Exercices de Probabilités, Spé (prépa) (page 4)

On considère un péage composé de $m$ guichets. On note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de voitures utilisant le péage en 1h. $N$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.
Le choix du guichet se fait de manière aléatoire et indépendamment des autres voitures.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de voitures ayant pris le guichet n°1.
1. Calculer la probabilité conditionnelle $\mathbb{P}(X=k\mid N=n)$ pour $0\le k\le n$.
2. Montrer que $\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda }\frac{(\frac{\lambda }{m}{)}^k}{k!}\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(\lambda (1-\frac{1}{m}){)}^n}{n!}$.
3. Donner la loi de $X$.
4. Espérance et variance de $X$ ?

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\int }_{-\infty }^{+\infty }{t}^n{e}^{-t^2}dt$
1. Justifier que $I_n$ est bien définie.
2. Trouver une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$.
3. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$. On pose $Y=I_X$. Calculer $\mathbb{E}(Y)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Caculer la probabilité que $X$ soit paire.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$. Soit $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
On note $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $p$. Déterminer la loi de $Y$.

Soit $X$ une variable suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Déterminer l’espérance de $1/X$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. Montrer que $X$ admet une espérance finie si et seulement si la série $\sum \mathbb{P}(X>n)$ converge et que, dans ce cas, $\mathbb{E}(X)=\sum _{n=0}^{+\infty }\mathbb{P}(X>n)$.

Soit $p\in ]0,1[$. On dispose d’une pièce amenant «pile» avec la probabilité $p$. On lance cette pièce jusqu’à obtenir pour la deuxième fois «pile». Soit $X$ le nombre de «face» obtenus au cours de cette expérience.
1. Déterminer la loi de $X$.
2. Montrer que $X$ admet une espérance finie et la calculer.
3. On procède à l’expérience suivante : si $X$ prend la valeur $n$, on place $n+1$ boules numérotées de 0 à $n$ dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors $Y$ le numéro obtenu. Déterminer la loi et l’espérance de $Y$.
4. On pose $Z=X-Y$. Donner la loi de $Z$ et vérifier que $Z$ et $Y$ sont indépendantes.

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois géométriques de paramètres $p$ et $q$. On pose $Z=\max (X,Y)$. Déterminez $\mathbb{E}(Z)$.

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtention d’un pile. On note $X$ le nombre de lancers effectués. On pioche ensuite une boule dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à $X$ et on note $Y$ le numéro de la boule piochée. Déterminer l’espérance de $Y$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs complexes sur un espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On suppose $X\in L^1$. Montrer que$$\mathbb{E}(X{1}_{|X|\le C})\underset{C\to +\infty }{\to }\mathbb{E}(X)$$

1. Soit $X$ une variable aléatoire positive. Montrer que $X$ est d’espérance nulle si et seulement si $X$ est presque sûrement nulle.
2. Soit $X\in L^2$ une variablé aléatoire réelle. Montrer que $X$ est de variance nulle si et seulement si $X$ est presque sûrement constante.

Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$. Déterminer la loi de $S=\sum _{k=1}^n{X}_k$.

Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes. On suppose que $X_i\sim \mathcal{B}(n_i,p)$ pour tout $i\in [[1,n]]$. Déterminer la loi de $S=\sum _{i=1}^n{X}_i$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ sur un espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On considère une suite $(X_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ de variables aléatoires indépendantes sur $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ suivant la même loi que $X$.
On se donne une autre variable aléatoire $N$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ sur le même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ indépendante des variables aléatoires précédentes.
On pose $S=\sum _{k=1}^N{X}_k$, c’est-à-dire$$\forall \omega \in \Omega ,S(\omega )=\sum _{k=0}^{N(\omega )}{X}_k(\omega )$$1. Justifier que $S$ est bien un variable aléatoire.
2. On note $G_X,G_N$ et $G_S$ les fonctions génératrices respectives de $X,N$ et $S$. Montrer que pour tout $t\in [0,1],G_S(t)=G_N\circ G_X(t)$.
3. On suppose que les variables aléatoires $X$ et $N$ admettent des espérances finies. Montrer qu’il en est de même pour $S$ et exprimer l’espérance de $S$ en fonction de celles de $N$ et $X$.
4. On suppose que les variables aléatoires $X$ et $N$ admettent des moments d’ordre deux. Montrer qu’il en est de même pour $S$ et exprimer la variance de $S$ en fonction des espérances et des variances de $N$ et $X$.

On considère la série entière $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{n^2+n+1}{n!}{t}^n$.
1. Donner le rayon de convergence $R$ de cette série.
2. Calculer sa somme $S(t)$ sur $]-R,R[$.
3. On se donne une variable aléatoire $X$ telle que, $\forall t\in [-1,1],G_X(t)=\lambda S(t)$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$.
a. Que vaut $\lambda$ ?
b. Calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{V}(X)$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ définies sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Pour $|t|<1$, on définit les fonctions génératrices de $X$ et de $Y$ respectivement par :
• $G_X(t)=\frac{1}{2-t}$
• $G_Y(t)=2-\sqrt{2-t}$
1. Déterminer le développement en série entière de la fonction $G_X$.
2. Donner le coefficient d’ordre $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ du développement en série entière de la fonction $t\mapsto (1+t{)}^{1/2}$. On exprimera ce coefficient à l’aide de factorielles.
3. En déduire le développement en série entière de la fonction $G_Y$.
4. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, calculer $\mathbb{P}(X=n)$ et $\mathbb{P}(Y=n)$.
5. Soient $S=X+Y$ et $n\in \mathbb{N}$. Déterminer $\mathbb{P}(S=n)$.
6. Calculs d’espérances et de variances.
a. Justifier que la variable aléatoire $X+1$ suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre.
b. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire $X$.
c. Déterminer à l’aide de la fonction génératrice $G_Y$ l’espérance des variables aléatoires $Y$ et $Y(Y-1)$.
d. En déduire la variance de la variable aléatoire $Y$.
e. Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

On lance une pièce équilibrée jusqu’à ce que le nombre de «piles» soit égal au double du nombre de «faces». On souhaite déterminer la probabilité qu’on ne s’arrête jamais.
Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire valant $-2$ si on obtient «face» et 1 si on obtient pile. On pose également $S_n=\sum _{k=1}^n{X}_k$ ($S_0=0$).
1. On pose $u(k)=\mathbb{P}(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\{S_n=k\})$ pour $k\in \mathbb{Z}$. Montrer que$$\forall k\in {\mathbb{Z}}^{\ast },u(k)=\frac{1}{2}u(k-1)+\frac{1}{2}u(k+2)$$2.
a. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{Z}$ et tout $t>0$,$$\mathbb{P}(S_n\ge k)\le (\frac{1}{2}{e}^t+\frac{1}{2}{e}^{-2t}{)}^n{e}^{-kt}$$b. En déduire l’existence de $t>0$ et de $\rho \in ]0,1[$ tel que$$\forall k\in \mathbb{Z},\mathbb{P}(S_n\ge k)\le {\rho }^n{e}^{-kt}$$c. En déduire que $\underset{k\to +\infty }{\lim }u(k)=0$.
3. Calculer $u(k)$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$.
4. Répondre à la question initialement posée.

On considère une suite $(X_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p\in ]0,1[$.
Soit $r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On définit la variable aléatoire$$T_r=\min (\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\sum _{i=1}^n{X}_i=r\}\cup \{+\infty \})$$1. Pour $r=1$, reconnaître la loi de $T_r$.
2. Calculer $P(T_r=n)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
3. Montrer que l’évènement $(T_r=+\infty )$ est négligeable.

On lance une infinité de fois une pièce donnant «pile» avec probabilité $\frac{2}{3}$ et «face» avec probabilité $\frac{1}{3}$. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs. On pose alors $p_n=\mathbb{P}(X=n)$.
1. Calculer $p_2$ et $p_3$.
2. Justifier que $p_{n+2}=\frac{1}{3}{p}_{n+1}+\frac{2}{9}{p}_n$ pour tout entier $n\ge 2$.
3. Quelle valeur de $p_1$ doit-on choisir pour que la relation de récurrence précédente reste valide lorsque $n=1$ ?
4. Calculer $p_n$ pour tout entier $n\ge 1$.
5. Calculer l’espérance de $X$.

On considère un point se déplaçant sur un axe. Au temps $n=0$, il se trouve à l’origine. Il se déplace ensuite successivement d’une unité vers la droite avec une probabilité $p$ et d’une unité vers la gauche avec une probabilité $1-p$. On note $S_n$ sa position après $n$ déplacements.
1. Déterminer la loi de $S_0,S_1$ et $S_2$.
2. Déterminer de manière générale la loi de $S_n$.
3. Calculer la probabilité $p_n$ de l’événement $\{S_n=0\}$.
4. Justifier que $P:t\mapsto \sum _{n=0}^{+\infty }{p}_n{t}^n$ est définie sur $]-1,1[$ et calculer $P(t)$ pour $t\in ]-1,1[$.
5. On note $T$ l’instant où le point retourne pour la première fois à l’origine (on convient que $T=+\infty$ si le point ne retourne jamais à l’origine) et on pose $q_n=\mathbb{P}(T=n)$. Justifier que $Q\mapsto \sum _{n=0}^{+\infty }{q}_n{t}^n$ est définie et continue sur $[-1,1]$.
6. Montrer que $P(t)=1+P(t)Q(t)$ pour tout $t\in ]-1,1[$.
7. En déduire la valeur de $q_n$.
8. Calculer la probabilité que le point retourne à l’origine.
9. $T$ est-elle d’espérance finie ?

1. Une urne contient $n$ boules blanches et $n$ boules noires indiscernables au toucher. On tire simultanément $n$ boules de l’urne.
a. Quel est le nombre de tirages possibles ?
b. Montrer que$$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$2. Une puce se déplace sur un axe gradué d’origine $O$ par bonds successifs d’une unité. Elle peut aller à tout instant, soit à droite, soit à gauche, avec équiprobabilité. On note $C_n$ l’événement : «la puce est en $O$ après $n$ sauts». On donne : $P(C_0)=1$.
a. Déterminer $\mathbb{P}(C_{2n+1})$ et $\mathbb{P}(C_{2n})$.
b. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathbb{P}(C_{2n})$ à l’aide de la formule de Stirling.
3. La puce peut à présent se déplacer suivant deux directions (droite, gauche, haut, bas) avec équiprobabilité.
a. Montrer que $\mathbb{P}(C_{2n})={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}^2{\left(\frac{1}{4}\right)}^{2n}$.
b. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathbb{P}(C_{2n})$.

La probabilité d’obtenir pile lors d’un lancer de pièce est $p\in [0,1]$.
Le joueur $A$ commence par lancer la pièce. S’il tombe sur pile alors il a gagné. Après le joueur $A$, le joueur $B$ lance la pièce. S’il tombe sur face il a gagné. Le jeu s’arrête lorsque l’un des 2 joueurs a gagné.
1. Calculer la probabilité que le jeu s’arrête au lancer numéro $n$. (On distinguera les cas selon la parité de $n$).
2. Quelle est la probabilité que le joueur $A$ gagne ?
3. Quelle est la probabilité que le jeu se termine ?
4. Quelle valeur donner à $p$ pour que le jeu soit équitable.
5. Quel est le nombre moyen de coups joués.

Soit $(X_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$, à valeurs dans $\{-1,1\}$ telles que$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\{\begin{array}{l}\mathbb{P}(X_n=1)=p\\ \mathbb{P}(X_n=-1)=1-p\end{array}$$où $p\in ]0,1[$. On pose $S_n=\sum _{k=1}^n{X}_k$ pour $n\in \mathbb{N}$ ($S_0=0$).

On considère $n$ ampoules s'allumant aléatoirement de manière indépendante, la probabilité que la $i$-ème s'allume étant de $p_i$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre d'ampoules qui sont allumées.

Soient $X$, $Y$, $Z$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$.

Une urne contient initialement une boule blanche. On effectue un ou plusieurs lancers indépendants d'une pièce équilibrée :
- si on obtient pile, on ajoute une boule noire et on lance à nouveau la pièce ;
- si on obtient face, on tire une boule de l'urne et l'expérience s'arrête.
On note $X$ le numéro du lancer auquel on arrête l'expérience.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $U=\min (X,Y)$ et $V=X-Y$.

On cherche à obtenir toutes les pièces d'un puzzle de $n$ pièces différentes. On achète chaque semaine une pièce emballée, chaque pièce étant équiprobable. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on note $Y_k$ le nombre d'achats à effectuer, sachant qu'on a eu une $(k-1)$-ème pièce différente, avant d'avoir une $k$-ème pièce qu'on n'a pas déjà eue.

Peut-on piper deux dés de manière à ce qu'il y ait équiprobabilité sur l'ensemble des sommes possibles obtenues en les lançant simultanément ?

On note $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ pour $s>1$ et $\mathcal{P}=\{2,3,5,\dots \}$ l'ensemble des nombres premiers.

Soit un entier $k\ge 2$. On pose $\omega =e^{\frac{2i\pi }{k}}$.

On dispose d'une urne contenant trois jetons indiscernables numérotés de $1$ à $3$. On effectue une série de tirages indépendants avec remise d'un jeton. On note :
- $Y$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages nécessaires pour avoir deux nombres différents ;
- $Z$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages nécessaires pour avoir les trois numéros.

On considère un péage composé de $m$ guichets. On note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de voitures utilisant le péage en 1h. $N$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$. Le choix du guichet se fait de manière aléatoire et indépendamment des autres voitures. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de voitures ayant pris le guichet n${}^{\circ }$1.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\int }_{-\infty }^{+\infty }{t}^n{e}^{-t^2}dt$.

On lance une pièce équilibrée jusqu'à ce que le nombre de «piles» soit égal au double du nombre de «faces». Quelle est la probabilité qu'on ne s'arrête jamais ?

Marche aléatoire en dimension 1 et 2.

On considère la série entière $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{n^2+n+1}{n!}{t}^n$.