Exercices de Equations différentielles linéaires en maths Spé (prépa) (page 3)

82. $Exp d'une matrice triangulaire$

On note

T = {(a 0 b c) ∣ a, b, c \in R}

T^{+}

le sous-ensemble de

T

formé des matrices de coefficients diagonaux strictement positifs.

Q1-Soit

M \in T

. Déterminer les puissances de

M

. Calculer

exp (M)

Q2-L'application

exp : T \to T^{+}

est-elle injective ? surjective ?

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83. $Exponentielle de la dérivation$

Sur

E = R_{n} [X]

, on note

D

l'endomorphisme de dérivation et

T

l'endomorphisme de translation définis par

D (P) = P^{'} (X) et T (P (X)) = P (X + 1) .

Établir

exp (D) = T

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84. $Antisymétrie implique exp \in O_{n}$

Soit

T

une matrice réelle carrée d'ordre

n

antisymétrique.
Établir que la matrice

exp (T)

est orthogonale.

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85. $Que dire de exp (A) si A antisymétrique$

Soit

A

une matrice antisymétrique de

M_{n} (R)

.
Que peut-on dire de

exp A

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86. $Morphisme continu φ (s + t) = φ (s) φ (t)$

On se donne

φ : R \to G L_{n} (R)

continue et telle que :

\forall (s, t) \in R^{2}, φ (s + t) = φ (s) φ (t) .

Q1-On suppose dans cette question

φ

de classe

C^{1}

. Montrer que

\forall t \in R, φ^{'} (t) = φ^{'} (0) φ (t)

. En déduire qu'il existe

A \in M_{n} (R)

telle que

φ (t) = exp (t A)

pour tout

t

réel.

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87. $Puissances, exp d'une tridiagonale$

On pose

A = 010101010 .

Sans diagonaliser la matrice

A

, déterminer son polynôme caractéristique, son polynôme minimal et calculer

A^{k}

pour

k \in N

.
Évaluer

exp (A)

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88. $Polynômes et exp d'une matrice 3 \times 3$

Soit

A = 000 00 - 1 010

dans

M_{3} (R)

. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de

A

. Calculer

exp A

exp (A) exp (t A)

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89. $Diagonalisation, exp en a$

Soient

a \in R^{*}

A = 0 1/ a 1/ a^{2} a 0 1/ a a^{2} a 0 .

Q1-Calculer le polynôme minimal de

A

Q2-La matrice

A

est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

Q3-Calculer

e^{A}

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90. $Matrice aux racines de l'unité, exp (A)$

Soit

A = 1 j j^{2} j j^{2} 1 j^{2} 1 j .

Étudier la diagonalisabilité de

A

, déterminer les polynômes minimal et caractéristique de

A

, calculer

exp A

. Proposer une généralisation en dimension

n

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91. $Calcul de cosh (A) via le spectre de A$

Soit

A \in M_{3} (R)

telle que

Sp A = {- 2, 1, 3}

Q1-Exprimer

A^{n}

en fonction de

A^{2}

A

I_{3}

Q2-Calculer

cosh (A) = n = 0 \sum + \infty \frac{A ^{2 n}}{( 2 n )!}

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92. $Exponentielle d'une matrice avec A^{4} = I_{n}$

Soit

A \in M_{n} (K)

avec

K = R

C

telle que

A^{4} = I_{n}

. Déterminer

exp (A)

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93. $Preuve de exp (a + b) = exp (a) exp (b)$

Soient

a, b \in L (E)

vérifiant

a \circ b = b \circ a

.
En considérant pour

x_{0} \in E

, l'application

t \mapsto (exp (t a) \circ exp (t b)) x_{0}

, établir

exp (a + b) = exp (a) \circ exp (b) .

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94. $Système X^{'} = A X avec A^{2} = - I$

Soit

A \in M_{2 n} (R)

une matrice vérifiant

A^{2} + I_{2 n} = O_{2 n}

.
Exprimer la solution générale de l'équation matricielle

X^{'} (t) = A X (t)

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95. $Périodicité des solutions de X^{'} = A X + B (t)$

Soit

A \in M_{n} (C)

une matrice dont aucune valeur propre n'est élément de

2 iπ Z

Q1-Montrer que

e^{A} - I_{n}

est inversible.

Q2-Soit

B : R \to M_{n, 1} (C)

une fonction continue et

1

-périodique. Montrer que l'équation

(E) : X^{'} = A X + B (t)

d'inconnue

X : R \to M_{n, 1} (C)

possède une unique solution

1

-périodique.

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96. $Jordan et solutions bornées de X^{'} = A X$

On étudie, à l'aide de la réduction de Jordan, les solutions bornées sur

R

du système différentiel

X^{'} = A X

où

A \in M_{n} (C)

Q1-Soit

N \in M_{n} (C)

nilpotente d'indice

p

. Montrer que

(I_{n}, N, N^{2}, \dots, N^{p - 1})

est une famille libre. Exprimer

e^{t (λ I_{n} + N)}

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97. $Rotation à coefficients variables$

Résoudre le système différentiel réel suivant

{x^{'} = cos (t) x + sin (t) y y^{'} = - sin (t) x + cos (t) y .

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98. $Système avec matrice affine A + tN$

Résoudre le système différentiel suivant

{x_{1}^{'} = (2 - t) x_{1} + (t - 1) x_{2} x_{2}^{'} = 2 (1 - t) x_{1} + (2 t - 1) x_{2} .

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99. $Matrice t I + B diagonalisable$

Résoudre le système différentiel suivant :

{x_{1}^{'} = (t + 3) x_{1} + 2 x_{2} x_{2}^{'} = - 4 x_{1} + (t - 3) x_{2} .

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100. $Affine en t, second membre e^{t}$

Résoudre le système différentiel

{x_{1}^{'} = (1 + t) x_{1} + t x_{2} - e^{t} x_{2}^{'} = - t x_{1} + (1 - t) x_{2} + e^{t} .

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101. $Système 2 \times 2 à coefficients constants$

Résoudre le système différentiel suivant

{x^{'} = 4 x - 2 y y^{'} = x + y .

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102. $Constant, second membre e^{t}$

Résoudre le système différentiel suivant

{x_{1}^{'} = - x_{1} + 3 x_{2} + e^{t} x_{2}^{'} = - 2 x_{1} + 4 x_{2} .

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103. $Système constant, seconds membres e^{t}, e^{- 3 t}$

Résoudre le système différentiel suivant

{x^{'} = x + 8 y + e^{t} y^{'} = 2 x + y + e^{- 3 t} .

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104. $Système homogène 3 \times 3 couplé$

Résoudre le système différentiel suivant

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = y + z y^{'} = x z^{'} = x + y + z .

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105. $Résolution d'un système 3 \times 3 homogène$

Résoudre le système différentiel suivant

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = 2 x - y + 2 z y^{'} = 10 x - 5 y + 7 z z^{'} = 4 x - 2 y + 2 z .

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106. $Système linéaire 3 \times 3 couplé (I)$

Résoudre le système différentiel linéaire

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = x - z y^{'} = x + y + z z^{'} = - x - y + z .

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107. $Rotation : plan et sphère$

On étudie le système différentiel

(S) : ⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = z - y y^{'} = x - z z^{'} = y - x .

Q1-Ce système possède-t-il des solutions ?

Q2-Sans résoudre le système, montrer que pour tout réel

t

, le point

M (t)

de coordonnées

(x (t), y (t), z (t))

se situe à l'intersection d'un plan et d'une sphère.

Q3-Calculer

A^{3}

et exprimer sous forme matricielle la solution générale du système

(S)

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108. $Trajectoire dans un hyperplan pour X^{'} = A X$

Soient

A

une matrice non inversible de

M_{n} (R)

t \mapsto X (t)

une solution du système différentiel

X^{'} = A X

. Montrer que les valeurs prises par la fonction

t \mapsto X (t)

sont incluses dans un hyperplan affine.

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109. $Zéros des solutions d'ordre n$

On étudie l'équation différentielle définie sur

R

(E) : y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0

avec

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}

des fonctions continues de

R

dans

R

.
Soit

x_{0}

un réel. Montrer qu'il existe

α > 0

tel que les solutions non nulles de l'équation

(E)

s'annulent au plus

n - 1

fois dans l'intervalle

[x_{0} - α; x_{0} + α]

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110. $Équation intégrale f + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = 1 - x$

ccp

Soit

f : R \to R

continue vérifiant

\forall x \in R, f (x) + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = 1 - x .

Q1-Montrer que

f

est

C^{1}

Q2-Trouver toutes les solutions.

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111. $Résoudre (1 + t^{2}) x^{''} + t x^{'} + a^{2} x = 0$

ccp

Effectuer le changement de variable

u = φ (t)

dans

(1 + t^{2}) x^{''} + t x^{'} + a^{2} x = 0

pour la transformer en équation à coefficients constants et la résoudre.

112. $Résoudre (x + 1) y^{''} - (3 x + 4) y^{'} + 3 y = (3 x + 2) e^{3 x}$

ccp

On veut résoudre

(E) : (x + 1) y^{''} - (3 x + 4) y^{'} + 3 y = (3 x + 2) e^{3 x}

113. $Solution DSE de x y^{''} + y^{'} + y = 0$

ccp

On considère

x y^{''} + y^{'} + y = 0

Q1-Montrer l'existence d'une solution DSE avec

h (0) = 1

Q2-Montrer que

h

s'annule sur

] 0; 2 [

Q3-Montrer que

h

ne s'annule qu'une fois sur

] 0; 2 [

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114. $Riccati associée à deux solutions u_{1} u_{2} = 1$

centrale

On considère l'équation différentielle

(E_{1}) : x^{''} + p (t) x^{'} + q (t) x = 0.

Q1-Soit

u_{1}

u_{2}

deux solutions de

(E_{1})

telles que

u_{1} u_{2} = 1

. On pose

z_{i} = u_{i}^{'} / u_{i}

. Montrer que les

z_{i}

sont deux solutions opposées d'une équation différentielle non linéaire

(E_{2})

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115. $Zéros des solutions de y^{''} + cos^{2} (t) y = 0$

centrale

On considère l'équation différentielle

(E) : y^{''} + cos^{2} (t) y = 0.

Q1-Justifier l'existence d'une solution

u

(E)

telle que

u (0) = 1

u^{'} (0) = 0

Q2-Démontrer l'existence de deux réels

α, β

vérifiant

α < 0 < β

u^{'} (α) > 0

u^{'} (β) < 0

. En déduire que

u

possède au moins un zéro dans

R_{-}^{*}

R_{+}^{*}

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116. $Résonance de y^{''} + y = cos (n t)$

centrale

On étudie l'équation différentielle

y^{''} + y = cos (n t)

, puis avec un second membre développé en série trigonométrique.

Q1-Résoudre l'équation différentielle

y^{''} + y = cos (n t)

Q2-Soit

\sum a_{n}

une série absolument convergente. Résoudre l'équation différentielle

y^{''} + y = n = 0 \sum + \infty a_{n} cos (n t) .

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117. $Morphisme dans G L_{n} (R) et convolution$

centrale

On se donne

φ : R \to GL_{n} (R)

continue et telle que:

\forall (s, t) \in R^{2}, φ (s + t) = φ (s) φ (t) .

Q1-On suppose dans cette question

φ

de classe

C^{1}

. Montrer que

\forall t \in R, φ^{'} (t) = φ^{'} (0) φ (t) .

En déduire qu'il existe

A \in M_{n} (R)

telle que

φ (t) = exp (t A)

pour tout

t

réel.

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118. $Produit d'exponentielles vers exp (A + B)$

centrale

Soient

A

B

dans

M_{p} (R)

. Montrer que

n \to + \infty lim (exp (\frac{A}{n}) exp (\frac{B}{n}))^{n} = exp (A + B) .

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119. $Dunford et solutions bornées de X^{'} = A X$

centrale

On étudie, à l'aide de la décomposition de Dunford, les solutions bornées sur

R

du système différentiel

X^{'} = A X

où

A \in M_{n} (C)

Q1-Soit

N \in M_{n} (C)

nilpotente d'indice

p

. Montrer que

(I_{n}, N, N^{2}, \dots, N^{p - 1})

est une famille libre. Exprimer

e^{t (λ I_{n} + N)}

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120. $Résolution de y^{''} + y = 1/ x et applications$

mines

Q1-Résoudre sur

R_{+}^{*}

par variation des constantes l'équation différentielle

y^{''} + y = 1/ x

Q2-En déduire une expression de

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t x}}{1 + t ^{2}} d t

valable pour

x > 0

Q3-Calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

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81.Limite de (exp(A/n)exp(B/n))n vers exp(A+B)

82.Exp d'une matrice triangulaire

83.Exponentielle de la dérivation

84.Antisymétrie implique exp∈On​

85.Que dire de exp(A) si A antisymétrique

86.Morphisme continu φ(s+t)=φ(s)φ(t)

87.Puissances, exp d'une tridiagonale

88.Polynômes et exp d'une matrice 3×3

89.Diagonalisation, exp en a

90.Matrice aux racines de l'unité, exp(A)

91.Calcul de cosh(A) via le spectre de A

92.Exponentielle d'une matrice avec A4=In​

93.Preuve de exp(a+b)=exp(a)exp(b)

94.Système X′=AX avec A2=−I

95.Périodicité des solutions de X′=AX+B(t)

96.Jordan et solutions bornées de X′=AX

97.Rotation à coefficients variables

98.Système avec matrice affine A+tN

99.Matrice tI+B diagonalisable

100.Affine en t, second membre et

101.Système 2×2 à coefficients constants

102.Constant, second membre et

103.Système constant, seconds membres et,e−3t

104.Système homogène 3×3 couplé

105.Résolution d'un système 3×3 homogène

106.Système linéaire 3×3 couplé (I)

107.Rotation : plan et sphère

108.Trajectoire dans un hyperplan pour X′=AX

109.Zéros des solutions d'ordre n

110.Équation intégrale f+∫0x​(x−t)f(t)dt=1−x

111.Résoudre (1+t2)x′′+tx′+a2x=0

112.Résoudre (x+1)y′′−(3x+4)y′+3y=(3x+2)e3x

113.Solution DSE de xy′′+y′+y=0

114.Riccati associée à deux solutions u1​u2​=1

115.Zéros des solutions de y′′+cos2(t)y=0

116.Résonance de y′′+y=cos(nt)

117.Morphisme dans GLn​(R) et convolution

118.Produit d'exponentielles vers exp(A+B)

119.Dunford et solutions bornées de X′=AX

120.Résolution de y′′+y=1/x et applications

81. $Limite de (exp (A / n) exp (B / n))^{n} vers exp (A + B)$

82. $Exp d'une matrice triangulaire$

83. $Exponentielle de la dérivation$

84. $Antisymétrie implique exp \in O_{n}$

85. $Que dire de exp (A) si A antisymétrique$

86. $Morphisme continu φ (s + t) = φ (s) φ (t)$

87. $Puissances, exp d'une tridiagonale$

88. $Polynômes et exp d'une matrice 3 \times 3$

89. $Diagonalisation, exp en a$

90. $Matrice aux racines de l'unité, exp (A)$

91. $Calcul de cosh (A) via le spectre de A$

92. $Exponentielle d'une matrice avec A^{4} = I_{n}$

93. $Preuve de exp (a + b) = exp (a) exp (b)$

94. $Système X^{'} = A X avec A^{2} = - I$

95. $Périodicité des solutions de X^{'} = A X + B (t)$

96. $Jordan et solutions bornées de X^{'} = A X$

97. $Rotation à coefficients variables$

98. $Système avec matrice affine A + tN$

99. $Matrice t I + B diagonalisable$

100. $Affine en t, second membre e^{t}$

101. $Système 2 \times 2 à coefficients constants$

102. $Constant, second membre e^{t}$

103. $Système constant, seconds membres e^{t}, e^{- 3 t}$

104. $Système homogène 3 \times 3 couplé$

105. $Résolution d'un système 3 \times 3 homogène$

106. $Système linéaire 3 \times 3 couplé (I)$

107. $Rotation : plan et sphère$

108. $Trajectoire dans un hyperplan pour X^{'} = A X$

109. $Zéros des solutions d'ordre n$

110. $Équation intégrale f + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = 1 - x$

111. $Résoudre (1 + t^{2}) x^{''} + t x^{'} + a^{2} x = 0$

112. $Résoudre (x + 1) y^{''} - (3 x + 4) y^{'} + 3 y = (3 x + 2) e^{3 x}$

113. $Solution DSE de x y^{''} + y^{'} + y = 0$

114. $Riccati associée à deux solutions u_{1} u_{2} = 1$

115. $Zéros des solutions de y^{''} + cos^{2} (t) y = 0$

116. $Résonance de y^{''} + y = cos (n t)$

117. $Morphisme dans G L_{n} (R) et convolution$

118. $Produit d'exponentielles vers exp (A + B)$

119. $Dunford et solutions bornées de X^{'} = A X$

120. $Résolution de y^{''} + y = 1/ x et applications$