Exercices de Probabilités, Spé (prépa) (page 3)

On dispose d’un dé à 6 faces et d’une pièce de monnaie. Après avoir lancé $n$ fois le dé, on lance la pièce autant de fois qu’on a obtenu le 6 avec le dé. On note $S$ le nombre de 6 obtenus avec le dé et $F$ le nombre de faces obtenues avec la pièce.
1. Quelle est la loi de $S$ ?
2. Soit $s\in [[0,n]]$. Déterminer la loi de $F$ conditionnée par l’événement $S=s$.
3. Montrer que $F$ suit la loi $\mathcal{B}(n,1/12)$.

Une famille à $n$ enfants ($n\ge 2$). On note
• $A$ l’événement «la famille a des enfants des deux sexes»;
• $B$ l’événement «la famille a au plus une fille».
Montrer que $A$ et $B$ sont des événements indépendants si et seulement si $n=3$.

Une urne contient 2 boules blanches et $n-2$ boules rouges. On effectue $n$ tirages sans remise dans cette urne. On appelle $X$ le rang de sortie de la première boule blanche et $Z$ le rang de sortie de la deuxième boule blanche.
1. Déterminer la loi du couple $(X,Z)$.
2. En déduire les lois de $X$ et $Z$.

Soient $n$ et $N$ des entiers naturels tels que $2\le n\le N$.
On effectue un tirage simultané de $n$ boules dans une urne contenant $N$ boules numérotées de 1 à $N$. On note $X$ et $Y$ respectivement le plus grand et le plus petit numéro obtenu.
1. Question préliminaire : soient $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a\le b$. Montrer que$$\sum _{k=a}^b\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{a}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b+1}{a+1}\right)$$2. Déterminer les lois de $X$ et $Y$.
3. Déterminer la loi du couple $(X,Y)$. En déduire la loi de $X-Y$.
4. Déterminer les espérances de $X$ et $Y$.
5. Déterminer les variances de $X$ et $Y$.
6. Déterminer la variance de $X-Y$. En déduire la covariance du couple $(X,Y)$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $[[1,n]]$. Calculer $P(X\ne Y)$.

Dans tout l’exercice, $N$ désigne un entier naturel non nul.
Soit $(U_n{)}_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi uniforme sur $[[1,N]]$. On note $T_n$ et $Z_n$ les variables aléatoires définies pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par$$T_n=\max (U_1,\dots ,U_n)\text{et}{Z}_n=\min (U_1,\dots ,U_n)$$On pose $S_n=T_n+Z_n-1$.
On pose enfin pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$$a_n(N)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{k=1}^{N-1}{\left(\frac{k}{N}\right)}^n& \text{si }N\ge 2\\ 0& \text{si }N=1\end{array}$$1. Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $[[1,N]]$. Établir la relation suivante.$$\mathbb{E}(Y)=\sum _{k=0}^{N-1}\mathbb{P}(Y>k)$$2.
a. Calculer $\mathbb{P}(T_n\le k)$ pour tout $k\in [[1,N]]$.
b. En déduire la loi de $T_n$.
c. Calculer $\mathbb{E}(T_n)$ en fonction de $N$ et $a_n(N)$.
3.
a. Calculer $\mathbb{P}(Z_n>k)$ pour tout $k\in [[0,N-1]]$.
b. En déduire $\mathbb{E}(Z_n)$ en fonction de $a_n(N)$.
4.
a. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathbb{E}(T_n)$.
b. Déterminer $\mathbb{E}(S_n)$.

Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre $p$. On note $M$ la matrice aléatoire $(X_i{X}_j{)}_{1\le i,j\le n}$.
1. Déterminer la loi de $\mathrm{rg}(M)$.
2. Déterminer la loi de $\mathrm{tr}(M)$.

On considère dans cette partie des entiers naturels non nuls $n,u,d,t,b$ vérifiant $u+d+t=b$.
Une urne $\mathcal{U}$ contient $b$ boules parmi lesquelles $u$ boules portent le numéro 1, $d$ le numéro 2 et $t$ le numéro 3.
Une expérience consiste en $n$ tirages successifs d’une boule de l’urne $\mathcal{U}$ avec remise. Les tirages sont supposés mutuellement indépendants.
A chaque tirage, toutes les boules de l’urne $\mathcal{U}$ ont la même probabilité d’être tirées.
L’univers $\Omega$ est l’ensemble $\{1,2,3{\}}^n$ et on note $U$ (resp. $D,T$) la variable aléatoire définie sur $\Omega$ dont la valeur est le nombre de boules numérotées 1 (resp. 2, 3) tirées au cours de l’expérience.
1. Montrer que la variable aléatoire $U$ suit une loi usuelle (à préciser). Donner son espérance et sa variance.
Donner de même les lois des variables aléatoires $D$ et $T$.
2. Les variables $U$ et $D$ sont-elles indépendantes ? Justifier.
3. Déterminer sans calcul la loi de la variable aléatoire $U+D$, son espérance et sa variance.
4. En déduire que la covariance du couple $(U,D)$ est égale à $-n\frac{ud}{b^2}$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $[[0,n]]$.
On pose $Z=|X-Y|$ et $T=\min (X,Y)$.
1. Déterminer l’espérance de $Z$.
2. En déduire l’espérance de $T$.
3. Calculer l’espérance de $Z^2$ en fonction de la variance de $X$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[[1,n]]$. Déterminer l’espérance de $\frac{1}{X(X+1)}$.

On considère une urne contenant $n$ boules numérotées. On procède à un tirage successif de $n$ boules avec remise. On note $X$ le nombre de numéros qui sont sortis au moins une fois pendant le tirage. Calculer l’espérance de $X$ ainsi qu’un équivalent de celle-ci lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Soit un entier $n\ge 2$. On munit le groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_n$ de la probabilité uniforme. On note $X$ la variable aléatoire qui à une permutation associe son nombre de points fixes. Déterminer l’espérance et la variance de $X$.

On lance $n$ fois une pièce de monnaie bien équilibrée. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer $n$ pour que la fréquence d’apparition de «face» soit comprise entre 0,45 et 0,55 avec une probabilité au moins égale à 0,9.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n\in \mathbb{N}$ et $p\in [0,1]$.
On pose ${\mu }_r=\mathbb{E}((X-np{)}^r)$. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, la série $\sum _{r\in \mathbb{N}}\frac{{\mu }_r{x}^r}{r!}$ converge et calculer sa somme.

Un champ de tir comporte $n$ cibles. Un archer tire une flèche sur chacune des $n$ cibles. Il a une probabilité $p\in ]0,1[$ de toucher chacune des cibles. Les tirs sont supposés indépendants.
1. On note $X$ le nombre de cibles touchées. Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance.
2. On note $Y$ le nombre de cibles touchées après une première tentative sur chacune des $n$ cibles puis une seconde tentative sur les cibles non touchées. Déterminer la loi de $Y$.

Montrer qu’il n’existe pas d’application continue $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telle que $f(\mathbb{Q})\subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ et $f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{Q}$.

On dit qu’un nombre complexe est un entier algébrique s’il est racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers. Montrer que l’ensemble des entiers algébriques est dénombrable.

Soit $A$ un ensemble. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
(i) $A$ est fini ou dénombrable;
(ii) il existe une injection de $A$ dans un ensemble dénombrable;
(iii) il existe une surjection d’un ensemble dénombrable sur $A$.

Soit $(a_j{)}_{j\in J}$ une famille sommable de nombres complexes. On note $S=\{j\in J,a_j\ne 0\}$. Montrer que $S$ est au plus dénombrable.

Soit $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d’événements d’un espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On pose $B_n=\bigcup _{k\ge n}{A}_k$ et $A=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{B}_n$.
1. On suppose que la série $\sum _{n\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(A_n)$ converge.
a. Montrer que $\mathbb{P}(A)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathbb{P}(B_n)$.
b. En déduire que $\mathbb{P}(A)=0$.
2. On suppose que les $A_n$ sont mutuellement indépendants et que la série $\sum _{n\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(A_n)$ diverge.
a. Soit $(n,p)\in {\mathbb{N}}^2$. Montrer que$$\mathbb{P}\left(\bigcap _{k=n}^{n+p}{A}_k^c\right)\le \exp \left(-\sum _{k=n}^{n+p}\mathbb{P}(A_k)\right)$$b. En déduire que $\mathbb{P}(A)=1$.

Des joueurs $J_1,\dots ,J_n$ jouent successivement l’un après l’autre à un jeu indéterminé jusqu’à ce que l’un des joueurs gagnent (si aucun des joueurs n’a gagné lors du premier tour, on recommence un tour et ainsi de suite). On considère qu’à chaque fois que le joueur $J_k$ joue, il a une probabilité $p_k>0$ de gagner. On pose également $q_k=1-p_k$. On note $G_k$ l’événement «le joueur $J_k$ gagne».
1. Exprimer la probabilité de $G_k$ en fonction de $q_1,\dots ,q_n$ et $p_k$.
2. Montrer que le jeu se finit presque sûrement i.e. avec une probabilité 1.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le jeu soit équitable i.e. que chaque joueur ait une probabilité $1/n$ de gagner.
4. Déterminer le nombre moyen de coups joués lors d’une partie.

Deux archers $A_1$ et $A_2$ sont en compétition : ils tirent alternativement ($A_1$ aux rangs impairs, $A_2$ aux rangs pairs), touchant la cible avec probabilité $p_i$ ($i=1,2$), et la partie s’arrête dès que l’un des deux a atteint la cible.
1. Quelle est la probabilité que $A_1$ l’emporte au tour $2n+1$ ?
2. Quelle est la probabilité que $A_2$ l’emporte au tour $2n+2$ ?
3. En déduire les probabilités que $A_1$ (resp $A_2$) l’emporte, et celle que le jeu dure indéfiniment.
4. A quelle condition le jeu est-il équitable ? Est-ce le cas si $p_1>1/2$ ?

Dans un jeu de pile ou face infini, calculer la probabilité de l’événement $A$ : «obtenir un nombre fini de faces».

On note $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ pour $s>1$ et $\mathcal{P}=\{2,3,5,\dots \}$ l’ensemble des nombres premiers.
1. Quelle valeur doit prendre $\lambda \in \mathbb{R}$ pour que la relation $\mathbb{P}(\{n\})=\lambda n^{-s}$ définisse une loi de probabilité sur $({\mathbb{N}}^{\ast },\mathcal{P}({\mathbb{N}}^{\ast }))$ ?
On considère l’espace probabilisé $({\mathbb{N}}^{\ast },\mathcal{P}({\mathbb{N}}^{\ast }))$ dans la suite.
2. On pose $A_r=r{\mathbb{N}}^{\ast }$ pour $r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Calculer $\mathbb{P}(A_r)$.
3. Montrer que la $(A_p{)}_{p\in \mathcal{P}}$ est une famille d’événements mutuellement indépendants.
4. Montrer que : $\bigcap _{p\in \mathcal{P}}{A}_p=\{1\}$.
En déduire que $\zeta (s)=\prod _{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}$.
5. La famille ${\left(\frac{1}{p}\right)}_{p\in \mathcal{P}}$ est-elle sommable ?

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $[[0,n]]$. On pose $\mathbb{P}(X=j,Y=i)=\lambda \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$ pour $(i,j)\in [[0,n{]]}^2$.
1. Déterminer $\lambda$.
2. Donner les lois de $X$ et $Y$.
3. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
4. On considère la matrice $B=(\mathbb{P}(X=i\mid Y=j){)}_{0\le i,j\le n}$. Expliciter $B$, puis calculer $B^p$ pour $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
5. $B$ est-elle diagonalisable ? Déterminer ses valeurs propres et les sous-espaces propres associés.

On dispose initialement d’une fleur $F_0$ qui meurt à l’instant 1 en ayant deux descendances avec probabilité $p$, ou aucune. Chaque nouvelle fleur suit le même destin, les unes indépendamment des autres. On note $D_n$ : «la lignée de $F_0$ est éteinte à l’instant $n$ (ou avant)» et $p_n$ sa probabilité.
1. Calculer $p_0$ et $p_1$.
2. Justifier que la suite $(p_n)$ converge.
3. Prouver que $p_{n+1}=p{p}_n^2+1-p$.
4. Déterminer la limite de $(p_n)$.

On lance une infinité de fois une pièce de monnaie et on gagne à chaque lancer un point si pile apparaît (avec probabilité $p$), deux points si c’est face (avec probabilité $q=1-p$). On s’intéresse à la probabilité $g_n$ qu’on ait marqué $n$ points exactement au cours du jeu.
Prouver la relation $g_{n+2}=p{g}_{n+1}+q{g}_n$ et en déduire $g_n$ en fonction de $n$.

On lance une infinité de fois une pièce donnant pile avec probabilité $p>0$ et face avec probabilité $1-p$. Quelle est la probabilité d’obtenir deux piles consécutifs au cours de ces lancers ?

Soit $r\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. On pose $\mathbb{P}(X=k)=r{\int }_0^1{x}^{k-1}(1-x{)}^{r}dx$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
1. Montrer que cette relation définit bien la loi d’une variable aléatoire.
2. Donner une condition sur $r$ pour que l’espérance soit définie et la calculer.

Soit $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé. Soit $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de variable aléatoires réelles définies sur cet espace.
Montrer que $A=\{\omega \in \Omega \mid \underset{n\to +\infty }{\lim }{X}_n(\omega )=0\}$ est un événement.

On dispose d’une urne contenant trois jetons indiscernables numérotés de 1 à 3. On effectue une série de tirages indépendants avec remise d’un jeton. On note :
• $Y$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages nécessaires pour avoir deux nombres différents;
• $Z$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages nécessaires pour avoir les trois numéros.
1. Reconnaître la loi de $Y-1$.
2. En déduire la loi de $Y$.
3. En déduire $\mathbb{E}(Y)$ et $\mathbb{V}(Y)$.
4. Déterminer la loi du couple $(Y,Z)$.
5. En déduire la loi de $Z$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$. On suppose que la loi conjointe de $X$ et $Y$ vérifie$$\forall (j,k)\in {\mathbb{N}}^2,\mathbb{P}(X=j,Y=k)=\frac{a(j+k)}{2^{j+k}}$$1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont elles indépendantes ?
4. Calculer $\mathbb{P}(X=Y)$.

Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres $p_1$ et $p_2$. Déterminer la loi de $Z=\min (X,Y)$.

Soient $X,Y,Z$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$.
1. Calculer $\mathbb{P}(X=Y)$. En déduire $\mathbb{P}(X⩽Y)$.
2. Déterminer la loi de $X+Y$.
3. Calculer $\mathbb{P}(Z>n)$.
4. Calculer $\mathbb{P}(Z>X+Y)$.

Une urne contient initialement une boule blanche. On effectue un ou plusieurs lancers indépendants d’une pièce équilibrée :
• si on obtient pile, on ajoute une boule noire et on lance à nouveau la pièce;
• si on obtient face, on tire une boule de l’urne et l’expérience s’arrête.
On note $X$ le numéro du lancer auquel on arrête l’expérience.
1. Déterminer la loi de $X$.
2. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche à la fin de l’expérience ?

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $U=\min (X,Y)$ et $V=X-Y$.
1. Écrire explicitement les lois suivies par $X$ et $Y$.
2.
a. Déterminer la loi conjointe du couple $(U,V)$ puis les lois de $U$ et de $V$.
b. Montrer que $U$ et $V$ sont deux variables aléatoires indépendantes.
3. Réciproquement, on suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes de même loi, et que $U$ et $V$ sont indépendantes telles que$$\forall (n,m)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times \mathbb{Z},\mathbb{P}(\{U=n\}\cap \{V=m\})\ne 0$$Montrer que $X$ et $Y$ suivent une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

On cherche à obtenir toutes les pièces d’un puzzle de $n$ pièces différentes. On achète chaque semaine une pièce emballée, chaque pièce étant équiprobable. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on note $Y_k$ le nombre d’achats à effectuer, sachant qu’on a eu une $(k-1)$-ème pièce différente, avant d’avoir une $k$-ème pièce qu’on n’a pas déjà eue.
1.
a. Les variables aléatoires $Y_k$ sont-elles mutuellement indépendantes ? Justifier que $Y_1$ peut s’écrire comme une constante simple.
b. Donner la loi de $Y_k$, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Donner l’espérance, puis la variance de $Y_k$.
2. On note $X$ le nombre d’achats à effectuer avant d’avoir le puzzle complet. Exprimer $X$ en fonction des $Y_k$. Donner l’espérance de $X$ en fonction de $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$.
3. En utilisant une comparaison série-intégrale, déterminer un équivalent de $H_n$. En déduire un équivalent quand $n\to +\infty$ de l’espérance de $X$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que $X$ suit une loi géométrique si et seulement si$$\forall (n,p)\in {\mathbb{N}}^2,\mathbb{P}(X>n+p\mid X>n)=\mathbb{P}(X>p)$$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $1/2$. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $A_k$ l’événement «$X$ est un multiple de $k$».
1. Calculer $\mathbb{P}(A_k)$ pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
2. Calculer $\mathbb{P}(A_2\cup A_3)$.
3. On note $B$ l’événement «$X$ est premier». Donner une valeur approchée de $\mathbb{P}(B)$ à $10^{-2}$ près.