Exercices de Equations différentielles linéaires en maths Spé (prépa) (page 4) | The Maths Tailor
Exercices de Equations différentielles linéaires, Spé (prépa) (page 4)
170 exercices de Equations différentielles linéaires pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Généralités, Solutions d'une équation différentielle linéaire, Exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice, Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
Soient T∈R+∗, a et b deux fonctions continues et T-périodiques sur R et f une solution de l'équation différentielle (E):y′+ay=b. Montrer que f est T-périodique si et seulement si f(0)=f(T).
Résoudre sur ]−∞,−1[, ]−1,1[ puis ]1,+∞[ l'équation différentielle(1−x2)y′−xy=1
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On résout (1−x2)y′−xy=1 sur chacun des trois intervalles. Sur ces intervalles, 1−x2=0, donc on peut diviser :y′−1−x2xy=1−x21Résolution de l'homogène y′−1−x2xy=0 :
Une primitive de 1−x2x : posons u=1−x2, du=−2xdx, donc∫1−x2xdx=−21ln∣1−x2∣Les solutions de l'homogène sont yh=Ce−21ln∣1−x2∣=∣1−x2∣C.
Sur ]−1,1[ : 1−x2>0, donc ∣1−x2∣=1−x2.
Variation de la constante : y=1−x2C(x). On calcule :y′=1−x2C′(x)1−x2+C(x)1−x2x=1−x2C′(x)+(1−x2)3/2C(x)xEn substituant dans l'équation complète :1−x2C′(x)=1−x21⟹C′(x)=1−x21Donc C(x)=arcsin(x)+K, et les solutions sur ]−1,1[ sont :y=1−x2arcsin(x)+K,K∈RSur ]1,+∞[ : 1−x2<0, donc ∣1−x2∣=x2−1.
De même, yh=x2−1C. Variation de la constante :C′(x)=1−x21⋅1/x2−11=1−x2x2−1=x2−1−1Donc C(x)=−arcosh(x)+K=−ln(x+x2−1)+K, et les solutions sur ]1,+∞[ sont :y=x2−1K−ln(x+x2−1),K∈RSur ]−∞,−1[ : 1−x2<0, donc ∣1−x2∣=x2−1.
On obtient de même C′(x)=x2−1−1, et C(x)=−arcosh(−x)+K=−ln(−x+x2−1)+K.
Les solutions sur ]−∞,−1[ sont :y=x2−1K−ln(−x+x2−1),K∈R
125.Récurrence sur les solutions de xy′−αy=un
Soit α∈R.
Q1-Résoudre sur R+∗ l'équation différentielle xy′−αy=0. Déterminer l'unique solution f vérifiant f(1)=1.
Q2-Résoudre sur R+∗ l'équation différentielle xy′−αy=f. Déterminer l'unique solution g vérifiant g(1)=0.
Q3-On définit par récurrence une suite de fonctions (un) sur R+∗ de la manière suivante :
u0=f ;
pour tout n∈N, un+1 est l'unique solution de l'équation différentielle xy′−αy=un sur R+∗ valant 0 en 1.
Remarque. On a donc u1=g. Déterminer par récurrence un pour tout n∈N.
Soit q∈C0(R+,R+). On considère l'équation différentielle y′′+qy=0. On suppose que q est non constamment nulle au voisinage de +∞ et que l'on dispose d'une solution y strictement positive sur R+ et on pose f=yy′.
Q1-Trouver une équation différentielle vérifiée par f.
Q2-Montrer que f ne s'annule pas sur R+.
Q3-Montrer que f est décroissante sur R+ puis qu'elle y est strictement positive.
Q4-Montrer que q est intégrable sur R+ et que ∫[x,+∞[qx→+∞=O(x1).
Soient q une application continue périodique non identiquement nulle de R dans R+ et f une solution de l'équation différentielle y′′+qy=0. Montrer que f s'annule une infinité de fois sur R+.
Soit f∈C0(R) une fonction 2π-périodique. Montrer que l'équation différentielle y′′+y=f admet des solutions 2π-périodiques si et seulement si∫02πf(t)costdt=∫02πf(t)sintdt=0
On considère les équations différentielles :(E):x2y′′+4xy′+(2−x2)y=1(H):x2y′′+4xy′+(2−x2)y=0On note I=]0,+∞[, SI(E) l'ensemble des solutions de l'équation (E) sur I et SI(H) l'ensemble des solutions de l'équation (H) sur I.
Q1-Donner, en justifiant, la dimension de l'espace vectoriel SI(H).
Q2-Démontrer qu'il existe une unique solution f de (E) sur I développable en série entière sur R. Vérifier que pour tout x∈I, f(x)=x2coshx−1.
On considère l'équation différentielle (E):4xy′′−2y′+9x2y=0.
Q1-Déterminer les solutions développables en séries entières et préciser leurs domaines de définition.
Q2-Résoudre l'équation différentielle sur R+∗. On pourra utiliser la méthode de Lagrange : on pose y=hz avec h une solution particulière de l'équation différentielle sur R+∗ et z une fonction quelconque.
Le but de l'exercice est d'établir et d'utiliser le lemme de Grönwall.
Q1-Soit u,v:[a,b]→R+ continues. On suppose qu'il existe C une constante positive telle que∀t∈[a,b],u(t)≤C+∫atu(s)v(s)ds
On pose f(t)=exp(∫atv(s)ds)C+∫atu(s)v(s)ds. Calculer f(a), puis montrer que f est décroissante.
En déduire que ∀t∈[a,b],u(t)≤Cexp(∫atv(s)ds).
Q2-Soit A:R+→Mn(R) une fonction continue. Soit x:R+→Rn une solution de l'équation différentielle (E):x′(t)=A(t)x(t). On considère une norme euclidienne ∥⋅∥ sur Rn ainsi que la norme ∣⋅∣ de Mn(R) subordonnée à la norme ∥⋅∥.
On pose g(t)=∥x(t)∥2 pour t∈R+. Montrer que g′(t)≤2g(t)⋅∣A(t)∣ pour tout t∈R+.
On suppose que ∫0+∞∣A(s)∣ds converge. Montrer que les solutions de l'équation différentielle (E) sont bornées sur R+.
Soient q une fonction continue et intégrable sur R+. On considère l'équation différentielle (E):y′′+qy=0.
Q1-Soit f une solution bornée de (E) sur R+. Montrer que f′ admet une limite en +∞ puis déterminer la valeur de cette limite.
Q2-Soient f et g deux solutions bornées de (E) sur R+. Étudier le wronskien w=fg′−f′g des solutions f et g. En déduire que f et g sont liées. Que peut-on en conclure ?
Q2-Déterminer toutes les solutions de (E) s'annulant une infinité de fois sur [0,1].
Q3-On note pour x∈I, g(x)=−x21 et h(x)=x2sinhx. On admet dans cette question que g∈SI(E) et h∈SI(H). Donner, sans calculs, l'ensemble SI(E).
Q4-Quelle est la dimension de l'espace vectoriel SR(H) des solutions de (H) sur R ?
Q3-En procédant au changement de variable x=t2/3, retrouver le résultat de la question précédente.
Q2-Trouver les solutions du système différentiel X′(t)=AX(t), avec X(t)=f(t)g(t)h(t).
Q3-
Soit X∈S. Montrer que X est bornée sur R.
Soient P∈M2(R) inversible et M∈M2(R) telles que A=PMP−1. Soit Y:R→M2,1(R) de classe C1 sur R et telle que Y′=MY. Montrer que Y est bornée sur R.
Q4-On introduit sur M2,1(R) le produit scalaire défini par (X∣Z)=X⊤Z et on note ∥⋅∥ la norme euclidienne associée. Soit b:R→R continue et intégrable sur R. Soit X:R→M2,1(R) de classe C1 et telle que∀t∈R,X′(t)=(A+b(t)I2)X(t)Soit f:t↦∥X(t)∥2. Montrer que f est de classe C1 sur R et vérifie∀t∈R,f′(t)=2b(t)f(t)
Q5-Montrer que la fonction X de la question précédente est bornée.
Q1-
Montrer que f est une solution de (E) sur R+∗ si et seulement si g:t↦f(et) est solution sur R d'une équation différentielle à coefficients constants à déterminer.
En déduire les solutions de (E) sur R+∗.
Q2-
Montrer que f est une solution de (E) sur R−∗ si et seulement si g:t↦f(−et) est solution sur R d'une équation différentielle à coefficients constants à déterminer.
