Exercices de Equations différentielles linéaires en maths Spé (prépa) (page 2)

42. $Solutions bornées et wronskien$

Soient

q

une fonction continue, intégrable sur

[0; + \infty [

(E)

l'équation différentielle

y^{''} + q (x) y = 0

Q1-Si

f

est une solution bornée de

(E)

sur

[0; + \infty [

, montrer que sa dérivée

f^{'}

admet une limite finie en

+ \infty

. Quelle est la valeur de sa limite ?

Q2-Soient

f

g

deux solutions bornées. Étudier le wronskien de

f

et de

g

w = f^{'} g - f g^{'}

. En déduire que

f

g

sont liées. Que peut-on en conclure ?

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43. $Théorème de comparaison de Sturm$

Soient

q_{1}, q_{2} : I \to R

continues vérifiant

q_{1} \leq q_{2}

. On note

φ_{1}

φ_{2}

deux solutions sur

I

respectivement des équations

y^{''} + q_{1} (x) y = 0

y^{''} + q_{2} (x) y = 0

. On suppose la solution

φ_{1}

non identiquement nulle.

Q1-Montrer que les zéros de

φ_{1}

sont isolés.

Q2-Soient

a < b

deux zéros consécutifs de

φ_{1}

. Montrer que

φ_{2}

s'annule sur

[a; b]

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44. $Théorème de séparation de Sturm$

On considère l'équation différentielle

(E) : y^{''} + cos^{2} (t) y = 0.

Q1-Justifier l'existence d'une solution

u

(E)

telle que

u (0) = 1

u^{'} (0) = 0

Q2-Démontrer l'existence de deux réels

α, β

vérifiant

α < 0 < β

u^{'} (α) > 0

u^{'} (β) < 0

. En déduire que

u

possède au moins un zéro dans

R_{-}^{*}

R_{+}^{*}

Q3-Justifier l'existence de réels

γ = max {t < 0 : u (t) = 0}

δ = min {t > 0 : u (t) = 0}

Q4-Soit

v

une solution de

(E)

linéairement indépendante de

u

. En étudiant les variations de

W = u v^{'} - u^{'} v

, montrer que

v

possède au moins un zéro dans

] γ; δ [

Q5-Soit

w

une solution non nulle de

(E)

. Démontrer que

w

admet une infinité de zéros.

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45. $Solution décroissante de y^{''} = q y$

Soient

q \in C^{0} ([a; + \infty [, R_{+})

(E)

l'équation différentielle

y^{''} = q (x) y

Q1-Soit

f

une solution de

(E)

telle que

f (a) > 0

f^{'} (a) > 0

. Montrer que

f

f^{'}

sont strictement positives et que

f

tend vers

+ \infty

+ \infty

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46. $Riccati associée à une EDL2$

On considère l'équation différentielle

(E_{1}) : x^{''} + p (t) x^{'} + q (t) x = 0.

Q1-Soit

u_{1}

u_{2}

deux solutions de

(E_{1})

telles que

u_{1} u_{2} = 1

. On pose

z_{i} = u_{i}^{'} / u_{i}

. Montrer que les

z_{i}

sont deux solutions opposées d'une équation différentielle non linéaire

(E_{2})

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47. $Équation intégrale linéaire en f$

Quelles sont les fonctions continues

f

telles que

f (x) = - 1 - \int_{0}^{x} (2 x - t) f (t) d t ?

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48. $Équation intégrale réduite en EDL2$

Soit

f : R \to R

continue vérifiant l'équation

\forall x \in R, f (x) + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = 1 - x .

Q1-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

Q2-Trouver toutes les fonctions

f

solution de l'équation étudiée.

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49. $Équation intégrale menant à EDL1$

Déterminer les fonctions

f : R \to R

continues vérifiant

\forall x \in R, f (x) = \int_{0}^{x} t f (t) d t + 1.

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50. $Équation intégrale de convolution$

Trouver les fonctions

f : R \to R

continues telles que pour tout

x

réel

f (x) - 2 \int_{0}^{x} f (t) cos (x - t) d t = 1.

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51. $Équation fonctionnelle avec parité$

Trouver toutes les applications

f : R \to R

deux fois dérivables telles que

\forall x \in R, f^{''} (x) + f (- x) = x .

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52. $Équation fonctionnelle en 1/ x$

Déterminer les fonctions

f : R_{+}^{*} \to R

dérivables telles que

\forall x > 0, f^{'} (x) = f (1/ x) .

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53. $Dimension d'un espace de solutions$

Déterminer la dimension de l'espace

E = {y \in C^{2} (R, R) : \forall x \in R, y^{''} (x) + y (x) = y (0) cos (x)} .

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54. $Équation intégrale avec paramètre λ$

Soient

f

une fonction réelle continue sur

[0; 1]

λ

un réel. Trouver

u

fonction réelle continue sur

[0; 1]

telle que

u (x) = λ \int_{0}^{x} u (t) d t + f (x) .

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55. $Équation fonctionnelle du cosinus$

Déterminer les fonctions

f : R \to R

deux fois dérivables telles que

\forall x, y \in R, f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) et f (0) = 1.

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56. $EDL2 à solutions polynomiales$

Résoudre sur

R

l'équation

(t + 1)^{2} y^{''} - 2 (t + 1) y^{'} + 2 y = 0

en commençant par rechercher les solutions polynomiales.

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57. $EDL2 à coefficients affines en t$

Résoudre sur

R

l'équation

(t + 1) y^{''} - (t + 2) y^{'} + y = 0.

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58. $Changement de variable t = x^{2}$

On considère l'équation différentielle

x y^{''} - y^{'} - x^{3} y = 0.

Q1-Montrer que si

y

est solution sur

I

alors

x \mapsto y (- x)

est solution sur

I^{'}

symétrique de

I

par rapport à

0

Q2-Résoudre sur

R_{+}^{*}

l'équation via le changement de variable

t = x^{2}

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59. $DSE et raccordement d'une EDL2$

On étudie l'équation différentielle

(E) : 4 x y^{''} + 2 y^{'} - y = 0.

Q1-Déterminer les fonctions développables en série entière solutions.

Q2-Résoudre

(E)

sur

R_{+}^{*}

et sur

R_{-}^{*}

en posant respectivement

x = t^{2}

x = - t^{2}

Q3-Déterminer les solutions de

(E)

sur

R

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60. $Changement de fonction z = y^{'} - y$

Résoudre sur

R

l'équation différentielle

E : x y^{''} - (1 + x) y^{'} + y = 1

en posant

z = y^{'} - y

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61. $EDL2 réductible à une EDL1$

Résoudre sur

R

l'équation

(1 + x^{2}) y^{''} + 2 x y^{'} = 0.

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62. $Changement de fonction z = y / (1 + e^{x})$

Résoudre l'équation différentielle

(1 + e^{x})^{2} y^{''} - 2 e^{x} (1 + e^{x}) y^{'} - (3 e^{x} + 1) y = 0

en introduisant

z (x) = \frac{y ( x )}{1 + e ^{x}}

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63. $Changement de fonction z = e^{x^{2}} y$

Résoudre sur

R

l'équation

y^{''} + 4 x y^{'} + (3 + 4 x^{2}) y = 0

en introduisant la fonction

z (x) = e^{x^{2}} y (x)

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64. $Changement de fonction z = x^{2} y$

Résoudre sur

R_{+}^{*}

l'équation

x^{2} y^{''} + 4 x y^{'} - (x^{2} - 2) y = 0

en posant

z = x^{2} y

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65. $Changement de fonction y = x^{α} z$

Résoudre sur

] 0; + \infty [

l'équation différentielle

x y^{''} (x) + 2 y^{'} (x) - x y (x) = 0

en posant

y (x) = x^{α} z (x)

avec

α \in R

bien choisi.

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66. $Changement de fonction z = x y^{'} + y$

Résoudre sur

] 0; + \infty [

l'équation

x^{2} y^{''} - 2 y + \frac{3}{x} = 0

en introduisant la fonction

z (x) = x y^{'} (x) + y (x)

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67. $Réduction via φ (polynôme) pour (t^{2} + 1) y^{''} - 2 y = t$

On étudie l'équation différentielle

(t^{2} + 1) y^{''} - 2 y = t .

Q1-Déterminer une solution polynomiale non nulle

φ (t)

de l'équation homogène associée.

Q2-Résoudre l'équation homogène en procédant au changement de fonction inconnue

y (t) = φ (t) z (t)

Q3-Exprimer la solution générale de l'équation étudiée.

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68. $Réduction via φ (polynôme) pour (1 + t^{2})^{2} y^{''} - 2 t (1 + t^{2}) y^{'} + 2 (t^{2} - 1) y = (1 + t^{2})$

On étudie l'équation

(1 + t^{2})^{2} y^{''} (t) - 2 t (1 + t^{2}) y^{'} (t) + 2 (t^{2} - 1) y (t) = (1 + t^{2}) .

69. $Réduction via φ (polynôme) pour t^{3} y^{''} + t y^{'} - y = 0$

On étudie sur

R_{+}^{*}

l'équation

t^{3} y^{''} + t y^{'} - y = 0.

Q1-Déterminer une solution polynomiale non nulle

φ (t)

de cette équation.

Q2-Résoudre l'équation en procédant au changement de fonction inconnue

y (t) = φ (t) z (t)

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70. $Réduction via φ (polynôme) pour t^{2} y^{''} + t y^{'} - y = 1$

On étudie sur

R_{+}^{*}

l'équation différentielle

t^{2} y^{''} + t y^{'} - y = 1.

Q1-Déterminer une solution polynomiale non nulle

φ (t)

de l'équation homogène.

Q2-Résoudre l'équation en procédant au changement de fonction inconnue

y (t) = φ (t) z (t)

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71. $Réduction via φ (DSE) pour x y^{''} + 3 y^{'} - 4 x^{3} y = 0$

On étudie l'équation différentielle suivante sur

] 0; + \infty [

(E) : x y^{''} + 3 y^{'} - 4 x^{3} y = 0.

Q1-Chercher une solution

φ (x)

développable en série entière au voisinage de

0

et non nulle.

Q2-Terminer de résoudre l'équation par le changement de fonction inconnue

y (x) = φ (x) z (x)

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72. $Réduction via φ (DSE) pour x^{2} (1 - x) y^{''} - x (1 + x) y^{'} + y = 0$

On étudie sur

] 0; 1 [

l'équation différentielle suivante

x^{2} (1 - x) y^{''} - x (1 + x) y^{'} + y = 0.

73. $Équation d'Euler par t = ln x$

Résoudre sur

R_{+}^{*}

les équations suivantes via le changement de variable

t = ln x

Q1-

x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = x^{2}

Q2-

x^{2} y^{''} - 2 y = x

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74. $EDL2 en arccos x via x = cos t$

Résoudre sur

] - 1; 1 [

l'équation

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + 4 y = arccos x

en procédant au changement de variable

x = cos (t)

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75. $EDL2 homogène via t = arctan x$

Résoudre sur

R

l'équation

(1 + x^{2})^{2} y^{''} + 2 (x - 1) (1 + x^{2}) y^{'} + y = 0

en procédant au changement de variable

t = arctan x

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76. $EDL2 en arctan t, coefficients constants$

Résoudre sur

R

l'équation

y^{''} + \frac{2 t}{t ^{2} + 1} y^{'} + \frac{1}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} y = \frac{t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

en posant

x = arctan t

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77. $Changement de variable générique u = φ (t)$

En indiquant les hypothèses nécessaires, effectuer le changement de variable

u = φ (t)

dans l'équation différentielle

(1 + t^{2}) x^{''} + t x^{'} + a^{2} x = 0

tel qu'elle devienne une équation à coefficients constants et la résoudre.

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78. $Factorisation par opérateurs Q (Δ)$

On veut résoudre

(E) : (x + 1) y^{''} - (3 x + 4) y^{'} + 3 y = (3 x + 2) e^{3 x} .

Δ

est l'opérateur de dérivation et

Q (X) = X - 3

, on a

Q (Δ) (y) = y^{'} - 3 y

. Montrer l'existence d'un polynôme

P

de la forme

a (x) X + b (x)

tel que

(E)

devienne

(P (Δ) \circ Q (Δ)) (y) = (3 x + 2) e^{3 x}

. Résoudre l'équation à l'aide du changement de variable

z = Q (Δ) (y)

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79. $Noyau et image de exp (u) - Id$

Soit

u

un endomorphisme nilpotent d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Établir

Ker (e^{u} - Id_{E}) = Ker u et Im (e^{u} - Id_{E}) = Im u .

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80. $Limite (I + A / n)^{n} vers exp (A)$

Soit

A \in M_{p} (K)

. Établir que

n \to + \infty lim (I + \frac{A}{n})^{n} = exp (A) .

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41.Nombre fini de zéros sur [a;b]

42.Solutions bornées et wronskien

43.Théorème de comparaison de Sturm

44.Théorème de séparation de Sturm

45.Solution décroissante de y′′=qy

46.Riccati associée à une EDL2

47.Équation intégrale linéaire en f

48.Équation intégrale réduite en EDL2

49.Équation intégrale menant à EDL1

50.Équation intégrale de convolution

51.Équation fonctionnelle avec parité

52.Équation fonctionnelle en 1/x

53.Dimension d'un espace de solutions

54.Équation intégrale avec paramètre λ

55.Équation fonctionnelle du cosinus

56.EDL2 à solutions polynomiales

57.EDL2 à coefficients affines en t

58.Changement de variable t=x2

59.DSE et raccordement d'une EDL2

60.Changement de fonction z=y′−y

61.EDL2 réductible à une EDL1

62.Changement de fonction z=y/(1+ex)

63.Changement de fonction z=ex2y

64.Changement de fonction z=x2y

65.Changement de fonction y=xαz

66.Changement de fonction z=xy′+y

67.Réduction via φ (polynôme) pour (t2+1)y′′−2y=t

68.Réduction via φ (polynôme) pour (1+t2)2y′′−2t(1+t2)y′+2(t2−1)y=(1+t2)

69.Réduction via φ (polynôme) pour t3y′′+ty′−y=0

70.Réduction via φ (polynôme) pour t2y′′+ty′−y=1

71.Réduction via φ (DSE) pour xy′′+3y′−4x3y=0

72.Réduction via φ (DSE) pour x2(1−x)y′′−x(1+x)y′+y=0

73.Équation d'Euler par t=lnx

74.EDL2 en arccosx via x=cost

75.EDL2 homogène via t=arctanx

76.EDL2 en arctant, coefficients constants

77.Changement de variable générique u=φ(t)

78.Factorisation par opérateurs Q(Δ)

79.Noyau et image de exp(u)−Id

80.Limite (I+A/n)n vers exp(A)

41. $Nombre fini de zéros sur [a; b]$

42. $Solutions bornées et wronskien$

43. $Théorème de comparaison de Sturm$

44. $Théorème de séparation de Sturm$

45. $Solution décroissante de y^{''} = q y$

46. $Riccati associée à une EDL2$

47. $Équation intégrale linéaire en f$

48. $Équation intégrale réduite en EDL2$

49. $Équation intégrale menant à EDL1$

50. $Équation intégrale de convolution$

51. $Équation fonctionnelle avec parité$

52. $Équation fonctionnelle en 1/ x$

53. $Dimension d'un espace de solutions$

54. $Équation intégrale avec paramètre λ$

55. $Équation fonctionnelle du cosinus$

56. $EDL2 à solutions polynomiales$

57. $EDL2 à coefficients affines en t$

58. $Changement de variable t = x^{2}$

59. $DSE et raccordement d'une EDL2$

60. $Changement de fonction z = y^{'} - y$

61. $EDL2 réductible à une EDL1$

62. $Changement de fonction z = y / (1 + e^{x})$

63. $Changement de fonction z = e^{x^{2}} y$

64. $Changement de fonction z = x^{2} y$

65. $Changement de fonction y = x^{α} z$

66. $Changement de fonction z = x y^{'} + y$

67. $Réduction via φ (polynôme) pour (t^{2} + 1) y^{''} - 2 y = t$

68. $Réduction via φ (polynôme) pour (1 + t^{2})^{2} y^{''} - 2 t (1 + t^{2}) y^{'} + 2 (t^{2} - 1) y = (1 + t^{2})$

69. $Réduction via φ (polynôme) pour t^{3} y^{''} + t y^{'} - y = 0$

70. $Réduction via φ (polynôme) pour t^{2} y^{''} + t y^{'} - y = 1$

71. $Réduction via φ (DSE) pour x y^{''} + 3 y^{'} - 4 x^{3} y = 0$

72. $Réduction via φ (DSE) pour x^{2} (1 - x) y^{''} - x (1 + x) y^{'} + y = 0$

73. $Équation d'Euler par t = ln x$

74. $EDL2 en arccos x via x = cos t$

75. $EDL2 homogène via t = arctan x$

76. $EDL2 en arctan t, coefficients constants$

77. $Changement de variable générique u = φ (t)$

78. $Factorisation par opérateurs Q (Δ)$

79. $Noyau et image de exp (u) - Id$

80. $Limite (I + A / n)^{n} vers exp (A)$