Exercices de Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Terminale (page 3)

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit $d$ la droite de représentation paramétrique :
$\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=3+2t\\ z=-1+t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Deux plots d'ancrage $A(2;1;0)$ et $B(-1;3;4)$ doivent être reliés par un câble parfaitement tendu.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Une plateforme plane doit reposer sur trois plots posés aux points $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$ et $C(2;-1;1)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Deux parois vitrées d'un atrium sont modélisées par les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ d'équations cartésiennes respectives $2x-y+2z-4=0$ et $x+4y+z+7=0$.

Démontrer que les deux parois sont perpendiculaires.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Deux dalles de plafond suspendues sont modélisées par les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ d'équations cartésiennes respectives $2x-4y+6z-5=0$ et $x-2y+3z+1=0$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Dans un local commercial, un rideau métallique coulisse le long d'un rail rectiligne $d$ de représentation paramétrique :
$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Un panneau publicitaire plan est modélisé par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-2y+3=0$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Un sondage rectiligne suit la droite $d$ de représentation paramétrique :
$\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\\ z=-2+4t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Une couche géologique plane est modélisée par le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x-4y-8z+1=0$. Montrer que le sondage traverse la couche perpendiculairement.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Une perceuse à commande numérique suit la trajectoire rectiligne $d$ :
$\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-1+t\\ z=4-2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

La pièce à percer est une plaque plane d'équation $x+2y+z-1=0$. Déterminer les coordonnées du point où l'aiguille traverse la plaque.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Une paroi inclinée est modélisée par le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x+y-2z+5=0$. Un point d'ancrage $A(1;1;5)$ se trouve hors de la paroi ; une tige de maintien doit partir de $A$ et s'appuyer sur la paroi perpendiculairement à celle-ci.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite suivie par la tige.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Dans un local technique, une conduite d'aération rectiligne suit la droite $d$ :
$\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=-1+2t\\ z=5-2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Un mur est modélisé par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+y+3z-16=0$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des centimètres. Le bras d'un robot suit la droite $d$ :
$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=1+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Une pièce plane à percer est modélisée par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+2y+z-11=0$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Un panneau solaire incliné est modélisé par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x+y-2z-13=0$. Un câble d'ancrage est fixé au point $A(1;2;0)$, hors du panneau, et doit le rejoindre perpendiculairement.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Dans une salle d'escalade, un câble est tendu le long de la droite $d$ :
$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=2+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Un grimpeur se trouve au point $A(5;4;6)$, hors du câble.

Un bloc de marbre cubique d'arête $4$ mètres est posé sur un sol horizontal. On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ tel que les sommets du cube aient pour coordonnées $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, $E(0;0;4)$, $F(4;0;4)$, $G(4;4;4)$ et $H(0;4;4)$.

Un scieur envisage de couper le bloc selon le plan $(BDE)$.

Une verrière a la forme d'une pyramide régulière $SABCD$ dont la base $ABCD$ est un carré de côté $4$ mètres. L'espace est muni du repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, dans lequel $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$ et $S(2;2;6)$, les unités étant des mètres.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Dans un entrepôt automatisé, un transpalette doit se déplacer selon le vecteur $\vec{w}(3;4;2)$. Le système de guidage n'autorise que les trois directions suivantes :
${\vec{u}}_1(1;0;1)$, ${\vec{u}}_2(0;2;1)$ et ${\vec{u}}_3(1;1;0)$.

L'océan est assimilé à l'espace muni d'un repère orthonormé ; les positions sont données en mètres et le temps en secondes. Deux sous-marins partent au même instant et suivent des trajectoires rectilignes. Pour un temps de parcours $t$ en secondes :

le sous-marin $S_1$ a pour position $(2+t;1-2t;3+2t)$ ;
le sous-marin $S_2$ a pour position $(1+t;-3+t;7-t)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Deux rails de guidage d'un magasin automatisé sont modélisés par les droites :
$d_1$ : $\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1-t\\ z=-1+2t\end{array}$ et $d_2$ : $\{\begin{array}{l}x=3+2s\\ y=3-3s\\ z=s\end{array}$, où $t$ et $s$ décrivent $\mathbb{R}$.

Étudier la position relative des deux rails : sont-ils parallèles, sécants ou non coplanaires ? Le cas échéant, donner les coordonnées de leur point commun.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Dans un hall, deux câbles sont tendus le long des droites :
$d_1$ : $\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t\\ z=1+2t\end{array}$ et $d_2$ : $\{\begin{array}{l}x=2s\\ y=1\\ z=2+s\end{array}$, avec $t\in \mathbb{R}$ et $s\in \mathbb{R}$.

Une lampe est suspendue au point $L(2;1;3)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Dans un skatepark, une rampe inclinée est modélisée par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+3y-2z+11=0$. Un projecteur est fixé au point $A(1;2;2)$, hors de la rampe, et éclaire celle-ci perpendiculairement.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Soit $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur non nul et $A(x_0;y_0;z_0)$ un point de l'espace. On note $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Une borne de signalisation gonflable a la forme du tétraèdre $ABCD$, avec $A(0;0;0)$, $B(3;3;0)$, $C(4;1;0)$ et $D(0;1;4)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit $d$ la droite de représentation paramétrique :
$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=4+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$,
et soit $d^{\prime }$ la droite passant par le point $A(3;0;0)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(0;1;1)$.

Démontrer qu'il existe un unique point $M$ de la droite $d$ dont le projeté orthogonal sur la droite $d^{\prime }$ est le point $A$, puis déterminer ses coordonnées.

Un abri à bois est adossé à deux murs perpendiculaires. L'espace est muni du repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ ; les unités sont des mètres et le sol est le plan $z=0$. Le toit incliné de l'abri contient les trois points $P(8;0;0)$, $Q(0;4;0)$ et $R(0;0;2)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Dans un atelier, une poutre est posée le long de la droite $d_1$ :
$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Un chariot suspendu à un pont roulant part du point $B(m;0;1)$, où $m$ est un réel, et se déplace le long de la droite $d_2$ :
$\{\begin{array}{l}x=m+2s\\ y=s\\ z=1-s\end{array}$, $s\in \mathbb{R}$.

Selon les valeurs du réel $m$, étudier la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ : dans le seul cas où elles sont sécantes, on précisera les coordonnées de leur point d'intersection.

L'espace est muni d'un repère orthonormé ; les unités sont des mètres. Dans une usine, deux rails de transbordement aériens sont modélisés par les droites :
$d_1$ : $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2t\\ z=1+t\end{array}$ et $d_2$ : $\{\begin{array}{l}x=s\\ y=1+2s\\ z=3+s\end{array}$, avec $t\in \mathbb{R}$ et $s\in \mathbb{R}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Pour tout réel $m$, on considère les vecteurs :
$\vec{u}(1;m;0)$, $\vec{v}(1;0;m)$ et $\vec{w}(0;m;1)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $d$ qui passe par $A(1;-2;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;4)$, ainsi que les droites $d^{\prime }$ et $d^{\prime \prime }$ de représentations paramétriques respectives, avec $s\in \mathbb{R}$ :$$d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=5-4s\\ y=-4+2s\\ z=11-8s\end{array}{d}^{\prime \prime }:\{\begin{array}{l}x=3-6s\\ y=-1+3s\\ z=8-12s\end{array}$$1. Donner une représentation paramétrique de $d$.
2. Montrer que $d$ et $d^{\prime }$ ont des vecteurs directeurs colinéaires, puis que $d^{\prime }$ et $d$ sont confondues.
3. Les droites $d$ et $d^{\prime \prime }$ sont-elles confondues ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé (unité : le mètre). Un premier drone suit la droite $d$ de représentation paramétrique$$d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=-1+3t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$Pour tout réel $a$, un second drone suit la droite $d_a^{\prime }$ de représentation paramétrique$$d_a^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=a-2s\\ y=4+4s\\ z=-4-6s\end{array}(s\in \mathbb{R}).$$1. Montrer que, quelle que soit la valeur de $a$, les droites $d$ et $d_a^{\prime }$ ont des vecteurs directeurs colinéaires.
2. Le point $B_a(a;4;-4)$ est le point de $d_a^{\prime }$ obtenu pour $s=0$. Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $B_a$ appartient à $d$.
3. En déduire pour quelle valeur de $a$ les deux drones suivent la même droite.
4. Vérifier le résultat en testant, pour cette valeur de $a$, que le point $A(1;2;-1)$ de $d$ appartient à $d_a^{\prime }$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ d'équations respectives $x+2y-z-3=0$ et $2x-y+z-1=0$, ainsi que la droite $\Delta$ de représentation paramétrique$$\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-3t\\ z=-5t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$1. Montrer que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont sécants.
2. Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans ${\mathcal{P}}_1$ et dans ${\mathcal{P}}_2$. Que représente $\Delta$ pour ces deux plans ?
3. Les points $A(3;-5;-10)$ et $B(0;4;6)$ appartiennent-ils à ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2$ ?
4. Vérifier que le vecteur $\vec{u}(1;-3;-5)$ est orthogonal à un vecteur normal de chacun des deux plans, et interpréter.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ et l'on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. Les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont opposées, et les arêtes $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont parallèles. On note $M$ le milieu du segment $[BD]$.

1. Donner les coordonnées des points $B$, $C$, $D$, $E$, $G$ et $M$, puis vérifier que $x+y+z-1=0$ est une équation cartésienne du plan $(BDE)$.
2. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1;-1;0)$ est normal au plan $(ACG)$, puis en déduire une équation cartésienne de ce plan.
3. Justifier que les plans $(BDE)$ et $(ACG)$ sont sécants.
4. Montrer que les points $E$ et $M$ appartiennent aux deux plans. En déduire la droite d'intersection des plans $(BDE)$ et $(ACG)$, puis en donner une représentation paramétrique.
5. Montrer que la droite $(AG)$ coupe cette droite d'intersection au point $K\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans ${\mathcal{P}}_1:x-y+2z-1=0$ et ${\mathcal{P}}_2:2x+y-z-5=0$.

1. Montrer que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont sécants. On note $\Delta$ leur droite d'intersection.
2. En posant $x=t$, résoudre le système formé par les deux équations et en déduire une représentation paramétrique de $\Delta$.
3. Un élève propose pour $\Delta$ la représentation $\{\begin{array}{l}x=2+s\\ y=1-5s\\ z=-3s\end{array}$ ($s\in \mathbb{R}$). A-t-il raison ?
4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\Delta$ et du plan ${\mathcal{P}}_3:x+y+z-3=0$. Que peut-on dire des trois plans ${\mathcal{P}}_1$, ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$ ?