Exercices de Dérivabilité en maths Sup (prépa) (page 4) | The Maths Tailor
Exercices de Dérivabilité, Sup (prépa) (page 4)
132 exercices de Dérivabilité pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Dérivabilité en un point, fonction dérivée, Etude globale des fonctions dérivables, Dérivées successives, Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes.
Calculer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes. On précisera systématiquement sur quelle partie de R ces fonctions sont dérivables.
Q1-f(x)=ln(ln(x));
Q2-f(x)=arctan(ln(x));
Q3-f(x)=ln(1−2sin2(x));
Q4-f(x)=sin(x)−xcos(x)cos(x)+xsin(x);
Q5-f(x)=(cos2(x)+23)sin(2x);
Q6-f(x)=arctan(1+x1−x).
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1.f(x)=ln(ln(x)). Définie pour x>1 (pour que lnx>0). f′(x)=ln(x)1⋅x1=xlnx1. Dérivable sur ]1,+∞[.
2.f(x)=arctan(lnx). Définie sur ]0,+∞[. f′(x)=1+ln2(x)1⋅x1=x(1+ln2x)1. Dérivable sur ]0,+∞[.
3.f(x)=ln(1−2sin2x). Comme 1−2sin2x=cos(2x), f(x)=21ln(cos(2x)), définie quand cos(2x)>0, i.e. 2x∈]−π/2+2kπ,π/2+2kπ[, i.e. x∈]−π/4+kπ,π/4+kπ[ (k∈Z). f′(x)=21⋅cos(2x)−2sin(2x)=−tan(2x). Dérivable sur tout son domaine de définition, la réunion des intervalles ]−π/4+kπ,π/4+kπ[.
4.f(x)=sinx−xcosxcosx+xsinx. Par la règle du quotient, avec u=cosx+xsinx et v=sinx−xcosx : u′=−sinx+sinx+xcosx=xcosx, v′=cosx−cosx+xsinx=xsinx. f′(x)=(sinx−xcosx)2xcosx(sinx−xcosx)−(cosx+xsinx)xsinx =(sinx−xcosx)2x[cosxsinx−xcos2x−sinxcosx−xsin2x]=(sinx−xcosx)2x(−x)=(sinx−xcosx)2−x2. Dérivable là où sinx=xcosx.
5.f(x)=(cos2x+3/2)sin(2x). f′(x)=−2cosxsinx⋅sin(2x)+(cos2x+3/2)⋅2cos(2x) =−sin(2x)2+2(cos2x+3/2)cos(2x) =−sin2(2x)+2cos2xcos(2x)+3cos(2x). Dérivable sur R.
6.f(x)=arctan(1+x1−x). Définie pour x∈]−1,1]. Soit u=1+x1−x, u′=2(1−x)/(1+x)1⋅(1+x)2−(1+x)−(1−x)=2u1⋅(1+x)2−2=u(1+x)2−1. f′(x)=1+u21⋅u′=1+1+x1−x1⋅u(1+x)2−1=21+x⋅(1−x)/(1+x)⋅(1+x)2−1=2(1−x)(1+x)−1 =21−x2−1. Dérivable sur ]−1,1[.
118.Dérivée n-ième sur ]0,+∞[
Soit f:]0,+∞[⟶R une fonction n fois dérivable sur R+ (n⩾1).
Q1-On suppose dans cette question que n=1 et que f admet une limite finie en +∞. Prouver à l'aide d'un contre-exemple que f′ peut n'admettre aucune limite en +∞.
Soit f la fonction définie sur [1,+∞[ par f(x)=x3−1. 1. Montrer que f réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle J que l'on précisera. 2. Déterminer explicitement f−1.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=ex+1ex−1. 1. Étudier les variations de f et montrer qu'elle réalise une bijection de R sur un intervalle J à préciser. 2. Déterminer sa réciproque.
Soit f la fonction définie sur [1,+∞[ par f(x)=exp((lnx)2). 1. Montrer que f réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle J à préciser. 2. Déterminer sa réciproque.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=xex. 1. Étudier les variations de f, ses limites en ±∞ et l'équation de sa tangente en 0. 2. Montrer que f induit une bijection h de [−1,+∞[ sur [−e−1,+∞[. 3. On note W la réciproque de h. Montrer que W est dérivable sur ]−e−1,+∞[ et que, pour x=0, W′(x)=x(1+W(x))W(x).
Soit f la fonction définie pour x<1 par f(x)=xe1−x. 1. Montrer que f réalise une bijection de ]−∞,1[ sur un intervalle J à préciser. 2. On note g sa réciproque. Calculer g′(−e2).
Pour chacune des fonctions suivantes, montrer qu'elle réalise une bijection, puis donner l'équation de la tangente à la courbe de f−1 au point d'abscisse 0. 1. f:]0,+∞[→R, f(x)=−1+ex−1+lnx. 2. f:R→R, f(x)=4x+sin4x.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=cos(arctan(2x+1)). 1. Étudier les variations de f et ses limites en ±∞. 2. Résoudre f(x)=21. 3. Montrer que la restriction de f à [−21,+∞[ admet une réciproque g et préciser son ensemble de définition. 4. Calculer g′(22).
Soit f la fonction définie par la relation 2arcsinx+arcsin(f(x))=6π.1. Déterminer l'ensemble de définition de f. 2. Montrer que f admet une réciproque et préciser son ensemble de définition.
Soit f:R→R dont la courbe représentative est symétrique par rapport à la première bissectrice, la droite y=x. 1. Montrer que f∘f=id. 2. Si la courbe n'est pas la bissectrice elle-même, montrer que f n'est pas croissante. 3. Si de plus f est continue, montrer qu'elle est strictement décroissante. 4. Donner un exemple d'une telle fonction, distincte de la bissectrice.
