Exercices de Equations différentielles linéaires en maths Spé (prépa) (page 5)

162. $Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle$

Déterminer les applications

M : R \to M_{n} (R)

dérivables en

0

vérifiant :

\forall (s, t) \in R^{2}, M (s + t) = M (s) M (t)

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163. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

Soit

A \in M_{n} (R)

telle que

tr (A) > 0

, et

x : R \to M_{n, 1} (R)

de classe

C^{1}

, telle que

\forall t \in R, x^{'} (t) = A x (t)

t \to + \infty lim x (t) = 0

.

Montrer qu'il existe une forme linéaire non nulle

ℓ

, telle que

\forall t \in R, ℓ (x (t)) = 0

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164. $Bornitude de X^{'} = A X, A antisymétrique$

Soit

A \in M_{n} (R)

antisymétrique. Montrer que les solutions du système différentiel

X^{'} = A X

sont toutes bornées.

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165. $EDL2 issue de f^{'} (x) = - f (α - x)$

Soit

α \in R

. On cherche l'ensemble

S_{α}

des fonctions

f

R

dans

R

de classe

C^{1}

vérifiant

f^{'} (x) = - f (α - x)

pour tout

x \in R

Q1-Montrer qu'une telle fonction est de classe

C^{2}

Q2-Montrer que les éléments de

S_{α}

sont solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre

2

Q3-Conclure.

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166. $Résoudre f^{'} (x) = f (- x)$

Déterminer les fonctions

f

dérivables sur

R

vérifiant

\forall x \in R, f^{'} (x) = f (- x)

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167. $Banque Mines-Ponts MP 2023 (avec préparation)$

On munit

M_{n} (R)

de son produit scalaire canonique. On note

A_{n} (R)

l'ensemble des matrices antisymétriques et

S_{n}^{+} (R)

l'ensemble des matrices symétriques positives.
Soit

A \in M_{n} (R)

telle que :

\forall U \in O_{n} (R), tr (A U) \leq tr (A)

Q1-Déterminer le supplémentaire orthogonal de

A_{n} (R)

Q2-Soit

B \in A_{n} (R)

, montrer que

\forall x \in R, exp (x B) \in O_{n} (R)

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168. $Symétrie et orthogonalité de exp (A)$

Soit

A \in M_{n} (R)

Q1-Montrer que

exp (A)^{⊤} = exp (A^{⊤})

Q2-On suppose

A

symétrique dans cette question. Montrer que

exp (A)

est également symétrique.

Q3-Montrer que

det (exp (A)) > 0

Q4-On suppose

A

antisymétrique dans cette question. Montrer que

exp (A) \in SO_{n} (R)

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169. $Relation de Dyson$

Soit

(A, B) \in M_{n} (K)^{2}

. Montrer que pour tout

t \in R

exp (t (A + B)) = exp (t A) + \int_{0}^{t} exp ((t - s) A) B exp (s (A + B)) d s

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170. $Zéros entrelacés$

Q1-Soient

p

q

deux fonctions continues sur

R

telles que

p \leq q

sur

R

. Soient

u

v

deux fonctions de classe

C^{2}

telles que

u^{''} + p u = 0

v^{''} + q v = 0

. On suppose que

u

s'annule en des réels

a

b

avec

a < b

mais qu'elle ne s'annule pas sur

] a, b [

.
a. On pose

W = u^{'} v - u v^{'}

. Déterminer

W^{'}

.
b. En déduire que

v

s'annule sur

[a, b]

Q2-Application. Soient

r

une fonction continue sur

R

f

de classe

C^{2}

sur

R

telle que

f^{''} + r f = 0

M \in R_{+}^{*}

.
a. On suppose

r \geq M^{2}

. Montrer que tout intervalle fermé de longueur

\frac{π}{M}

contient au moins un zéro de

f

.
b. On suppose

r \leq M^{2}

. On suppose que

f

s'annule en des réels

a

b

tels que

a < b

mais qu'elle ne s'annule pas sur

] a, b [

. Montrer que

b - a \geq \frac{π}{M}

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Exercices de Equations différentielles linéaires, Spé (prépa) (page 5)

161. $Zéros entrelacés$

162. $Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle$

163. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

164. $Bornitude de X^{'} = A X, A antisymétrique$

165. $EDL2 issue de f^{'} (x) = - f (α - x)$

166. $Résoudre f^{'} (x) = f (- x)$

167. $Banque Mines-Ponts MP 2023 (avec préparation)$

168. $Symétrie et orthogonalité de exp (A)$

169. $Relation de Dyson$

170. $Zéros entrelacés$

161.Zéros entrelacés

162.Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle

163.Banque Mines-Ponts MP 2019

164.Bornitude de X′=AX, A antisymétrique

165.EDL2 issue de f′(x)=−f(α−x)

166.Résoudre f′(x)=f(−x)

167.Banque Mines-Ponts MP 2023 (avec préparation)

168.Symétrie et orthogonalité de exp(A)

169.Relation de Dyson

170.Zéros entrelacés

161. $Zéros entrelacés$

162. $Equation fonctionnelle de l'exponentielle matricielle$

163. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

164. $Bornitude de X^{'} = A X, A antisymétrique$

165. $EDL2 issue de f^{'} (x) = - f (α - x)$

166. $Résoudre f^{'} (x) = f (- x)$

167. $Banque Mines-Ponts MP 2023 (avec préparation)$

168. $Symétrie et orthogonalité de exp (A)$

169. $Relation de Dyson$

170. $Zéros entrelacés$