes solutions

f, g \in S

, la fonction

λ f + μg

est encore solution de

(E)

Q4-Ce résultat reste-t-il vrai pour l'équation

y^{'} = a y + b

lorsque

b \neq = 0

? Justifier.

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108. $Synthèse liant primitive composée, équation différentielle et seuil$

Cet exercice comporte deux parties indépendantes (la question 1, puis les questions 2 et 3) permettant de mobiliser les outils d'analyse du chapitre.

Q1-Déterminer une primitive

G

sur

] 1; + \infty [

de la fonction

g

définie par

g (x) = \frac{ln ( x )}{x}

Q2-Résoudre sur

[0; + \infty [

l'équation différentielle

(E) : y^{'} = - 0, 2 y + 10

avec

y (0) = 100

Q3-Déterminer la valeur exacte de l'instant

t_{1}

pour lequel

y (t_{1}) = 60

, en détaillant le calcul algébrique faisant intervenir le logarithme népérien.

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82.Reconnaissance directe d'un quotient logarithmique

83.Ajustement d'un facteur devant une exponentielle composée

84.Primitive satisfaisant une condition initiale donnée

85.Résolution d'une équation homogène avec réécriture

86.Résolution d'une équation différentielle affine avec condition initiale

87.Modélisation de l'élimination d'une substance

88.Primitives de fonctions trigonométriques composées

89.Forme composée avec racine carrée au dénominateur

90.Combinaison linéaire de trois formes usuelles et composées

91.Contrôle d'une solution particulière affine

92.Primitive d'une exponentielle composée avec condition initiale

93.Équation affine à réécrire et comportement asymptotique

94.Refroidissement d'un liquide dans une pièce tempérée

95.Résolution avec solution particulière affine fournie

96.Réécriture d'une puissance négative avant détermination d'une primitive

97.Cinétique d'une perfusion et franchissement d'un seuil

98.Réduction à l'équation homogène par fonction écart

99.Reconnaissance d'un quotient logarithmique après ajustement

100.Tension aux bornes d'un condensateur en régime transitoire

101.Équation différentielle avec second membre trigonométrique

102.Dépréciation d'un équipement et seuil de renouvellement

103.Démonstration de cours sur l'écart de deux primitives

104.Démonstration de cours sur la résolution de l'équation linéaire homogène

105.Recherche autonome d'une solution particulière polynomiale du second degré

106.Démonstration autonome d'équivalence et modélisation d'un polluant

107.Stabilité des solutions de l'équation homogène par combinaison linéaire

108.Synthèse liant primitive composée, équation différentielle et seuil

82. $Reconnaissance directe d'un quotient logarithmique$

83. $Ajustement d'un facteur devant une exponentielle composée$

84. $Primitive satisfaisant une condition initiale donnée$

85. $Résolution d'une équation homogène avec réécriture$

86. $Résolution d'une équation différentielle affine avec condition initiale$

87. $Modélisation de l'élimination d'une substance$

88. $Primitives de fonctions trigonométriques composées$

89. $Forme composée avec racine carrée au dénominateur$

90. $Combinaison linéaire de trois formes usuelles et composées$

91. $Contrôle d'une solution particulière affine$

92. $Primitive d'une exponentielle composée avec condition initiale$

93. $Équation affine à réécrire et comportement asymptotique$

94. $Refroidissement d'un liquide dans une pièce tempérée$

95. $Résolution avec solution particulière affine fournie$

96. $Réécriture d'une puissance négative avant détermination d'une primitive$

97. $Cinétique d'une perfusion et franchissement d'un seuil$

98. $Réduction à l'équation homogène par fonction écart$

99. $Reconnaissance d'un quotient logarithmique après ajustement$

100. $Tension aux bornes d'un condensateur en régime transitoire$

101. $Équation différentielle avec second membre trigonométrique$

102. $Dépréciation d'un équipement et seuil de renouvellement$

103. $Démonstration de cours sur l'écart de deux primitives$

104. $Démonstration de cours sur la résolution de l'équation linéaire homogène$

105. $Recherche autonome d'une solution particulière polynomiale du second degré$

106. $Démonstration autonome d'équivalence et modélisation d'un polluant$

107. $Stabilité des solutions de l'équation homogène par combinaison linéaire$

108. $Synthèse liant primitive composée, équation différentielle et seuil$