Exercices de Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Terminale

Dans le repère orthonormé, on donne la droite $\Delta$ de représentation paramétrique :$$\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=3-t\end{array},t\in \mathbb{R}$$et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+y-z+1=0$.

1. Montrer que $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$.
2. Déterminer le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$.

Dans le repère orthonormé, on donne :
- La droite ${\Delta }_1$ passant par $A(1,0,0)$ de vecteur directeur $\vec{u}=(1,1,0)$
- La droite ${\Delta }_2$ passant par $B(0,1,2)$ de vecteur directeur $\vec{v}=(0,1,-1)$

1. Écrire les représentations paramétriques de ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$.
2. ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$ sont-elles parallèles ? Coplanaires ?
3. Déterminer les positions relatives de ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $A(1;2;-3)$ et le vecteur $\vec{u}(2;-1;2)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=3-4t\\ y=-1+t\\ z=5+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. 1. Donner les coordonnées d'un point de $D$ et celles d'un vecteur directeur de $D$. 2. La droite $D$ passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $A(2;1;-3)$ et le vecteur $\vec{n}(1;2;-2)$. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x-3y+z-5=0$. 1. Donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. 2. Les points $A(1;1;6)$ et $B(2;0;3)$ appartiennent-ils au plan $\mathcal{P}$ ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\\ z=5+t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. Le point $B(3;-4;1)$ appartient-il à la droite $D$ ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x-2y+3z+4=0$. Parmi les points $A(1;1;1)$, $B(4;1;-2)$ et $C(0;1;3)$, déterminer ceux qui appartiennent au plan $\mathcal{P}$. Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-2t\\ z=4+3t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. Les points $B(4;-5;10)$ et $C(3;-3;7)$ appartiennent-ils à la droite $D$ ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;0;2)$ et $B(3;4;-2)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;3)$. 1. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan. 2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ d'équations cartésiennes respectives $x+2y-2z+1=0$ et $y+z-3=0$. Démontrer que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont perpendiculaires.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ d'équations cartésiennes respectives $x+2y-2z+4=0$ et $2x+4y-4z-1=0$. Démontrer que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont parallèles, puis déterminer s'ils sont confondus ou strictement parallèles.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-3t\\ z=-1+t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+y+2z-8=0$. Démontrer que la droite $D$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$, puis préciser si $D$ est incluse dans $\mathcal{P}$ ou strictement parallèle à $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=1+t\\ z=4-4t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x-y+4z-6=0$. Démontrer que la droite $D$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+y+z-5=0$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $D$ et du plan $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x-2y+2z+1=0$ et le point $A(2;3;-1)$. 1. Vérifier que le point $A$ n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$. 2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.

Une nacelle de manège se déplace en ligne droite entre son point de chargement $A(-2;1;4)$ et son point de déchargement $B(4;3;-2)$, dans un espace muni d'un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. Déterminer une représentation paramétrique de la droite supportant le déplacement de la nacelle.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1+3t\\ z=-2+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x+y-z-4=0$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $D$ et du plan $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+2y+z-5=0$. 1. Justifier que la droite $D$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants. 2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $A(2;3;4)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+y+z-6=0$. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$, puis la distance du point $A$ au plan.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=3t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le point $A(3;2;7)$. 1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $D$. 2. En déduire la distance du point $A$ à la droite $D$.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $2$, muni du repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ dans lequel $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$ et $E(0;0;2)$. 1. Donner les coordonnées des sommets $C$, $F$, $G$ et $H$. 2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;1;0)$ est normal au plan $(BDH)$. 3. En déduire une équation cartésienne du plan $(BDH)$. 4. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AG)$, puis déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDH)$. Que représente ce point pour le cube ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le tétraèdre $ABCD$ avec $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;4;0)$ et $D(0;0;4)$. Soit $\Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{n}(1;1;1)$. 1. Démontrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(BCD)$. 2. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 3. Déterminer les coordonnées du point $K$, intersection de $\Delta$ et du plan $(BCD)$. 4. En déduire la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.

L'espace est rapporté à un repère. On considère les vecteurs $\vec{u}(1;2;-1)$, $\vec{v}(2;1;3)$ et $\vec{w}(3;3;m)$, où $m$ est un réel. 1. Justifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. 2. Déterminer pour quelle valeur de $m$ le vecteur $\vec{w}$ s'écrit $a\vec{u}+b\vec{v}$ avec $a$ et $b$ réels ; donner alors les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$. 3. En déduire, suivant les valeurs de $m$, si le triplet $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ forme une base de l'espace.

Deux drones de surveillance évoluent en ligne droite dans un espace muni d'un repère orthonormé ; le paramètre désigne le temps, en minutes, les deux drones décollant à l'instant $0$. Le drone 1 suit la droite $D_1$ : $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=t\end{array}$, $t⩾0$, et le drone 2 suit la droite $D_2$ : $\{\begin{array}{l}x=5+s\\ y=1+s\\ z=2+s\end{array}$, $s⩾0$. 1. Les trajectoires des deux drones se coupent-elles ? Si oui, en quel point ? 2. Les deux drones risquent-ils de se croiser, c'est-à-dire d'occuper un même point au même instant ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites $D_1$ : $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=3t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et $D_2$ : $\{\begin{array}{l}x=2s\\ y=2-s\\ z=5-2s\end{array}$, $s\in \mathbb{R}$. Déterminer la position relative de $D_1$ et $D_2$ (parallèles, sécantes ou non coplanaires) en justifiant chaque étape.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $A(-3;0;2)$, qui n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x+y-2z+1=0$. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$, puis la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=2-t\\ z=1+t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x-y+2z-11=0$. 1. Justifier que la droite $D$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants. 2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Deux drones de livraison quittent leur base à l'instant $0$ et volent en ligne droite dans un espace muni d'un repère orthonormé ; le paramètre $\tau$ désigne, en minutes, le temps écoulé depuis le décollage, pour chacun des deux appareils. Drone 1 : $\{\begin{array}{l}x=2\tau \\ y=1+\tau \\ z=5-2\tau \end{array}$ ; drone 2 : $\{\begin{array}{l}x=2+\tau \\ y=5-\tau \\ z=-1+\tau \end{array}$. 1. Expliquer pourquoi, pour étudier un éventuel croisement des deux drones, on peut égaliser les positions avec le même paramètre $\tau$, alors que ce serait une erreur pour une simple étude d'intersection géométrique de deux droites. 2. Déterminer si les deux drones occupent un même point au même instant et conclure sur le risque de collision.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soient $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur non nul et $A(x_0;y_0;z_0)$ un point de l'espace ; on note $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$. 1. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$, où $d$ est un réel à exprimer en fonction de $a$, $b$, $c$, $x_0$, $y_0$ et $z_0$. 2. Réciproquement, soient $a$, $b$, $c$ trois réels non tous nuls et $d$ un réel. Démontrer que l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan admettant $\vec{n}(a;b;c)$ pour vecteur normal.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $O(0;0;0)$, $A(2;3;1)$, $B(3;1;1)$ et $C(2;-1;3)$. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2;1;2)$ est normal au plan $(ABC)$. 2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, hauteur du tétraèdre $OABC$ issue du sommet $O$. 4. Déterminer les coordonnées du pied $H$ de cette hauteur. 5. En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;-1;2)$, ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+y-z-4=0$. Démontrer qu'il existe un unique point de la droite $D$ appartenant au plan $\mathcal{P}$, puis déterminer ses coordonnées.

L'espace est muni d'un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. Une trémie de stockage a la forme du tétraèdre $OABC$, où $O$ est l'origine du repère et où $A(1;1;1)$, $B(2;1;0)$ et $C(2;-3;2)$. 1. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, puis calculer son aire. 2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2;1;2)$ est normal au plan $(ABC)$ et en déduire une équation cartésienne de ce plan. 3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $O$ sur le plan $(ABC)$, puis la distance $OH$. 4. En déduire le volume de la trémie. 5. On doit stocker 1,5 mètre cube de granulats dans cette trémie : est-ce possible ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D_1$ : $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et, pour tout réel $m$, la droite $D_m$ : $\{\begin{array}{l}x=2+ms\\ y=s\\ z=1+s\end{array}$, $s\in \mathbb{R}$. Déterminer, suivant les valeurs du réel $m$, la position relative des droites $D_1$ et $D_m$.

Deux avions effectuent des vols en ligne droite, repérés dans un repère orthonormé dont l'unité est le kilomètre. Le premier suit la trajectoire $T_1$ : $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$ ; le second suit la trajectoire $T_2$ : $\{\begin{array}{l}x=3+2s\\ y=-2s\\ z=2+s\end{array}$, $s\in \mathbb{R}$. 1. Démontrer que les trajectoires ne sont ni parallèles ni sécantes. 2. Vérifier que le vecteur $\vec{n}(1;2;2)$ est orthogonal aux vecteurs directeurs des deux trajectoires. 3. En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ contenant $T_1$ et parallèle à $T_2$, puis vérifier que $T_2$ n'est pas incluse dans $\mathcal{P}$. 4. Déterminer la distance minimale entre les deux trajectoires. 5. La réglementation impose une distance minimale de 2 kilomètres entre deux trajectoires : est-elle respectée ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;-1;2)$, $B(3;1;0)$ et $C(2;4;-1)$, ainsi que l'origine $O$ du repère. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;1;2)$ est normal au plan $(ABC)$. 2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $O$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$. 4. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(ABC)$, puis la distance $OH$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $D$ admettant la représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, ainsi que les points $A(3;1;4)$ et $B(-1;3;2)$. Démontrer qu'il existe un unique point de la droite $D$ équidistant des points $A$ et $B$, puis déterminer ses coordonnées.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le point $C(2,-1,4)$ et le vecteur $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $C$ et de vecteur directeur $\vec{v}$.