Exercices de Représentations paramétriques et équations cartésiennes en maths Terminale (page 2)

42. $Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le point

E (3, - 2, 1)

et le vecteur

n 2 - 1 4

.
Déterminer une équation cartésienne du plan

P

passant par

E

et de vecteur normal

n

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43. $Vecteur normal et appartenance de points à un plan$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le plan

P

d'équation cartésienne :

3 x - 4 y + 2 z - 7 = 0

Q1-Donner les coordonnées d'un vecteur normal

n

au plan

P

Q2-Les points

O (0, 0, 0)

K (1, - 1, 0)

appartiennent-ils au plan

P

? Justifier.

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44. $Appartenance de points à une droite paramétrée$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

D

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = 1 + 3 t z = - 4 + 2 t

(

t \in R

).

Déterminer si chacun des points

R (0, 7, 0)

S (4, - 5, - 8)

appartient à la droite

D

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45. $Vérification de l'appartenance de points à un plan cartésien$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le plan

Q

d'équation cartésienne :

2 x + 5 y - z + 6 = 0

.

Déterminer si les points

M (1, - 1, 3)

N (- 3, 0, 0)

appartiennent au plan

Q

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46. $Droite passant par l'origine et point de paramètre donné$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

D

passant par l'origine

O (0, 0, 0)

et de vecteur directeur

u 5 - 2 1

Q1-Déterminer une représentation paramétrique de la droite

D

Q2-Déterminer les coordonnées du point

T

de la droite

D

associé à la valeur du paramètre

t = - 3

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47. $Équation cartésienne d'un plan avec composante normale nulle$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le point

A (4, 1, - 3)

et le vecteur

n 03 - 2

Q1-Déterminer une équation cartésienne du plan

P

passant par

A

et de vecteur normal

n

Q2-Préciser la position relative du plan

P

par rapport à l'axe des abscisses

(O x)

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48. $Représentation paramétrique de la droite passant par deux points$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on donne les points

A (- 2, 3, 1)

B (4, - 1, 5)

Q1-Déterminer les coordonnées du vecteur

A B

Q2-En déduire une représentation paramétrique de la droite

(A B)

Q3-Le point

C (1, 1, 3)

appartient-il à la droite

(A B)

? Justifier.

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49. $Équation cartésienne d'un plan défini par trois points non alignés$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on donne les points

A (1, 0, 2)

B (2, 2, 1)

C (0, 1, 3)

Q1-Démontrer que les points

A

B

C

définissent un unique plan noté

(A B C)

Q2-Démontrer que le vecteur

n 101

est un vecteur normal au plan

(A B C)

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50. $Perpendicularité de deux plans donnés par leurs équations cartésiennes$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les plans

P_{1}

P_{2}

d'équations cartésiennes respectives :

P_{1} : 2 x - 3 y + z - 4 = 0

P_{2} : 3 x + y - 3 z + 5 = 0

.

Démontrer que les plans

P_{1}

P_{2}

sont perpendiculaires.

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51. $Plans parallèles et distinction entre strictement parallèles et confondus$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les deux plans

P

Q

d'équations respectives :

P : 4 x - 6 y + 2 z - 5 = 0

Q : - 2 x + 3 y - z + 7 = 0

Q1-Démontrer que les plans

P

Q

sont parallèles.

Q2-Préciser s'ils sont confondus ou strictement parallèles.

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52. $Droite strictement parallèle à un plan$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

d

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 - t z = - 2 + 4 t

(

t \in R

),
et le plan

P

d'équation cartésienne

3 x + 2 y - z + 1 = 0

.

Démontrer que la droite

d

est strictement parallèle au plan

P

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53. $Droite incluse dans un plan$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

Δ

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 3 t y = 2 + t z = 1 + 5 t

(

t \in R

),
et le plan

P

d'équation cartésienne

2 x + 4 y - 2 z - 4 = 0

.

Démontrer que la droite

Δ

est incluse dans le plan

P

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54. $Perpendicularité d'une droite et d'un plan$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

D

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - 4 t y = 1 + 6 t z = - 3 - 2 t

(

t \in R

),
et le plan

P

d'équation cartésienne

2 x - 3 y + z + 8 = 0

.

Démontrer que la droite

D

est perpendiculaire au plan

P

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55. $Point d'intersection d'une droite et d'un plan sécants$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

D

définie par :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 1 + t z = 3 - t

(

t \in R

),
et le plan

P

d'équation cartésienne

x + 2 y + 3 z - 11 = 0

.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection

I

de la droite

D

et du plan

P

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56. $Droite normale à un plan passant par un point donné$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le point

S (2, 4, - 1)

et le plan

P

d'équation cartésienne :

5 x - y + 2 z - 3 = 0

.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite

Δ

perpendiculaire au plan

P

et passant par le point

S

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57. $Point d'impact d'un rayon lumineux sur une paroi plane$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, un faisceau lumineux rectiligne part du point

E (0, 2, 5)

et se propage dans la direction du vecteur

u 1 - 1 - 2

.
Une paroi plane est modélisée par le plan

P

d'équation cartésienne :

x + y + z - 1 = 0

.

Déterminer les coordonnées du point d'impact

M

du faisceau sur la paroi.

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58. $Intersection d'une droite et d'un plan avec justification préalable de sécance$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le plan

P

d'équation cartésienne

2 x + y - z + 5 = 0

, et la droite

D

passant par le point

A (3, - 2, 1)

et dirigée par le vecteur

u 1 - 2 3

Q1-Démontrer que la droite

D

et le plan

P

sont sécants en un unique point.

Q2-Déterminer les coordonnées exactes de leur point d'intersection

I

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59. $Projeté orthogonal d'un point sur un plan et calcul de distance$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le point

A (1, 4, 2)

et le plan

P

d'équation cartésienne :

x - 2 y + 2 z - 6 = 0

Q1-Donner une représentation paramétrique de la droite

Δ

passant par

A

et perpendiculaire au plan

P

Q2-Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal

H

du point

A

sur le plan

P

Q3-Calculer la distance du point

A

au plan

P

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60. $Projeté orthogonal d'un point sur une droite paramétrée et distance$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la droite

d

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 2 - t z = 3 + 2 t

(

t \in R

),
et le point extérieur

M (6, 2, 7)

Q1-Exprimer les coordonnées du vecteur

M P

en fonction de

t

, où

P

désigne un point quelconque de la droite

d

Q2-Déterminer la valeur du réel

t

pour laquelle le vecteur

M P

est orthogonal à la droite

d

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61. $Pavé droit, plan diagonal et intersection avec la grande diagonale$

Dans un pavé droit

A B C D E F G H

, les arêtes ont pour longueurs

A B = 3

A D = 4

A E = 2

.
On se place dans le repère orthonormé

(A; i, j, k)

défini par

i = \frac{1}{3} A B

j = \frac{1}{4} A D

k = \frac{1}{2} A E

.
Dans ce repère, les sommets ont pour coordonnées :

A (0, 0, 0)

B (3, 0, 0)

D (0, 4, 0)

E (0, 0, 2)

G (3, 4, 2)

Q1-Démontrer que le vecteur

n 436

est normal au plan

(B D E)

, et en déduire une équation cartésienne de ce plan.

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62. $Pyramide régulière, équation d'une face latérale et droite orthogonale$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère une pyramide régulière de sommet

S (0, 0, 4)

dont la base carrée

A B C D

est située dans le plan horizontal

z = 0

, avec

A (2, 2, 0)

B (- 2, 2, 0)

Q1-Déterminer une équation cartésienne du plan

(S A B)

contenant une face latérale de la pyramide.

Q2-Déterminer une représentation paramétrique de la droite

Δ

passant par l'origine

O (0, 0, 0)

et perpendiculaire au plan

(S A B)

Q3-Déterminer les coordonnées du point d'intersection

H

de la droite

Δ

et du plan

(S A B)

, puis en déduire la distance de l'origine au plan

(S A B)

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63. $Traduction par un système linéaire de la coplanarité de quatre points$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les points

A (1, 1, 0)

B (2, - 1, 3)

C (0, 2, - 1)

et le point

D_{k} (3, 0, k)

, où

k

est un paramètre réel.

Q1-Déterminer les coordonnées des vecteurs

A B

A C

A D_{k}

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64. $Trajectoires de deux satellites, point d'intersection et risque de collision$

Dans un repère orthonormé, deux satellites

S_{1}

S_{2}

décrivent des trajectoires rectilignes. Le temps est mesuré en secondes à partir d'un instant initial

t = 0

.
La trajectoire du satellite

S_{1}

est modélisée par :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 2 - t z = - 1 + 3 t

(

t ⩾ 0

),
et celle du satellite

S_{2}

par :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 5 + 4 u y = 7 - 3 u z = - 6 + 4 u

(

u ⩾ 0

Q1-Démontrer que les deux trajectoires sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection

P

Q2-Les deux satellites risquent-ils d'entrer en collision ? Justifier la réponse.

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65. $Position relative de deux droites non coplanaires$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les deux droites

d_{1}

d_{2}

de représentations paramétriques respectives :

d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 - t z = 3 + 2 t

(

t \in R

) et

d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 s y = 1 + s z = - 1 + s

(

s \in R

Q1-Justifier que les droites

d_{1}

d_{2}

ne sont pas parallèles.

Q2-Démontrer que les droites

d_{1}

d_{2}

ne sont pas sécantes.

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66. $Projeté orthogonal de l'origine sur un plan incliné$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le plan

P

d'équation cartésienne :

2 x - y + 2 z - 18 = 0

Q1-Déterminer une représentation paramétrique de la droite

Δ

passant par l'origine

O

et perpendiculaire au plan

P

Q2-Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal

H

de l'origine

O

sur le plan

P

Q3-Calculer la distance de l'origine

O

au plan

P

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67. $Trajet d'un faisceau laser à travers une vitre à faces parallèles$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, les deux faces d'une vitre plane sont modélisées par les plans parallèles

P_{1}

P_{2}

d'équations cartésiennes respectives :

P_{1} : x + 2 y - 2 z + 6 = 0

P_{2} : x + 2 y - 2 z - 3 = 0

.
Un rayon laser rectiligne se propage selon la droite

d

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 + t y = 1 - t z = 3 + 2 t

(

t \in R

Q1-Déterminer les coordonnées du point d'entrée

I_{1}

du rayon sur la face

P_{1}

Q2-Déterminer les coordonnées du point de sortie

I_{2}

du rayon sur la face

P_{2}

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68. $Démonstration de cours : équation cartésienne d'un plan et réciproque$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

Q1-Soit un point

A (x_{0}, y_{0}, z_{0})

et un vecteur non nul

n a b c

.
Démontrer que le plan

P

passant par

A

et de vecteur normal

n

a pour équation cartésienne

a x + b y + cz + d = 0

, avec

d = - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0}

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69. $Droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal et distance d'un point au plan$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les points

A (4, 0, 0)

B (0, 3, 0)

C (0, 0, 6)

D (4, 0, 6)

Q1-Démontrer que le vecteur

n 342

est normal au plan

(A B C)

, et établir qu'une équation cartésienne de ce plan est

3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0

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70. $Recherche d'un unique point d'une droite équidistant de deux points$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les points

A (1, 2, - 1)

B (3, 0, 1)

, ainsi que la droite

D

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 t y = 3 - t z = 1 + t

(

t \in R

Q1-Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur

P

du segment

[A B]

Q2-Démontrer que la droite

D

et le plan

P

sont sécants en un unique point

M_{0}

Q3-En déduire qu'il existe un unique point

M

de la droite

D

équidistant des points

A

B

, et déterminer ses coordonnées.

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71. $Pyramide tronquée par un plan oblique et proportion de hauteur$

Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère un réservoir en forme de pyramide régulière de sommet

S (0, 0, 6)

dont la base carrée

A B C D

est située dans le plan horizontal

z = 0

, avec

A (3, 3, 0)

B (- 3, 3, 0)

.
L'axe vertical de la pyramide est porté par l'axe

(O z)

.
Un plan incliné

P

a pour équation cartésienne :

x + 2 y + 3 z - 9 = 0

Q1-Déterminer les coordonnées du point d'intersection

K

de l'axe vertical

(O z)

avec le plan

P

Q2-Démontrer que l'arête

[S A]

rencontre le plan

P

en un point

A^{'}

dont on précisera les coordonnées.

Q3-Calculer la hauteur

h^{'} = S K

et en déduire le rapport

\frac{S K}{S O}

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72. $Discussion de la position relative de deux droites selon un paramètre réel$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère, pour tout réel

m

, les droites

d_{1}

d_{2}

de représentations paramétriques respectives :

d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + m t y = 2 - t z = 3 + 2 t

(

t \in R

) et

d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 s y = 3 - s z = 2 + 2 s

(

s \in R

Q1-Déterminer la valeur du réel

m

pour laquelle les droites

d_{1}

d_{2}

sont parallèles. Préciser si elles sont alors confondues ou strictement parallèles.

Q2-Démontrer que pour tout réel

m

, les droites

d_{1}

d_{2}

ne sont jamais sécantes.

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73. $Distance minimale entre deux canalisations rectilignes non coplanaires$

Deux canalisations souterraines rectilignes sont modélisées par les droites

D_{1}

D_{2}

de représentations paramétriques :

D_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = - 1 + 2 t z = 1 - t

(

t \in R

) et

D_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 s y = 4 + s z = 3 + s

(

s \in R

Q1-Démontrer que les droites

D_{1}

D_{2}

ne sont pas coplanaires.

Q2-Démontrer que le vecteur

n 315

est orthogonal aux deux droites

D_{1}

D_{2}

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74. $Tétraèdre trirectangle, équation de plan, hauteur et calcul d'aire$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le tétraèdre trirectangle

O A B C

dont les sommets sont

O (0, 0, 0)

A (6, 0, 0)

B (0, 3, 0)

C (0, 0, 2)

Q1-Démontrer que le vecteur

n 123

est normal au plan

(A B C)

, et établir qu'une équation cartésienne de ce plan est

x + 2 y + 3 z - 6 = 0

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75. $Distance minimale entre une sonde spatiale et un émetteur fixe$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, une sonde spatiale suit une trajectoire rectiligne modélisée par la droite

Δ

de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 t y = 3 - 2 t z = 2 + t

(

t \in R

).
Un émetteur radio fixe est situé au point

E (3, 1, 4)

Q1-Exprimer la distance

E M (t)^{2}

en fonction de

t

, où

M (t)

est la position de la sonde à l'instant

t

Q2-Démontrer que la fonction

f : t \mapsto E M (t)^{2}

admet un minimum en un unique réel

t_{0}

que l'on précisera.

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76. $Paramétrer la trajectoire rectiligne d'un chariot de manutention$

L'espace est muni d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

; les unités sont des mètres. Un chariot de manutention se déplace en ligne droite dans un entrepôt : il quitte le point

A (2; - 1; 3)

et avance indéfiniment dans la direction du vecteur

u (4; - 5; 2)

.

Déterminer une représentation paramétrique de la trajectoire du chariot, puis donner les coordonnées du chariot lorsque le paramètre vaut

t = 2

Q1-Déterminer une représentation paramétrique de la trajectoire du chariot.

Q2-Déterminer la position du chariot lorsque le paramètre vaut

t = 2

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77. $Identifier un point et une direction dans une paramétrisation$

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Une droite

d

admet pour représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 3 t y = 2 + t z = - 4 + 5 t

t \in R

.

Donner les coordonnées d'un point de la droite

d

et celles d'un vecteur directeur de

d

, puis déterminer les coordonnées du point de

d

associé au paramètre

t = 2

Q1-Donner les coordonnées d'un point de la droite

d

Q2-Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de

d

Q3-Déterminer les coordonnées du point de

d

de paramètre

t = 2

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78. $Équation cartésienne d'un panneau de verre à partir d'une normale$

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Un panneau de verre rectangulaire est modélisé par le plan

P

qui passe par le point

A (1; 2; - 1)

et admet pour vecteur normal

n (3; - 2; 5)

.

Montrer que le plan

P

a pour équation cartésienne

3 x - 2 y + 5 z + 6 = 0

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79. $Vecteurs normaux de deux plans et test d'appartenance$

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans

P_{1}

P_{2}

d'équations cartésiennes respectives

2 x - 7 y + z - 4 = 0

5 y - 3 z + 8 = 0

Q1-Donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan

P_{1}

Q2-Donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan

P_{2}

Q3-Le point

B (2; 1; 5)

appartient-il au plan

P_{2}

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80. $Deux points face à une droite paramétrée$

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit

d

la droite de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 t y = - 1 - t z = 4 + 3 t

t \in R

.

Les points

P (7; - 3; 10)

Q (5; 0; 7)

appartiennent-ils à la droite

d

Q1-Le point

P (7; - 3; 10)

appartient-il à la droite

d

Q2-Le point

Q (5; 0; 7)

appartient-il à la droite

d

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41.Lecture des éléments caractéristiques d'une droite paramétrée

42.Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal

43.Vecteur normal et appartenance de points à un plan

44.Appartenance de points à une droite paramétrée

45.Vérification de l'appartenance de points à un plan cartésien

46.Droite passant par l'origine et point de paramètre donné

47.Équation cartésienne d'un plan avec composante normale nulle

48.Représentation paramétrique de la droite passant par deux points

49.Équation cartésienne d'un plan défini par trois points non alignés

50.Perpendicularité de deux plans donnés par leurs équations cartésiennes

51.Plans parallèles et distinction entre strictement parallèles et confondus

52.Droite strictement parallèle à un plan

53.Droite incluse dans un plan

54.Perpendicularité d'une droite et d'un plan

55.Point d'intersection d'une droite et d'un plan sécants

56.Droite normale à un plan passant par un point donné

57.Point d'impact d'un rayon lumineux sur une paroi plane

58.Intersection d'une droite et d'un plan avec justification préalable de sécance

59.Projeté orthogonal d'un point sur un plan et calcul de distance

60.Projeté orthogonal d'un point sur une droite paramétrée et distance

61.Pavé droit, plan diagonal et intersection avec la grande diagonale

62.Pyramide régulière, équation d'une face latérale et droite orthogonale

63.Traduction par un système linéaire de la coplanarité de quatre points

64.Trajectoires de deux satellites, point d'intersection et risque de collision

65.Position relative de deux droites non coplanaires

66.Projeté orthogonal de l'origine sur un plan incliné

67.Trajet d'un faisceau laser à travers une vitre à faces parallèles

68.Démonstration de cours : équation cartésienne d'un plan et réciproque

69.Droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal et distance d'un point au plan

70.Recherche d'un unique point d'une droite équidistant de deux points

71.Pyramide tronquée par un plan oblique et proportion de hauteur

72.Discussion de la position relative de deux droites selon un paramètre réel

73.Distance minimale entre deux canalisations rectilignes non coplanaires

74.Tétraèdre trirectangle, équation de plan, hauteur et calcul d'aire

75.Distance minimale entre une sonde spatiale et un émetteur fixe

76.Paramétrer la trajectoire rectiligne d'un chariot de manutention

77.Identifier un point et une direction dans une paramétrisation

78.Équation cartésienne d'un panneau de verre à partir d'une normale

79.Vecteurs normaux de deux plans et test d'appartenance

80.Deux points face à une droite paramétrée

41. $Lecture des éléments caractéristiques d'une droite paramétrée$

42. $Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal$

43. $Vecteur normal et appartenance de points à un plan$

44. $Appartenance de points à une droite paramétrée$

45. $Vérification de l'appartenance de points à un plan cartésien$

46. $Droite passant par l'origine et point de paramètre donné$

47. $Équation cartésienne d'un plan avec composante normale nulle$

48. $Représentation paramétrique de la droite passant par deux points$

49. $Équation cartésienne d'un plan défini par trois points non alignés$

50. $Perpendicularité de deux plans donnés par leurs équations cartésiennes$

51. $Plans parallèles et distinction entre strictement parallèles et confondus$

52. $Droite strictement parallèle à un plan$

53. $Droite incluse dans un plan$

54. $Perpendicularité d'une droite et d'un plan$

55. $Point d'intersection d'une droite et d'un plan sécants$

56. $Droite normale à un plan passant par un point donné$

57. $Point d'impact d'un rayon lumineux sur une paroi plane$

58. $Intersection d'une droite et d'un plan avec justification préalable de sécance$

59. $Projeté orthogonal d'un point sur un plan et calcul de distance$

60. $Projeté orthogonal d'un point sur une droite paramétrée et distance$

61. $Pavé droit, plan diagonal et intersection avec la grande diagonale$

62. $Pyramide régulière, équation d'une face latérale et droite orthogonale$

63. $Traduction par un système linéaire de la coplanarité de quatre points$

64. $Trajectoires de deux satellites, point d'intersection et risque de collision$

65. $Position relative de deux droites non coplanaires$

66. $Projeté orthogonal de l'origine sur un plan incliné$

67. $Trajet d'un faisceau laser à travers une vitre à faces parallèles$

68. $Démonstration de cours : équation cartésienne d'un plan et réciproque$

69. $Droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal et distance d'un point au plan$

70. $Recherche d'un unique point d'une droite équidistant de deux points$

71. $Pyramide tronquée par un plan oblique et proportion de hauteur$

72. $Discussion de la position relative de deux droites selon un paramètre réel$

73. $Distance minimale entre deux canalisations rectilignes non coplanaires$

74. $Tétraèdre trirectangle, équation de plan, hauteur et calcul d'aire$

75. $Distance minimale entre une sonde spatiale et un émetteur fixe$

76. $Paramétrer la trajectoire rectiligne d'un chariot de manutention$

77. $Identifier un point et une direction dans une paramétrisation$

78. $Équation cartésienne d'un panneau de verre à partir d'une normale$

79. $Vecteurs normaux de deux plans et test d'appartenance$

80. $Deux points face à une droite paramétrée$