Exercices de Dérivabilité en maths Sup (prépa) (page 3) | The Maths Tailor
Exercices de Dérivabilité, Sup (prépa) (page 3)
132 exercices de Dérivabilité pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Dérivabilité en un point, fonction dérivée, Etude globale des fonctions dérivables, Dérivées successives, Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes.
Soient f dérivable sur un intervalle I à valeurs dans R, A et B deux points distincts de sa courbe représentative C tels que B est sur la tangente à C en A. Montrer qu'il existe un point M de C, distinct de A, tel que A est sur la tangente à C en M.
Soit f une application dérivable de [a,b] dans R. On ne suppose pas que la dérivée f′ est continue sur [a,b].
Q1-On considère les fonctions définies parϕ(x)={f′(a)x−af(x)−f(a)si x=a,si a<x≤b.etψ(x)={f′(b)b−xf(b)−f(x)si x=b,si a≤x<b.Démontrer que ϕ et ψ sont continues sur [a,b].
Q2-Démontrer que l'application dérivée f′ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires : si f′(a)<0 et f′(b)>0, alors il existe a<c<b tel que f′(c)=0.
Soient p et q deux nombres réels et n un entier strictement positif. Démontrer que le polynôme Xn+pX+q ne peut avoir plus de trois racines réelles distinctes.
Soit f une application dérivable de [a,b] dans R. On ne suppose pas que la dérivée f′ est continue. On va cependant montrer que f′ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires. Soit y un réel strictement compris entre f′(a) et f′(b). On souhaite donc montrer que f′ prend la valeur y sur l'intervalle ]a,b[. Pour simplifier, on supposera dans un premier temps f′(a)<f′(b).
Q1-On pose g(x)=f(x)−xy pour x∈[a,b]. Justifier que g admet un minimum sur [a,b].
Q2-Montrer que ce minimum ne peut être atteint ni en a ni en b.
Soit f une application de R+ dans R+, telle que f(0)=0 et vérifiant∀x≥0,f′(x)≤f(x).En étudiant les variations de la fonction g:x↦e−xf(x), démontrer que la fonction f est identiquement nulle.
On étudie les zéros de solutions d'équations différentielles du type u′′+pu=0, en comparant deux équations via une fonction wronskienne auxiliaire.
Q1-Soient p et q deux fonctions continues sur R telles que p≤q sur R. Soient u et v deux fonctions de classe C2 telles que u′′+pu=0 et v′′+qv=0. On suppose que u s'annule en des réels a et b avec a<b mais qu'elle ne s'annule pas sur ]a,b[. a. On pose W=u′v−uv′. Déterminer W′. b. En déduire que v s'annule sur [a,b].
Q2-Application. Soient r une fonction continue sur R, f de classe C2 sur R telle que f′′+rf=0 et M∈R+∗. a. On suppose r≥M2. Montrer que tout intervalle fermé de longueur Mπ contient au moins un zéro de f. b. On suppose r≤M2. On suppose que f s'annule en des réels a et b tels que a<b mais qu'elle ne s'annule pas sur ]a,b[. Montrer que b−a≥Mπ.
Soit f une fonction de classe Cn sur [a,b] et n+1 fois dérivable sur ]a,b[. Montrer qu'il existe c∈]a,b[ tel quef(b)=k=0∑nk!f(k)(a)(b−a)k+(n+1)!f(n+1)(c)(b−a)n+1On appliquera le théorème de Rolle à la fonction φ définie parφ(x)=f(b)−k=0∑nk!f(k)(x)(b−x)k+A(n+1)!(b−x)n+1avec une constante A bien choisie.
Soit f une fonction de classe C2 sur R. On suppose que f,f′ et f′′ sont bornées sur R et on poseM0=t∈Rsup∣f(t)∣M1=t∈Rsup∣f′(t)∣M2=t∈Rsup∣f′′(t)∣On souhaite montrer que M1≤2M0M2.
Q1-Démontrer l'inégalité demandée dans le cas où M0=0 ou M2=0. Dans la suite de l'énoncé on supposera M0 et M2 strictement positifs.
Soient R>0 et f:I→R de classe C∞ avec I=]−R,R[. On suppose que∀n∈N,∀x∈I,f(n)(x)≥0Pour n∈N et x∈I, on pose Sn(x)=k=0∑nk!f(k)(0)xk et Rn(x)=f(x)−Sn(x).
Q1-Soit r∈]0,R[ et x∈]−r,r[. Montrer que ∣Rn(x)∣≤∣rx∣n+1Rn(r) pour tout n∈N.
Soit f une fonction de classe C2 sur [0,1] nulle en 0. On pose Sn=k=0∑nf(n2k) pour n≥1. Etudier la limite de (Sn). On pourra utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange.
On considère la fonction f définie par :f(x)=1+x21.
Q1-Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R.
Q2-Soit n un entier naturel. On posePn(x)=(1+x2)n+1f(n)(x)où f(n) désigne la dérivée n-ième de f. a. Montrer que l'on a :(1+x2)Pn′(x)=2(n+1)xPn(x)+Pn+1(x).b. Etablir que Pn est un polynôme dont le terme de plus haut degré est égal à (−1)n(n+1)!xn.
Q3-Soit a un réel et g une fonction continue sur l'intervalle [a,+∞[, dérivable sur l'intervalle ]a,+∞[ et qui vérifieg(a)=0etx→+∞limg(x)=0.a. On considère la fonction G définie sur l'intervalle [0,1] par :G:x↦{g(1/x+a−1)0si x∈]0,1]si x=0Montrer que G est continue sur [0,1] et dérivable sur ]0,1[. b. Montrer que G′ s'annule en un point de ]0,1[. En déduire que g′ s'annule en un point de ]a,+∞[.
Q4-Soit h une fonction qui est continue sur l'intervalle ]−∞,a], dérivable sur l'intervalle ]−∞,a[, telle queh(a)=0et telle quex→−∞limh(x)=0.Montrer que la fonction h′ s'annule en un point de l'intervalle ]−∞,a[.
Q5-Montrer par récurrence sur n que le polynôme Pn admet n racines réelles distinctes.
Étudier la suite définie par la relation de récurrence u0=0 et ∀n∈N,un+1=2−un.
114.Suite un+1=4+3un
Étudier la suite définie par∀n∈N,un+1=4+3un.
Q2-Soient I un intervalle de R, x0∈I, f et g deux fonctions définies et continues sur I, dérivables sur I∖{x0} telles que ∀x∈I∖{x0},g′(x)=0 et telles que le rapport g′(x)f′(x) tende vers ℓ∈R∪{±∞} lorsque x tend vers x0. Montrer que le rapport g(x)−g(x0)f(x)−f(x0) est défini pour tout x=x0 et qu'il tend vers ℓ lorsque x tend vers x0. Le résultat démontré s'appelle la règle de l'Hospital.
Q3-Retrouver, en utilisant la règle de l'Hospital, les développements limités suivants au point 0,sin(x)=x+o(x),cos(x)=1−21x2+o(x2),sin(x)=x−61x3+o(x3).
Q3-Conclure.
Q4-Traiter le cas où f′(a)>f′(b).
Q2-Montrer que pour tout n∈N∗ et tout x∈R+∗,gn(x)=(−1)nxn+1e1/x
Q3-Déterminer les limites u et v des suites (un) et (vn) et donner un équivalent de vn−v.
Q4-En utilisant la formule de Leibniz, montrer que fn(2n+1)(n1)=0.
Q2-Montrer que f est de classe C∞ sur R.
Q2-Montrer que pour n≥1,R+sup∣f(n)∣>2nn!.
Q3-En déduire la convergence et la limite de (un).
Q2-Soient x∈R et h>0. Justifier que∣f(x+h)−f(x)−f′(x)h∣≤M22h2
Q3-En déduire que∣f′(x)∣≤2hM0+M22h
Q4-Soient a et b deux réels strictement positifs. On pose g:t∈R+∗↦ta+bt. Étudier les variations de g sur R+∗. En déduire que g admet un minimum sur R+∗ et calculer celui-ci en fonction de a et b.
Q5-Conclure.
Q2-En déduire que pour tout x∈I, (Sn(x))n∈N converge vers f(x).
Q2-Montrer que le monôme de plus haut degré de Pn est n!xn.
Q3-Prouver que ∀x∈I :(1−x2)f′(x)−xf(x)=0.
Q4-Prouver , en utilisant la formule de Leibniz , que pour tout n≥1 et ∀x∈I ,Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)+n2(1−x2)Pn−1(x).
Q5-En déduire la valeur de Pn(0) pour tout n∈N (On distinguera les cas n pair et n impair et on exprimera le résultat sous la forme d'un quotient de factorielles).
Q6-Prouver que pour tout n≥1 et tout x∈I ,Pn′(x)=n2Pn−1(x).
Q7-En déduire une technique de calcul des polynômes Pn. A titre d'exemple , expliciter f(5)(x) pour tout x réel.
Q3-En déduire la formule de Vandermondek=0∑n(kn)2=(n2n).
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Quel est le degré de Pn ?
Q3-Montrer que Pn a la parité de n. En déduire Pn(0) pour n impair et Pn′(0) pour n pair.
Q4-En utilisant la formule du binôme de Newton, calculer Pn(0) pour n pair et Pn′(0) pour n impair. On exprimera les résultats à l'aide de factorielles.
Q5-a. Vérifier que∀n∈N,(X2−1)Qn′=2nXQnb. En dérivant n+1 fois cette relation, montrer que∀n∈N,(X2−1)Pn′′+2XPn′=n(n+1)Pn
Q6-a. Montrer que Qn(k)(−1)=Qn(k)(1)=0 pour tout k∈[[0,n−1]]. b. En appliquant le théorème de Rolle et à l'aide d'une récurrence, montrer que Pn admet exactement n racines réelles distinctes dans ]−1,1[.
