Exercices de Dérivabilité, Sup (prépa) (page 2)

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$. Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et périodique.
Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Montrer que la fonction $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ définie par :$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\ln x& \text{si }x\ne 0\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$$est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$.

Soit $n\in \mathbb{N}$, montrer que la fonction$$f_n:x\mapsto \{\begin{array}{ll}{x}^{n+1}& \text{si }x\ge 0\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ telle que $f^{\prime }(0)=0$.
Montrer qu'il existe $g:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ telle que$$\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},f(x)=g(x^2).$$

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par $f_a(x)=e^{x-a}-2x+e^a$.
1. Montrer que pour tout réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible?

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x{e}^{3x}$. On pose $u_0\in \mathbb{R}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

On étudie la fonction $f:]0,+\infty [\to \mathbb{R}$, $x\mapsto \frac{\ln (e^{2x}-1)}{e^x}$, puis on recherche ses primitives.

Les fonctions suivantes sont-elles dérivables au point indiqué ?

$f(x)=\frac{x}{1+|x|}$ en $0$,

$g(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1)& \text{si }x\le 1\\ (x-1{)}^2& \text{si }x>1\end{array}$ en $1$,

$h(x)=|x|\sin x$ en $0$.

Déterminer $a,b\in \mathbb{R}$ de sorte que la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}_{+}$ par$f(x)=\sqrt{x}$ si $0\le x\le 1$ et $f(x)=a{x}^2+bx+1$ si $x>1$

soit dérivable en 1.

Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dérivable vérifiant $f(0)=f(1)$ avec $f^{\prime }$ continue en 0 et en 1. On définit $g$ sur $[0,1]$ par$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(2x)& \text{si }0\le x\le \frac{1}{2}\\ f(2x-1)& \text{si }\frac{1}{2}<x\le 1\end{array}$

$g$ est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?

Étudier si les fonctions suivantes sont dérivables et $C^1$ sur $\mathbb{R}$ :

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{si }x\ne 0\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{si }x\ne 0\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$

Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant 0, continue en $I$. On suppose en outre que$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$.

Montrer que $f$ est dérivable en 0.

Soit $n\ge 2$ un entier et $p,q\in \mathbb{R}$. On note $P(X)=X^n+pX+q$.

1. Démontrer que $P$ admet au plus 3 racines réelles.

2. On suppose que $n$ est pair. Démontrer que $P$ admet au plus deux racines réelles.

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction $n$ fois dérivable.

Soit $P$ un polynôme. Montrer que l'équation $P(x)=e^x$ n'admet qu'un nombre fini de solutions.

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue, dérivable sur $]a,b[$, et vérifiant $f(a)=f(b)=0$. Soit $d\in \mathbb{R}\setminus [a,b]$. Montrer qu'il existe une tangente à la courbe représentative de $f$ passant par le point $(d,0)$.

Démontrer les inégalités suivantes :

1. $\forall x,y\in \mathbb{R}$, $|\arctan (x)-\arctan (y)|\le |x-y|$.

2. $\forall x\ge 0$, $x\le e^x-1\le x{e}^x$.

On étudie les encadrements de $\ln (x+1)-\ln x$ par le théorème des accroissements finis, puis on les applique à une suite.

Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ telle que $f(0)=f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)=0$. On veut montrer qu'il existe $c\in ]0,1[$ tel que $f^{\prime }(c)=\frac{f(c)}{c}$.

Dans cet exercice, on se propose d'étudier, pour tout entier naturel non nul $n$, les solutions réelles positives de l'équation notée $(E_n)$ : $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\cdots +\frac{1}{x+n}=1$.

À cet effet, on introduit la fonction suivante, définie pour $x\in [0,+\infty [$ par

$f_n(x)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{x+k}$.

1. Étudier les variations de $f_n$ sur $[0,+\infty [$.

2. En déduire que $(E_n)$ admet une unique solution dans $[0,+\infty [$. On notera $x_n$ cette solution.

3. Étudier le signe de la fonction $f_{n+1}-f_n$ sur $[0,+\infty [$. En déduire que la suite $(x_n)$ est croissante.

4. En déduire que, pour tout $x>0$ et tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$\frac{1}{x+k}\le \ln (x+k)-\ln (x+k-1)\le \frac{1}{x+k-1}$.

5. En déduire que, pour tout $x>0$,

$f_n(x)\le \ln \left(1+\frac{n}{x}\right)$

puis que

$x_n\le \frac{n}{e-1}$.

6. Démontrer que pour tout $x>0$,

$f_n(x)\ge \ln \left(1+\frac{n}{x+1}\right)$.

En déduire que

$x_n\ge \frac{n}{e-1}-1$.

7. Déterminer un équivalent de $(x_n)$.

Pour $n\ge 1$, déterminer la dérivée $n$-ième des fonctions suivantes :

$x\mapsto a^x$ ($a>0$),

$x\mapsto \frac{1}{x}$.

Calculer la dérivée $n$-ième des fonctions suivantes :

1. $x\mapsto x\exp (x)$

2. $x\mapsto (x^3+2x-7)e^x$

Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-a{)}^n(x-b{)}^n$ ($a,b$ sont des réels). En étudiant le cas $a=b$, trouver la valeur de $\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2$.

On considère $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\le 0\\ e^{-\frac{1}{x}}& \text{si }x>0\end{array}$

1. Montrer que $f$ est $C^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac{1}{x}}{P}_n(1/x)$ où $P_n\in \mathbb{R}[X]$.

2. Montrer que $f$ est $C^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une application dérivable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Etudier la dérivabilité et calculer les dérivées des fonctions suivantes.

On cherche à calculer les dérivées successives de $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$ par décomposition en éléments simples.

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, calculer la dérivée $n$-ième de$$x\mapsto e^x\cos (\alpha )\cos (x\sin (\alpha )).$$

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}$.

Montrer que pour tout $x\in [0,\frac{\pi }{2}[$$$x\le \frac{2}{3}\sin x+\frac{1}{3}\tan x$$

Montrer que pour tout $x\in {\mathbb{R}}_{+}$$$\frac{8\sin x-\sin (2x)}{6}\le x$$

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$. Soit $x_0\in \mathbb{R}$. Déterminer la limite en $0$ de$$\tau :h\mapsto \frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)}{h^2}$$

On dit qu'une fonction $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ admet une dérivée symétrique en $a\in \mathbb{R}$ lorsque le rapport$$\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$$admet une limite lorsque $h$ tend vers $0$.

Soit $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ dérivable admettant une limite $\ell$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Prouver l'existence de $c\in \mathbb{R}$ tel que $f^{\prime }(c)=0$.

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a,b\in \mathbb{R}$, $a<b$ et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^{n-1}$ sur $[a,b]$, $n$ fois dérivable sur $]a,b[$. Soient$$a_0=a<a_1<\cdots <a_n=b$$et supposons que$$f(a_0)=f(a_1)=\cdots =f(a_n).$$Montrer qu'il existe alors $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.