Exercices de Probabilités en maths Spé (prépa)

1. $Fonction qui échange Q et R ∖ Q$

2. $Non-dénombrabilité de ℘ (N)$

On souhaite établir que l'ensemble

℘ (N)

des parties de

N

n'est pas dénombrable. Pour cela on raisonne par l'absurde et l'on suppose qu'il existe une bijection

φ

N

vers

℘ (N)

.

Établir une absurdité en introduisant l'ensemble

A = {n \in N ∣ n \in / φ (n)} .

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3. $Dénombrabilité des algébriques$

On appelle nombre algébrique, tout nombre complexe

x

solution d'une équation de la forme

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0 avec a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in Z et a_{n} \neq = 0.

On appelle degré d'un nombre algébrique

x

, le plus petit

n \in N

tel que

x

soit solution d'une équation comme ci-dessus.

Q1-Quels sont les nombres algébriques de degré

1

Q2-Montrer que l'ensemble des nombres algébriques de degré au plus

n

est dénombrable.

Q3-L'ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable ?

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4. $[0; 1] n'est pas dénombrable$

On se propose d'établir par une construction explicite que l'intervalle

[0; 1]

n'est pas dénombrable.

Q1-Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{2 ^{n + 1}}

Q2-Soit

(u_{n})_{n \in N}

une suite d'éléments de

[0; 1]

. Montrer

\forall n \in N, [0; 1] ∖ k = 0 ⋃ n [u_{k} - \frac{1}{2 ^{k + 2}}; u_{k} + \frac{1}{2 ^{k + 2}}] \neq = \emptyset .

Q3-On peut alors construire une suite

(x_{n})_{n \in N}

d'éléments de

[0; 1]

vérifiant

\forall n \in N, x_{n} \in / k = 0 ⋃ n [u_{k} - \frac{1}{2 ^{k + 2}}; u_{k} + \frac{1}{2 ^{k + 2}}] .

Justifier qu'on peut extraire la suite

(x_{n})_{n \in N}

une suite convergeant vers un élément

ℓ

[0; 1]

Q4-Exploiter les idées précédentes pour établir que

[0; 1]

n'est pas dénombrable.

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5. $Parties finies de N dénombrables$

Montrer que l'ensemble des parties finies de

N

est dénombrable.

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6. $Tribu trace sur une partie$

Soient

T

une tribu sur un ensemble

Ω

Ω^{'}

une partie de

Ω

.
Vérifier que

T^{'} = {A \cap Ω^{'} ∣ A \in T}

définit une tribu sur

Ω^{'}

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7. $Tribu image réciproque$

Soient

f : Ω \to Ω^{'}

une application et

T^{'}

une tribu sur

Ω^{'}

. Vérifier que

T = {f^{- 1} (A^{'}) ∣ A^{'} \in T^{'}}

définit une tribu sur

Ω

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8. $Tribu engendrée par une partie$

Q1-Soit

(T_{i})_{i \in I}

une famille de tribus sur un même ensemble

Ω

. Montrer que

T = i \in I ⋂ T_{i}

est une tribu sur

Ω

Q2-Soit

S

une partie de

P (Ω)

(T_{i})_{i \in I}

la famille de toutes les tribus de

Ω

contenant les éléments de

S

. Vérifier que

T = i \in I ⋂ T_{i}

est une tribu contenant les éléments de

S

et que c'est la plus petite tribu (au sens de l'inclusion) vérifiant cette propriété.

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9. $Limsup et liminf d'évènements$

Soit

(A_{n})_{n \in N}

une suite d'évènements de l'espace probabilisable

(Ω, T)

Q1-Vérifier que

A = p \in N ⋃ n \geq p ⋂ A_{n}

est un évènement. À quelle condition simple sur la suite d'évènements

(A_{n})_{n \in N}

l'évènement

A

sera-t-il réalisé ?

Q2-Même question avec

A^{'} = p \in N ⋂ n \geq p ⋃ A_{n}

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10. $Tribu engendrée par une partition$

Soit

Ω

un ensemble infini et

(A_{n})_{n \in N}

une famille de parties de

Ω

vérifiant

n \neq = m \Rightarrow A_{n} \cap A_{m} = \emptyset

n \in N ⋃ A_{n} = Ω

.
On pose

A = {n \in T ⋃ A_{n} ∣ T \in ℘ (N)} .

Q1-Montrer que

A

est une tribu de

Ω

Q2-On suppose l'ensemble

Ω

dénombrable. Montrer que toute tribu infinie sur

Ω

est de la forme ci-dessus pour une certaine famille

(A_{n})_{n \in N}

Q3-Existe-t-il des tribus dénombrables ?

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11. $Tribu dénombrable-codénombrable$

Dans ce sujet dénombrable signifie « au plus dénombrable ».
Soit

Ω

un ensemble. On introduit

T = {A \subset Ω ∣ A ou \overline{A} est d \overset{e}{ˊ} nombrable} .

Q1-Vérifier que

T

est une tribu sur

Ω

Q2-Justifier que

T

est la plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant les singletons

{ω}

pour

ω

parcourant

Ω

Q3-Vérifier que si

Ω

est dénombrable alors

T = ℘ (Ω)

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12. $Tribu des ensembles saturés$

Soit une application

f : Ω \to Ω^{'}

et l'ensemble

T = {A \subset Ω ∣ A = f^{- 1} (f (A))} .

Vérifier que

T

est une tribu sur

Ω

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13. $La probabilité P ({n}) tend vers 0$

Soit

P

une probabilité sur

(N, ℘ (N))

.
Montrer que

P ({n}) n \to + \infty 0

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14. $Une probabilité liée à une suite (a_{n})$

Soit

(a_{n})_{n \in N}

une suite strictement décroissante de réels positifs de limite nulle.
Déterminer

λ \in R

tel qu'il existe une probabilité

P

sur

(N, ℘ (N))

vérifiant

P ({n, n + 1, \dots}) = λ a_{n}

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15. $Distance P (A △ B) entre évènements$

Soit

(Ω, T, P)

un espace probabilisé. Pour

A, B \in T

, on pose

d (A, B) = P (A △ B)

avec

A △ B

la différence symétrique de

A

B

définie par

A △ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)

Q1-Vérifier

d (A, C) \leq d (A, B) + d (B, C)

Q2-En déduire

∣ P (A) - P (B) ∣ \leq P (A △ B)

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16. $Premier double pile consécutif$

On lance une pièce avec la probabilité

p

de faire « Pile ». On note

A_{n}

l'événement « on obtient pour la première fois deux piles consécutifs lors du

n

-ième lancer » et l'on désire calculer sa probabilité

a_{n}

Q1-Déterminer

a_{1}

a_{2}

a_{3}

Q2-Exprimer

a_{n + 2}

en fonction de

a_{n}

a_{n + 1}

pour

n \geq 1

Q3-Justifier qu'il est quasi-certain d'obtenir deux piles consécutifs.

Q4-Déterminer le nombre d'essais moyen pour obtenir deux piles consécutifs.

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17. $Enfants selon une loi de Poisson$

Dans une population, la probabilité qu'une famille ait

n

enfants est estimée par la valeur

p_{n} = \frac{λ ^{n}}{n !} e^{- λ} avec λ ≃ 2.

En supposant les sexes équiprobables et l'indépendance des sexes des enfants à l'intérieur d'une même famille, donner une estimation de la probabilité qu'une famille ait au moins une fille.

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18. $Rang du premier couple de succès$

On répète successivement et indépendamment une expérience qui a la même probabilité de réussir que d'échouer. Pour

n \geq 2

, on introduit les événements :

A_{n}

= « On obtient deux succès consécutifs lors des

n

premières expériences »,

B_{n}

= « On obtient le premier couple de succès consécutifs aux rangs

n - 1

n

».
Enfin, on pose

p_{n} = P (B_{n})

p_{1} = 0

Q1-Calculer

p_{2}

p_{3}

p_{4}

Q2-Pour

n \geq 2

, vérifier

P (A_{n}) = k = 1 \sum n p_{k}

p_{n + 3} = \frac{1}{8} (1 - k = 1 \sum n p_{k})

Voir le corrigé

(a)

Notons

S_{n}

l'événement « L'expérience au rang

n

est un succès ». On sait

P (S_{n}) = P (\overline{S_{n}}) = \frac{1}{2}

.
On peut exprimer simplement

B_{2}

B_{3}

B_{4}

en fonctions des événements

S_{n}

B_{2} = S_{1} \cap S_{2}, B_{3} = \overline{S_{1}} \cap S_{2} \cap S_{3} et B_{4} = \overline{S_{2}} \cap S_{3} \cap S_{4} .

Par indépendance des résultats des différentes expériences

p_{2} = \frac{1}{4}

p_{3} = \frac{1}{8}

p_{4} = \frac{1}{8}

(b)

L'événement

A_{n}

est la réunion des

B_{k}

pour

k

allant de

2

n

et ces derniers sont deux à deux incompatibles. Par additivité, on a donc

P (A_{n}) = P (k = 2 ⋃ n B_{k}) = k = 2 \sum n P (B_{k}) = k = 1 \sum n p_{k}

car

p_{1} = 0

.
Étudions ensuite

P (B_{n + 3})

. L'événement

B_{n + 3}

signifie que deux succès consécutifs sont rencontrés aux rangs

n + 2

n + 3

et que cette situation n'a pas été rencontrée précédemment :

B_{n + 3} = S_{n + 2} \cap S_{n + 3} \cap \overline{A_{n + 2}} .

Cependant, si l'expérience a réussi au rang

n + 2

mais qu'on n'a pas rencontré deux succès consécutifs avant ce rang, c'est qu'elle a échoué au rang

n + 1

. Ainsi,

S_{n + 2} \cap \overline{A_{n + 2}} \subset \overline{S_{n + 1}}

et donc

S_{n + 2} \cap \overline{A_{n + 2}} = \overline{S_{n + 1}} \cap S_{n + 2} \cap \overline{A_{n + 2}} .

Aussi, sachant que l'expérience a échoué au rang

n + 1

, affirmer qu'il n'y a pas eu deux succès consécutifs avant le rang

n + 2

revient à signifier qu'on n'a pas rencontré deux succès consécutifs avant le rang

n

\overline{S_{n + 1}} \cap \overline{A_{n + 2}} = \overline{S_{n + 1}} \cap \overline{A_{n}}

.
Ainsi, on a l'égalité

B_{n + 3} = \overline{S_{n + 1}} \cap S_{n + 2} \cap S_{n + 3} \cap \overline{A_{n}}

.
Enfin, les différentes expériences étant indépendantes et l'événement

\overline{A_{n}}

n'étant que fonction des événements

S_{1}, \dots, S_{n}

, les événements de l'intersection précédente sont indépendants ce qui donne

p_{n + 3} = P (B_{n + 3}) = P (\overline{S_{n + 1}}) P (S_{n + 2}) P (S_{n + 3}) P (\overline{A_{n}}) = \frac{1}{8} (1 - k = 1 \sum n p_{k}) .

(c)

L'égalité précédente démontrée pour

n \geq 2

est aussi vraie pour

n = 1

. Pour

n \geq 2

, on peut alors écrire à la fois

p_{n + 3} = \frac{1}{8} (1 - k = 1 \sum n p_{k}) et p_{n + 2} = \frac{1}{8} (1 - k = 1 \sum n - 1 p_{k}) .

Par différence, on obtient

p_{n + 3} - p_{n + 2} = - \frac{1}{8} p_{n}

et cette égalité est encore vraie pour

n = 1

(d)

(p_{n})_{n \geq 1}

est une suite récurrente linéaire d'ordre

3

: l'expression de son terme général se déduit du calcul des puissances d'une matrice traduisant la relation de récurrence.
Pour

n \geq 1

, introduisons

X_{n}

la colonne de coefficients

p_{n}

p_{n + 1}

p_{n + 2}

. On a

X_{n + 1} = A X_{n}

avec

A = 00 - \frac{1}{8} 100011 .

Par récurrence, on obtient

X_{n} = A^{n - 1} X_{1}

pour tout

n \geq 1

. Afin de calculer la puissance de

A

, on étudie la réduction de cette matrice. Son polynôme caractéristique est

χ_{A} = X^{3} - X^{2} + \frac{1}{8} = (X - \frac{1}{2}) (X^{2} - \frac{1}{2} X - \frac{1}{4})

de racines distinctes :

α = \frac{1}{2}

β = \frac{1 + 5}{4}

γ = \frac{1 - 5}{4}

.
Après calculs, on obtient

p_{n} = \frac{1}{2 5} (\frac{1 + 5}{4})^{n - 1} - (\frac{1 - 5}{4})^{n - 1}

pour tout

n \geq 1

19. $Urne de Pólya et tirages indéfinis$

Une urne contient une boule blanche et une boule rouge.
On tire dans cette urne une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne accompagnée de deux autres boules de la même couleur puis on répète l'opération.

Q1-Quelle est la probabilité que les

n

premières boules tirées soient rouges ?

Q2-Quelle est la probabilité de tirer indéfiniment des boules rouges ?

Q3-Le résultat précédent reste-t-il vrai si on remet la boule accompagnée de trois autres boules de la même couleur ?

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20. $Jour le plus probable d'une perte$

Chaque jour du lundi au vendredi, le professeur Zinzin a la probabilité

p \in] 0; 1 [

d'oublier ses notes de cours en classe. Peu lui importe car il improvise à chaque cours, mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et ça le contrarie. Il est cependant certain de les avoir eu en sa possession lundi matin.

Q1-Quelle est la probabilité que le professeur Zinzin ait perdu ses notes de cours dans la journée de Lundi ?

Q2-Quel est le jour le plus probable où eut lieu cette perte ?

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21. $Langues de belle-mère défectueuses$

Deux entreprises asiatiques produisent des « langues de belle-mère » en proportion égale. Cependant certaines sont défectueuses, dans la proportion

p_{1}

pour la première entreprise, dans la proportion

p_{2}

pour la seconde. Un client achète un sachet contenant

n

articles. Il souffle dans une première et celle-ci fonctionne : le voilà prêt pour fêter le nouvel an !

Q1-Quelle est la probabilité pour qu'une seconde langue de belle-mère choisie dans le même sachet fonctionne ?

Q2-Quelle est la probabilité que le sachet comporte

k

articles fonctionnels (y compris le premier extrait) ?

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22. $Familles, sexes et loi de Poisson$

Dans une population, la probabilité

p_{n}

qu'une famille ait

n

enfants est donnée par la formule

p_{n} = a \frac{2 ^{n}}{n !} avec a > 0.

Q1-Déterminer la valeur de

a

Q2-Calculer la probabilité qu'une famille ait au moins un garçon.

Q3-On suppose qu'une famille a exactement un garçon. Quelle est la probabilité que la famille comporte deux enfants ?

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23. $Indépendance et complémentaires$

On étudie la stabilité de la mutuelle indépendance d'une famille d'évènements lorsqu'on remplace certains d'entre eux par leur complémentaire.

Q1-Soit

(A_{1}, \dots, A_{n})

une famille d'évènements mutuellement indépendants. Pour chaque

i \in {1, \dots, n}

, on pose

A_{i} = A_{i}

\overline{A_{i}}

. Vérifier que la famille

(A_{1}, \dots, A_{n})

est constituée d'évènements mutuellement indépendants.

Q2-Étendre le résultat au cas d'une famille

(A_{i})_{i \in I}

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24. $Majoration via exp (- \sum P (A_{n}))$

Soit

(A_{n})_{n \in N}

une suite d'évènements mutuellement indépendants.
Montrer que la probabilité qu'aucun des

A_{n}

ne soit réalisé est inférieure à

exp (- n = 0 \sum + \infty P (A_{n})) .

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25. $Union d'évènements indépendants$

Soient

(Ω, T, P)

un espace probabilisé et

(A_{n})_{n \in N}

une suite d'événements mutuellement indépendants.

Q1-Démontrer

P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = 1 - n \to + \infty lim k = 0 \prod n P (\overline{A_{k}})

Q2-On suppose

P (A_{n}) \neq = 1

pour tout

n \in N

. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)

P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = 1

;

(ii)

\sum ln (P (\overline{A_{n}}))

diverge ;

(iii)

\sum P (A_{n})

diverge.

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26. $Probabilités et produit eulérien$

Soit

P

l'ensemble des nombres premiers et, pour

s > 1

ζ (s) = n = 1 \sum + \infty n^{- s} .

Q1-Pour quels

λ \in R

, la famille

(λ n^{- s})_{n \in N^{*}}

définit-elle une loi de probabilité sur

N^{*}

Q2-

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27. $X_{N} est une variable discrète$

Soit

(X_{n})_{n \in N}

une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble

E

N

une variable aléatoire à valeurs naturelles toutes définies sur un même espace probabilisable

(Ω, T)

. On définit une fonction

Y

par

\forall ω \in Ω, Y (ω) = X_{N (ω)} (ω) .

Justifier que

Y

est une variable aléatoire discrète.

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28. $Taux de panne et série divergente$

Soit

T

une variable aléatoire à valeurs naturelles vérifiant

\forall n \in N, P (T > n) > 0.

On appelle taux de panne associé à

T

la suite

(θ_{n})_{n \in N}

déterminée par

θ_{n} = P (T = n ∣ T \geq n) .

Typiquement, si

T

est la variable aléatoire indiquant l'instant où un matériel tombe en panne, la quantité

θ_{n}

indique la probabilité qu'il tombe en panne à l'instant présent alors qu'il est actuellement fonctionnel.

Q1-Justifier

\forall n \in N, θ_{n} \in [0; 1 [

Q2-Exprimer en fonction des termes de la suite

(θ_{n})_{n \in N}

, la probabilité

P (T \geq n)

. En déduire la divergence de la série

\sum θ_{n}

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29. $Majoration de la variance par (b - a)^{2} /4$

Soit

X

une variable aléatoire discrète à valeurs dans

[a; b]

.
La variable

X

admet aussi une variance

σ^{2}

que l'on se propose de majorer.
On introduit la variable aléatoire

Y = X - m

et les quantités

t = y \geq 0 \sum y P (Y = y), s = y \geq 0 \sum y^{2} P (Y = y) et u = P (Y \geq 0) .

Q1-Montrer que

X

admet une espérance

m

et que celle-ci est élément de

[a; b]

Q2-Vérifier

t^{2} \leq s u

Q3-Calculer espérance et variance de

Y

. En déduire

t^{2} \leq (σ^{2} - s) (1 - u)

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30. $Somme de lois géométriques$

On dit qu'une variable aléatoire

X

suit une loi binomiale négative de paramètres

n

p

X (Ω) = {n, n + 1, \dots} et P (X = k) = (n - 1 k - 1) p^{n} (1 - p)^{k - n} .

Q1-Soit

X_{1}, \dots, X_{n}

des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi géométrique de paramètre

p

. Montrer que

X_{1} + \dots + X_{n}

suit une loi binomiale négative de paramètres

n

p

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31. $La martingale de la roulette$

On suppose qu'à la roulette d'un Casino, on obtient la couleur noire avec la probabilité

1/2

, la couleur rouge sinon. Un joueur fortuné joue selon le protocole suivant :
- il mise initialement

1

brouzouf sur la couleur noire ;
- s'il gagne, il arrête de jouer et empoche le double de sa mise ;
- s'il perd, il double sa mise et rejoue.

Q1-On suppose la fortune du joueur infinie. Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement. Déterminer l'espérance de gain du joueur.

Q2-On suppose toujours la fortune du joueur infinie. Que se passe-t-il si au lieu de doubler, il décide de tripler sa mise lorsqu'il rejoue ?

Q3-Le joueur ne possède que

2^{n} - 1

brouzoufs ce qui l'autorise à ne pouvoir jouer que

n

parties. Que devient son espérance de gain ?

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32. $Nombre de six en relançant des dés$

Un joueur dispose de

N

dés équilibrés. Il lance une première fois ceux-ci et on note

X_{1}

le nombre de « six » obtenus. Il met de côté les dés correspondants et relance les autres dés (s'il en reste). On note

X_{2}

le nombre de « six » obtenus et on répète l'expérience définissant ainsi une suite de variables aléatoires

X_{1}, X_{2}, \dots

.
La variable

S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

correspond alors au nombre de « six » obtenu après

n

lancers.

Q1-Vérifier que

S_{n}

suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Q2-Montrer qu'il est presque sûr qu'il existe un rang

n

pour lequel

S_{n} = N

Q3-On définit la variable aléatoire

T = min {n \geq 1 ∣ S_{n} = N} \cup {+ \infty}

. Déterminer la loi de

T

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33. $k tirages identiques consécutifs$

Dans une urne figurent

N

boules numérotées de

1

N

(avec

N \geq 2

). Dans celle-ci on opère des tirages successifs (avec remise) jusqu'à l'obtention d'une série de

k

boules consécutives identiques (

k \geq 2

). On admet qu'il est presque sûr que ce processus s'arrête et on note

T

la variable aléatoire déterminant le nombre de tirages opérés à l'arrêt du processus.

Q1-Déterminer

P (T = k)

P (T = k + 1)

Q2-Soit

n \geq 1

, établir

P (T = n + k) = \frac{N - 1}{N ^{k}} P (T > n)

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34. $Attente avant succès consécutifs$

On considère une suite

(X_{n})_{n \geq 1}

de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre

p \in] 0; 1 [

et l'on étudie la première apparition de deux succès consécutifs dans cette suite.

Q1-Montrer qu'il est presque sûr qu'il existe

n \geq 2

vérifiant

X_{n} = X_{n - 1} = 1

Q2-On note

T

la variable aléatoire donnée par

T = min {n \geq 2 ∣ X_{n} = X_{n - 1} = 1} \cup {+ \infty}

. Calculer

P (T = 2)

P (T = 3)

et exprimer, pour

n \geq 4

P (T = n)

en fonction de

P (T = n - 1)

P (T = n - 2)

Q3-Justifier que

T

admet une espérance finie et calculer celle-ci.

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35. $Premier pile et premier face$

On lance une pièce équilibrée jusqu'à ce que celle-ci ait produit au moins une fois « face » et une fois « pile ».

Q1-Montrer qu'il est presque sûr que le jeu s'arrête.

Q2-On note

X

le nombre de lancers avant que le jeu cesse. Montrer que

X

admet une espérance et déterminer celle-ci.

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36. $Série convergente d'évènements (E_{n})$

Soit

(Ω, T, P)

un espace probabilisé et

(E_{n})_{n \in N}

une suite d'événements quelconques vérifiant

n = 0 \sum + \infty P (E_{n}) < + \infty.

Pour

X

un ensemble quelconque, on note

1_{X}

la fonction indicatrice de

X

Q1-Soit

Z = n = 0 \sum + \infty 1_{E_{n}}

(on convient

Z = + \infty

si la série diverge). Prouver que

Z

est une variable aléatoire discrète.

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37. $Premiers motifs PF et PP$

On s'intéresse à la première apparition du motif « PF » dans un tirage infini de pile ou face, indépendants et non truqués. On note

A_{i}

l'événement « Le motif PF apparaît pour la première fois au rang

i

» (c'est-à-dire que le P est en position

i - 1

et le F en position

i

). On pose

q_{i} = P (A_{i})

T

la variable aléatoire donnant le rang d'apparition du motif.
On s'intéresse ensuite à la première apparition du motif « PP ». On note toujours

T

la variable aléatoire donnant le rang de première apparition du motif et

q_{n} = P (T = n)

pour

n \geq 2

Q1-Écrire un programme Python calculant la moyenne d'apparition du motif. Conjecture ?

Q2-Montrer que

P (i \geq 2 ⋃ A_{i}) = 1

Q3-Décrire

A_{n}

, pour

n \geq 2

et en déduire la valeur de

q_{n}

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38. $Polynôme caractéristique aléatoire$

Pour un entier

n \geq 2

, on donne une matrice

M \in M_{n} (R)

dont les coefficients

m_{i, j}

sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi d'espérance

μ

. Pour

λ \in R

, calculer l'espérance de

χ_{M} (λ)

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39. $Meilleure approximation affine de Y$

Soient

X

Y

deux variables aléatoires réelles admettant chacune une variance. On suppose

V (X) > 0

. Déterminer

a, b \in R

minimisant la quantité

E ((Y - (a X + b))^{2}) .

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40. $Filtrage d'un signal bruité$

Un signal est diffusé via un canal et un bruit vient s'ajouter à la transmission. Le signal est modélisé par une variable aléatoire discrète réelle

S

d'espérance

m_{S}

et de variance

σ_{S}^{2}

connues. Le bruit est modélisé par une variable

B

indépendante de

S

d'espérance nulle et de variance

σ_{B}^{2} > 0

. Après diffusion, le signal reçu est

X = S + B

.
Déterminer

a, b \in R

pour que

Y = a X + b

soit au plus proche de

S

, i.e. tel que l'espérance

E ((Y - S)^{2})

soit minimale.

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1.Fonction qui échange Q et R∖Q

2.Non-dénombrabilité de ℘(N)

3.Dénombrabilité des algébriques

4.[0;1] n'est pas dénombrable

5.Parties finies de N dénombrables

6.Tribu trace sur une partie

7.Tribu image réciproque

8.Tribu engendrée par une partie

9.Limsup et liminf d'évènements

10.Tribu engendrée par une partition

11.Tribu dénombrable-codénombrable

12.Tribu des ensembles saturés

13.La probabilité P({n}) tend vers 0

14.Une probabilité liée à une suite (an​)

15.Distance P(A△B) entre évènements

16.Premier double pile consécutif

17.Enfants selon une loi de Poisson

18.Rang du premier couple de succès

19.Urne de Pólya et tirages indéfinis

20.Jour le plus probable d'une perte

21.Langues de belle-mère défectueuses

22.Familles, sexes et loi de Poisson

23.Indépendance et complémentaires

24.Majoration via exp(−∑P(An​))

25.Union d'évènements indépendants

26.Probabilités et produit eulérien

27.XN​ est une variable discrète

28.Taux de panne et série divergente

29.Majoration de la variance par (b−a)2/4

30.Somme de lois géométriques

31.La martingale de la roulette

32.Nombre de six en relançant des dés

33.k tirages identiques consécutifs

34.Attente avant succès consécutifs

35.Premier pile et premier face

36.Série convergente d'évènements (En​)

37.Premiers motifs PF et PP

38.Polynôme caractéristique aléatoire

39.Meilleure approximation affine de Y

40.Filtrage d'un signal bruité

1. $Fonction qui échange Q et R ∖ Q$

2. $Non-dénombrabilité de ℘ (N)$

3. $Dénombrabilité des algébriques$

4. $[0; 1] n'est pas dénombrable$

5. $Parties finies de N dénombrables$

6. $Tribu trace sur une partie$

7. $Tribu image réciproque$

8. $Tribu engendrée par une partie$

9. $Limsup et liminf d'évènements$

10. $Tribu engendrée par une partition$

11. $Tribu dénombrable-codénombrable$

12. $Tribu des ensembles saturés$

13. $La probabilité P ({n}) tend vers 0$

14. $Une probabilité liée à une suite (a_{n})$

15. $Distance P (A △ B) entre évènements$

16. $Premier double pile consécutif$

17. $Enfants selon une loi de Poisson$

18. $Rang du premier couple de succès$

19. $Urne de Pólya et tirages indéfinis$

20. $Jour le plus probable d'une perte$

21. $Langues de belle-mère défectueuses$

22. $Familles, sexes et loi de Poisson$

23. $Indépendance et complémentaires$

24. $Majoration via exp (- \sum P (A_{n}))$

25. $Union d'évènements indépendants$

26. $Probabilités et produit eulérien$

27. $X_{N} est une variable discrète$

28. $Taux de panne et série divergente$

29. $Majoration de la variance par (b - a)^{2} /4$

30. $Somme de lois géométriques$

31. $La martingale de la roulette$

32. $Nombre de six en relançant des dés$

33. $k tirages identiques consécutifs$

34. $Attente avant succès consécutifs$

35. $Premier pile et premier face$

36. $Série convergente d'évènements (E_{n})$

37. $Premiers motifs PF et PP$

38. $Polynôme caractéristique aléatoire$

39. $Meilleure approximation affine de Y$

40. $Filtrage d'un signal bruité$