Exercices de Dérivabilité en maths Sup (prépa)

1. $Dérivabilité de fonctions usuelles$

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

2. $Continuité et dérivabilité sur R$

Sur quelles parties de

R

, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?

Q1-

x \mapsto x ∣ x ∣

Q2-

x \mapsto \frac{x}{∣ x ∣ + 1}

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3. $Continuité et dérivabilité (II)$

Sur quelles parties de

R

, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?

Q1-

f : x \mapsto {x sin (1/ x) 0 si x \neq = 0 sinon

Q2-

g : x \mapsto {x^{2} sin (1/ x) 0 si x \neq = 0 sinon

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4. $Calcul de dérivées (domaine)$

Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes :

Q1-

x \mapsto \frac{arctan x}{x ^{2} + 1}

Q2-

x \mapsto \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Q3-

x \mapsto \frac{sin x}{( cos x + 2 ) ^{4}}

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5. $Calcul de dérivées (II)$

Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes :

Q1-

x \mapsto x^{x}

Q2-

x \mapsto (cosh x)^{x}

Q3-

x \mapsto ln ∣ x ∣

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6. $Dérivées de arctan composé$

Calculer les dérivées des fonctions suivantes

f_{1} (x) = arctan (e^{x}), f_{2} (x) = arctan (sinh x) et f_{3} (x) = arctan (tanh \frac{x}{2}) .

Qu'en déduire ?

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7. $Bijection f (x) = sin x + x$

Soit

f : [0, π /2] \to R

définie par

f (x) = sin x + x .

Justifier que

f

réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que

f^{- 1}

est continue et dérivable sur cet intervalle.

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8. $Fonctions f (x + y) = f (x) + f (y) dériv.$

Déterminer toutes les applications

f : R \to R

dérivables telles que

\forall (x, y) \in R^{2}, f (x + y) = f (x) + f (y) .

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9. $Dérivée symétrique et dérivabilité$

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

a

un point de

I

qui n'en soit pas une extrémité. Si le rapport

\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h))

admet une limite finie quand

h

tend vers

0

, celle-ci est appelée dérivée symétrique de

f

a

Q1-Montrer que, si

f

est dérivable à droite et à gauche en

a

, elle admet une dérivée symétrique en

a

Q2-Que dire de la réciproque ?

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10. $Dérivée n -ième (liste de fonctions)$

Calculer la dérivée

n

-ième de

Q1-

x \mapsto x^{2} (1 + x)^{n}

Q2-

x \mapsto (x^{2} + 1) e^{x}

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11. $Dérivée -ième de fractions simples$

Calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto \frac{1}{1 - x}, x \mapsto \frac{1}{1 + x} puis x \mapsto \frac{1}{1 - x ^{2}} .

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12. $Dérivée n -ième de 1/ (1 - x^{2})$

Calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto \frac{1}{1 - x ^{2}} .

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13. $Dérivée n -ième de cos^{3} x$

Calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto cos^{3} x

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14. $Dérivée n -ième de cos (t) e^{t}$

Calculer la dérivée

n

-ième de la fonction réelle

t \mapsto cos (t) e^{t}

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15. $(e^{x 3} sin x)^{(n)}$

Soit

f : R \to R

définie par

f (x) = e^{x 3} sin x

. Montrer que

f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{x 3} sin (x + \frac{nπ}{6}) .

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16. $Dérivée n -ième de x^{n - 1} e^{1/ x}$

Montrer que la dérivée d'ordre

n

x^{n - 1} e^{1/ x}

est

(- 1)^{n} x^{- (n + 1)} e^{1/ x} .

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17. $Dérivée n -ième de arctan x$

Soit

f : x \mapsto arctan x

Q1-Montrer que pour tout

n \geq 1

f^{(n)} (x) = (n - 1)! cos^{n} (f (x)) sin (n f (x) + nπ /2)

Q2-En déduire les racines de

f^{(n)}

pour

n \geq 1

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18. $Dérivée n -ième de x^{2 n} et C.V.$

Calculer de deux façons la dérivée

n

-ième de

x \mapsto x^{2 n}

.
En déduire une expression de

k = 0 \sum n (k n)^{2} .

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19. $Périodicité et dérivée non nulle$

Soit

f : R \to R

dérivable. On suppose que

f^{'}

ne s'annule pas.
Montrer que

f

ne peut être périodique.

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20. $Rolle : zéro d'un polynôme$

Soit

a, b, c \in R

. Montrer qu'il existe

x \in] 0, 1 [

tel que

4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x = a + b + c .

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21. $Théorème de Darboux pour la dérivée$

Soit

f : [a, b] \to R

dérivable et vérifiant

f^{'} (a) > 0

f^{'} (b) < 0

.
Montrer que la dérivée de

f

s'annule.

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22. $Zéros d'une C^{n} et dérivée$

Soit

n \in N

f : I \to R

une application de classe

C^{n}

s'annulant en

n + 1

points distincts de

I

Q1-Montrer que la dérivée

n

-ième de

f

s'annule au moins une fois sur

I

Q2-Soit

α

un réel. Montrer que la dérivée

(n - 1)

-ième de

f^{'} + α f

s'annule au moins une fois sur

I

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23. $Polynômes de Legendre (x^{2} - 1)^{n}$

On pose

f : x \mapsto ((x^{2} - 1)^{n})^{(n)}

Q1-Montrer que

f

est une fonction polynomiale de degré

n

Q2-Calculer

f (1)

f (- 1)

Q3-Montrer que

f

possède exactement

n

racines distinctes toutes dans

] - 1, 1 [

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24. $Zéro de f^{''} via la dérivée seconde$

Soient

f : I \to R

une fonction deux fois dérivable sur

I

a, b, c

trois points distincts de

I

.
Montrer

\exists d \in I, \frac{f ( a )}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{f ( b )}{( b - c ) ( b - a )} + \frac{f ( c )}{( c - a ) ( c - b )} = \frac{1}{2} f^{''} (d) .

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25. $Annulation d'une dérivée d'ordre n$

Soient

n \in N^{*}

a < b \in R

f : [a, b] \to R

une fonction

n

fois dérivable.
Montrer que si

f (a) = f^{'} (a) = \dots = f^{(n - 1)} (a) = 0 et f (b) = 0

alors il existe

c \in] a, b [

tel que

f^{(n)} (c) = 0

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26. $Existence d'un point critique$

Soit

f : R \to R

dérivable telle que

- \infty lim f = + \infty lim f = + \infty.

Montrer qu'il existe

c \in R

tel que

f^{'} (c) = 0

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27. $Point critique d'une fonction dérivable$

Soit

f : [0, + \infty [\to R

une fonction dérivable telle que

+ \infty lim f = f (0) .

Montrer qu'il existe

c > 0

tel que

f^{'} (c) = 0

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28. $Zéro de f^{'} sous condition f (0) = 0$

Soit

a > 0

f

une fonction réelle continue sur

[0, a]

et dérivable sur

] 0, a]

.
On suppose

f (0) = 0

f (a) f^{'} (a) < 0

.
Montrer qu'il existe

c \in] 0, a [

tel que

f^{'} (c) = 0

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29. $Zéro de f^{'} si f (0) = f (a) = 0$

Soit

a > 0

f : [0, a] \to R

une fonction dérivable telle que

f (0) = f (a) = 0 et f^{'} (0) = 0.

Q1-Montrer que la dérivée de

x \mapsto f (x) / x

s'annule sur

] 0, a [

Q2-En déduire qu'il existe un point autre que l'origine en lequel la tangente à

f

passe par l'origine.

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30. $Zéros de f^{'} et de f sur] a, b [$

Soit

f : [a, b] \to R

dérivable vérifiant

f (a) = f (b) = 0 et f^{'} (a) > 0, f^{'} (b) > 0.

Montrer qu'il existe

c_{1}, c_{2}, c_{3} \in] a, b [

tels que

c_{1} < c_{2} < c_{3}

f^{'} (c_{1}) = f (c_{2}) = f^{'} (c_{3}) = 0.

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31. $Zéro de f (c) = f^{''} (c)$

Soit

f : [a, b] \to R

de classe

C^{2}

vérifiant

f (a) = f^{'} (a) et f (b) = f^{'} (b) .

Montrer qu'il existe

c \in] a, b [

tel que

f (c) = f^{''} (c)

.
(Indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de

f (x)

f^{'} (x)

e^{x}

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32. $Lipschitz et dérivée bornée$

Soit

f : I \to R

dérivable.
Montrer que

f

est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.

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33. $Incrément du second ordre$

Soit

f

une fonction de classe

C^{2}

sur

[a, a + 2 h]

(avec

a \in R

h > 0

).
Montrer

\exists c \in] a, a + 2 h [, f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = h^{2} f^{''} (c) .

(Indice : introduire

φ (x) = f (x + h) - f (x)

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34. $Limite : (x + 1) e^{1/ (x + 1)} - x e^{1/ x}$

À l'aide du théorème des accroissements finis déterminer

x \to + \infty lim ((x + 1) e^{\frac{1}{x + 1}} - x e^{\frac{1}{x}}) .

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35. $Équivalent de n^{1/ n} et variations$

Montrer à l'aide du théorème des accroissements finis que

n + 1 n + 1 - n n \sim \frac{- ln n}{n ^{2}} .

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36. $Encadrement de ln (1 + x) - ln x$

Montrer que

\forall x > 0, \frac{1}{1 + x} < ln (1 + x) - ln (x) < \frac{1}{x} .

En déduire, pour

k \in N ∖ {0, 1}

n \to \infty lim p = n + 1 \sum k n \frac{1}{p} .

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37. $Limite d'une C^{2} avec f (+ \infty) = a$

Soit

f \in C^{2} (R^{+}, R)

telle que

x \to + \infty lim f (x) = a \in R

Q1-Si

f^{''}

est bornée, que dire de

f^{'} (x)

quand

x \to + \infty

Q2-Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse de la question 1 ?

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38. $Inégalités via le TAF$

Établir les inégalités suivantes :

Q1-

\forall x \in] - 1, + \infty [, \frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x

Q2-

\forall x \in R^{+}, e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}

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1.Dérivabilité de fonctions usuelles

2.Continuité et dérivabilité sur R

3.Continuité et dérivabilité (II)

4.Calcul de dérivées (domaine)

5.Calcul de dérivées (II)

6.Dérivées de arctan composé

7.Bijection f(x)=sinx​+x

8.Fonctions f(x+y)=f(x)+f(y) dériv.

9.Dérivée symétrique et dérivabilité

10.Dérivée n-ième (liste de fonctions)

11.Dérivée n-ième de fractions simples

12.Dérivée n-ième de 1/(1−x2)

13.Dérivée n-ième de cos3x

14.Dérivée n-ième de cos(t)et

15.(ex3​sinx)(n)

16.Dérivée n-ième de xn−1e1/x

17.Dérivée n-ième de arctanx

18.Dérivée n-ième de x2n et C.V.

19.Périodicité et dérivée non nulle

20.Rolle : zéro d'un polynôme

21.Théorème de Darboux pour la dérivée

22.Zéros d'une Cn et dérivée

23.Polynômes de Legendre (x2−1)n

24.Zéro de f′′ via la dérivée seconde

25.Annulation d'une dérivée d'ordre n

26.Existence d'un point critique

27.Point critique d'une fonction dérivable

28.Zéro de f′ sous condition f(0)=0

29.Zéro de f′ si f(0)=f(a)=0

30.Zéros de f′ et de f sur ]a,b[

31.Zéro de f(c)=f′′(c)

32.Lipschitz et dérivée bornée

33.Incrément du second ordre

34.Limite : (x+1)e1/(x+1)−xe1/x

35.Équivalent de n1/n et variations

36.Encadrement de ln(1+x)−lnx

37.Limite d'une C2 avec f(+∞)=a

38.Inégalités via le TAF

1. $Dérivabilité de fonctions usuelles$

2. $Continuité et dérivabilité sur R$

3. $Continuité et dérivabilité (II)$

4. $Calcul de dérivées (domaine)$

5. $Calcul de dérivées (II)$

6. $Dérivées de arctan composé$

7. $Bijection f (x) = sin x + x$

8. $Fonctions f (x + y) = f (x) + f (y) dériv.$

9. $Dérivée symétrique et dérivabilité$

10. $Dérivée n -ième (liste de fonctions)$

11. $Dérivée -ième de fractions simples$

12. $Dérivée n -ième de 1/ (1 - x^{2})$

13. $Dérivée n -ième de cos^{3} x$

14. $Dérivée n -ième de cos (t) e^{t}$

15. $(e^{x 3} sin x)^{(n)}$

16. $Dérivée n -ième de x^{n - 1} e^{1/ x}$

17. $Dérivée n -ième de arctan x$

18. $Dérivée n -ième de x^{2 n} et C.V.$

19. $Périodicité et dérivée non nulle$

20. $Rolle : zéro d'un polynôme$

21. $Théorème de Darboux pour la dérivée$

22. $Zéros d'une C^{n} et dérivée$

23. $Polynômes de Legendre (x^{2} - 1)^{n}$

24. $Zéro de f^{''} via la dérivée seconde$

25. $Annulation d'une dérivée d'ordre n$

26. $Existence d'un point critique$

27. $Point critique d'une fonction dérivable$

28. $Zéro de f^{'} sous condition f (0) = 0$

29. $Zéro de f^{'} si f (0) = f (a) = 0$

30. $Zéros de f^{'} et de f sur] a, b [$

31. $Zéro de f (c) = f^{''} (c)$

32. $Lipschitz et dérivée bornée$

33. $Incrément du second ordre$

34. $Limite : (x + 1) e^{1/ (x + 1)} - x e^{1/ x}$

35. $Équivalent de n^{1/ n} et variations$

36. $Encadrement de ln (1 + x) - ln x$

37. $Limite d'une C^{2} avec f (+ \infty) = a$

38. $Inégalités via le TAF$