Exercices de Probabilités, Spé (prépa) (page 2)

Soit $(U,V)$ un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $B(2,1/2)$.

Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires réelles suivant toutes les deux la loi d'une variable aléatoire $X$ bornée.
On suppose que $X_1+X_2$ suit la loi de la variable $2X$. Montrer que $X_1=X_2$ presque sûrement.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes.
On suppose que celles-ci suivent une même loi géométrique de paramètre $p$.
Déterminer la loi de $Z=X+Y$.

Soit $X$ une variable aléatoire de Poisson de paramètre $\lambda >0$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$. Calculer $E\left(\frac{1}{X}\right)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.
Déterminer la probabilité que la valeur de $X$ soit paire.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres $p,q\in ]0;1[$.
Calculer $P(X<Y)$.

On lance cinq dés. Après ce premier lancer ceux des dés qui ont donné un « As » sont mis de côté et les autres sont relancés. On procède ainsi jusqu'à l'obtention des cinq « As ». On note $T$ la variable aléatoire déterminant le nombre de lancers nécessaires.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres $p$ et $q>0$.
Quelle est la probabilité que la matrice suivante soit diagonalisable ?$$A=\left(\begin{array}{cc}X& 1\\ 0& Y\end{array}\right).$$

On souhaite modéliser le nombre d'arrivées de « clients » dans un « service » durant un laps de temps $T$.
Pour $n\in \mathbb{N}$ et $s,t\in \mathbb{R}$ avec $0\le s\le t$, on note $A(n,s,t)$ l'événement « il arrive $n$ clients dans l'intervalle de temps $[s;t[$ ».
On suppose les hypothèses (H1) à (H5) sur l'indépendance, la stationnarité, la continuité de $p_0$, la normalisation et le développement asymptotique de $1-p_0(t)-p_1(t)$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$.
On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$ et que la loi de $Y$ sachant $X=n$ est binomiale de paramètres $n$ et $p\in ]0;1[$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$.
On suppose que la loi conjointe de $X$ et $Y$ vérifie$$P(X=j,Y=k)=\frac{a}{j!k!}\text{avec }a\in \mathbb{R}.$$

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$.
On suppose que la loi conjointe de $X$ et $Y$ vérifie$$\forall (j,k)\in {\mathbb{N}}^2,P(X=j,Y=k)=\frac{a^{j+k}}{2^{j+k}}\text{avec }a\in \mathbb{R}.$$

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ et $p\in ]0;1[$.
On suppose que la loi conjointe de $X$ et $Y$ vérifie$$P(X=k,Y=n)=\{\begin{array}{ll}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^{n}p(1-p{)}^n& \text{si }k\le n\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$avec $a\in \mathbb{R}$.

On réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce ayant la probabilité $p\in ]0;1[$ de tomber côté Pile. On note $X$ la longueur de la première série de lancers identiques et $Y$ la longueur de la seconde série. Par exemple, les successions de lancers PPFFFP$\dots$ et FFPPPF$\dots$ correspondent à $X=2$ et $Y=3$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune des lois géométriques de paramètres $p$ et $q\in ]0;1[$. On pose$$U=\min (X,Y)\text{et}V=\max (X,Y)-\min (X,Y).$$Les variables $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ?

Soit $(U_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p\in ]0;1[$. Soient $N$ une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ indépendante des précédentes et $X$, $Y$ les variables déterminées par$$X=\sum _{i=1}^N{U}_i\text{et}Y=N-\sum _{i=1}^N{U}_i.$$On suppose d'abord que $N$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.
Inversement, on suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes et que la variable $N$ n'est pas presque sûrement nulle.

On considère une expérience aléatoire ayant la probabilité $p>0$ de réussir et $1-p$ d'échouer.
On répète l'expérience indépendamment jusqu'à obtention de $m$ succès et on note $T_m$ le nombre d'essais nécessaires à l'obtention de ces $m$ succès.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p\in ]0;1[$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.

On considère une expérience aléatoire ayant la probabilité $p$ de réussir et $q=1-p$ d'échouer définissant une suite de variables de Bernoulli indépendantes $(X_n{)}_{n\ge 1}$.
Pour $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $S_m$ la variable aléatoire déterminant le nombre d'essais jusqu'à l'obtention de $m$ succès :$$S_m=k⟺X_1+\cdots +X_k=m\text{ et }{X}_1+\cdots +X_{k-1}<m.$$

Une urne contient $4$ boules rapportant $0,1,1,2$ points. On y effectue $n$ tirages avec remise et l'on note $S$ le score total obtenu.
Déterminer la fonction génératrice de $S$ et en déduire la loi de $S$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs naturelles dont la loi est donnée par$$P(X=k)=a\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k}\right)p^k\text{avec }a>0\text{ et }p\in ]0;1[.$$Calculer espérance et variance de $X$.

Montrer par les fonctions génératrices qu'il est impossible de « truquer » deux dés cubiques et indépendants pour que la somme d'un lancer suive une loi uniforme sur $[[2;12]]$.

Un pion se déplace sur des cases numérotées par les entiers naturels. Initialement, il se trouve sur la case $0$ et à chaque instant, il se déplace d'un nombre strictement positif de cases. On note $Y_i$ la variable aléatoire donnant le nombre de cases parcourues lors de la $i$-ème étape. On suppose que les $Y_i$ sont indépendantes et suivent la même loi. On pose$$S_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i,f_i=P(Y_1=i)\text{et}f(t)=\sum _{i=1}^{+\infty }{f}_i{t}^i.$$On note $E_k$ l'événement « le pion atteint la case $k$ » et $u_k=P(E_k)$.

Soit $(\Omega ,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, $(X_n{)}_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de $X$ et $N$ une variable aléatoire indépendante des $X_i$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$. Pour $\omega \in \Omega$, on pose$$S(\omega )=\sum _{k=1}^{N(\omega )}{X}_k(\omega ).$$On étudie ensuite la transmission du nom de famille au cours des générations. On suppose que le nombre de descendants masculins d'un individu suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda \in ]0;+\infty [$. On note $Z_0=1$ et $Z_n$ le nombre de descendants à la $n$-ième génération.

Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ vérifie $G_X(t)=\lambda S(t)$ avec $\lambda >0$ et$$S(t)=\sum _{n\ge 0}\frac{n^2+n+1}{n!}{t}^n.$$

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini $\mathcal{X}$. Pour chaque valeur $x\in \mathcal{X}$, on pose $p(x)=P(X=x)$.
On appelle entropie de la variable $X$ le réel$$H(X)=-\sum _{x\in \mathcal{X}}p(x)\log (p(x))$$où l'on convient $0\log 0=0$.
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$.
On appelle entropie conjointe de $X$ et $Y$, l'entropie de la variable $Z=(X,Y)$, notée $H(X,Y)$.
On appelle entropie de $X$ sachant $Y$ la quantité $H(X\mid Y)=H(X,Y)-H(Y)$.

Soient $X$ une variable aléatoire discrète définie sur $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ et $f$ une application définie sur $X(\Omega )$.
À quelle condition les variables aléatoires $X$ et $Y=f(X)$ sont-elles indépendantes ?

Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle. Sous réserve d'existence, on appelle fonction génératrice des moments de $X$ l'application$$M_X(t)=E(e^{tX}).$$

Soit $(X_n{)}_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes avec $X_n$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p_n$. Montrer que pour tout $\epsilon >0$$$\underset{n\to +\infty }{\lim }P\left(\left|\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{p}_i\right|<\epsilon \right)=1.$$

Soit $f:[0;1]\to \mathbb{R}$ une fonction continue et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
On introduit $S_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $x\in [0;1]$, $X_n=S_n/n$, et $Y_n=f(X_n)$. On pose $B_n(f)(x)=E(Y_n)$.

Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ des variables aléatoires centrées indépendantes telles que, pour tout $i$, $|X_i|\le a_i$. On pose $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$.

Soit $(\Omega ,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé et $X$ une variable aléatoire centrée prenant ses valeurs dans $[-1;1]$.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrète admettant une variance ${\sigma }^2$ (avec $\sigma >0$). Montrer$$\forall \alpha >0,P(|X-E(X)|<\alpha \sigma )\ge 1-\frac{1}{{\alpha }^2}.$$

On considère une urne contenant 4 boules blanches et 8 boules rouges. Quelle est la probabilité de la suite «blanc, blanc, rouge» si on tire successivement trois boules sans remise ?

On considère une urne A contenant deux boules rouges et trois boules vertes et une urne B contenant trois boules rouges et deux boules vertes. On tire au hasard une boule dans l’urne A que l’on place dans l’urne B. On tire ensuite successivement et sans remise deux boules dans l’urne B. Quelle est la probabilité que la boulé tirée dans l’urne A soit verte sachant que les deux boules tirées dans l’urne B sont rouges ?

On considère $n$ urnes numérotées de 1 à $n$. L’urne numéro $k$ contient $k$ boules blanches et $n-k$ boules noires. On choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?
2. On suppose qu’on a tiré une boule blanche. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans l’urne numéro $k$ ?