Exercices de Déterminants en maths Sup (prépa)

1. $Permutation circulaire et produit$

Soit

n \geq 2

c

la permutation circulaire

c = (12 \dots n - 1 n)

. Déterminer toutes les permutations

σ

S_{n}

qui commutent avec

c

2. $Conjugué d'un p -cycle par σ$

Dans

S_{n}

avec

n \geq 2

, on considère une permutation

σ

et un

p

-cycle :

c = (a_{1} a_{2} \dots a_{p}) .

Observer que la permutation

σ \circ c \circ σ^{- 1}

est un

p

-cycle qu'on précisera.

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3. $Transposition (i, j) et composée$

Soient

n

un entier supérieur à

2

(i, j) \in {1, 2, \dots, n}^{2}

tel que

i \neq = j

σ \in S_{n}

.
Montrer que

σ

τ = (i j)

commutent si, et seulement si,

{i, j}

est stable par

σ

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4. $Sous-groupe H de S_{n} symétrique$

Soit

H

l'ensemble des

σ \in S_{n}

vérifiant

σ (k) + σ (n + 1 - k) = n + 1

pour tout

k \in {1, \dots, n}

.
Montrer que

H

est un sous-groupe de

(S_{n}, \circ)

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5. $Signature de permutations données$

Déterminer la signature de :

Q1-

σ = (1325344857667281)

Q2-

σ = (1123324754687586)

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6. $Signature d'une permutation$

Soit

n \in N^{*}

. Déterminer la signature de la permutation suivante :

Q1-

σ = (1 n 2 n - 1 \dots \dots n - 1 2 n 1)

Q2-

σ = (112335 \dots \dots n 2 n - 1 n + 1 2 n + 2 4 \dots \dots 2 n - 1 2 n - 2 2 n 2 n)

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7. $Transpositions et signatures$

Soit

n \geq 2

τ

une transposition de

S_{n}

Q1-Montrer que l'application

σ \mapsto τ \circ σ

est une bijection de

S_{n}

vers

S_{n}

Q2-En déduire le cardinal de l'ensemble

A_{n}

formé des permutations de signature

1

élément de

S_{n}

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8. $3-cycles et groupe alterné A_{5}$

Soit

n \geq 5

.
Montrer que si

(a b c)

(a^{'} b^{'} c^{'})

sont deux cycles d'ordre

3

S_{n}

, alors il existe une permutation

σ

, paire, telle que

σ \circ (a b c) \circ σ^{- 1} = (a^{'} b^{'} c^{'}) .

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9. $Supplémentaires et déterminant$

Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un

K

-espace vectoriel

E

.
Soient

f

une forme linéaire sur

E

p

la projection vectorielle sur

F

parallèlement à

G

q = Id - p

sa projection complémentaire.
Montrer que l'application

φ : E \times E \to K

définie par

φ (x, y) = f (p (x)) f (q (y)) - f (p (y)) f (q (x))

est une forme bilinéaire alternée sur

E

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10. $Endomorphisme vérifiant f^{2} = f$

Soient

E

R

-espace vectoriel de dimension finie et

f

un endomorphisme de

E

vérifiant

f^{2} = - Id

. Montrer que l'espace

E

est de dimension paire.

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11. $Espace V = {e^{x} P (x)} et det$

Soit

V = {x \mapsto e^{x} P (x) ∣ P \in R_{n} [X]}

Q1-Montrer que

V

est un sous-espace vectoriel de

F (R, R)

dont on déterminera la dimension.

Q2-Montrer que l'application

D : f \mapsto f^{'}

est un endomorphisme de

V

dont on calculera le déterminant.

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12. $Endomorphisme de C$

Soit

f

un endomorphisme du

R

-espace vectoriel

C

Q1-Montrer qu'il existe d'uniques complexes

a, b

tels que

\forall z \in C, f (z) = a z + b \overset{z}{ˉ}

Q2-Exprimer en fonction de

a

b

le déterminant de

f

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13. $Application φ_{A} sur M_{n}$

Soient

A \in M_{n} (C)

φ_{A} \in L (M_{n} (C))

déterminé par

φ_{A} (M) = A M

.
Calculer la trace et le déterminant de

φ_{A}

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14. $Matrice à diagonale dominante$

Soit

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)

vérifiant

\forall i \in {1, \dots, n}, ∣ a_{i, i} ∣ > j \neq = i \sum ∣ a_{i, j} ∣.

Q1-Montrer que

A

est inversible.

Q2-On suppose en outre

\forall i \in {1, \dots, n}, a_{i, i} > 0

. Montrer que

det A > 0

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15. $Matrice A et conjuguée \overline{A}$

Soit

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (C)

. On note

\overline{A} = (\overline{a_{i, j}}) \in M_{n} (C)

.
Former une relation liant

det (\overline{A})

\overline{det A}

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16. $Matrice hermitienne : det réel$

Soit

A \in M_{n} (C)

telle que

^{t} A = \overline{A}

. Montrer que

det A \in R

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17. $Antisymétrique d'ordre impair$

Soit

A

une matrice antisymétrique réelle d'ordre

2 n + 1

. Montrer

det A = 0

.
Ce résultat est-il encore vrai lorsque

A

est d'ordre pair ?

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18. $Déterminant de (- 1)^{i + j} a_{ij}$

Comparer

det (a_{i, j})

det ((- 1)^{i + j} a_{i, j})

où

(a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (K)

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19. $Matrice de \pm 1 et déterminant$

Soit

A \in M_{n} (R)

vérifiant

\forall i, j \in {1, \dots, n}, a_{i, j} \in {1, - 1}

.
Montrer

2^{n - 1} ∣ det A

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20. $Déterminant de la matrice retournée$

Soit

A \in M_{n} (K)

de colonnes

C_{1}, \dots, C_{n}

.
Calculer le déterminant de la matrice

B

de colonnes

C_{1} - C_{2}, \dots, C_{n - 1} - C_{n}, C_{n} - C_{1}

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21. $G L_{n} (Z) : inversible entier$

On dit qu'une matrice

A \in M_{n} (R)

est élément de

GL_{n} (Z)

si la matrice

A

est à coefficients entiers, qu'elle est inversible et que son inverse est à coefficients entiers.

Q1-Montrer que si

A \in GL_{n} (Z)

alors

∣ det A ∣ = 1

Q2-Soient

A, B \in M_{n} (R)

vérifiant :

\forall k \in {0, 1, \dots, 2 n}, A + k B \in GL_{n} (Z)

. Calculer

det A

det B

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22. $Déterminant de B, colonnes B_{j} = \sum_{i \neq = j} A_{i}$

Soient

A \in M_{n} (R)

(

n \geq 2

) de colonnes

A_{1}, \dots, A_{n}

B \in M_{n} (R)

de colonnes

B_{1}, \dots, B_{n}

déterminées par

B_{j} = i \neq = j \sum A_{i}

.
Exprimer

det B

en fonction de

det A

23. $Condition det (A + X) = det A + det X$

Soit

A \in M_{n} (C)

(avec

n \geq 2

) vérifiant pour tout

X \in M_{n} (C)

det (A + X) = det A + det X .

Montrer que

det A = 0

puis

A = 0

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24. $Formule det (A + H), H rang 1$

Soient

A

H

dans

M_{n} (R)

avec

rg H = 1

. Montrer :

det (A + H) det (A - H) \leq det A^{2} .

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25. $Antisymétrique A et J : det$

Soient

A \in M_{2 n} (R)

antisymétrique et

J \in M_{2 n} (R)

la matrice dont tous les coefficients sont égaux à

1

. Établir

\forall x \in R, det (A + x J) = det A .

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26. $Matrice a_{ij} = ∣ i - j ∣$

Soit

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)

vérifiant

\forall (i, j) \in {1, \dots, n}^{2}, a_{i, j} \geq 0 et \forall i \in {1, \dots, n}, j = 1 \sum n a_{i, j} \leq 1.

Montrer

∣ det A ∣ \leq 1

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27. $Déterminant de A^{2} + I_{n} \geq 0$

Soit

A \in M_{n} (R)

. Montrer

det (A^{2} + I_{n}) \geq 0

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28. $Déterminants factorisés (série)$

Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants :

Q1-

0 a b a 0 c b c 0

Q2-

a c b b a c c b a

Q3-

a + b a^{2} + b^{2} a^{3} + b^{3} b + c b^{2} + c^{2} b^{3} + c^{3} c + a c^{2} + a^{2} c^{3} + a^{3}

Q4-

a a a a a b b b a b c c a b c d

Q5-

a c c b c a b c c b a c b c c a

Q6-

1 cos a sin a 1 cos b sin b 1 cos c sin c

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29. $Déterminant de (a_{m a x (i, j)})$

Soient

a_{1}, \dots, a_{n} \in C

. Calculer

det (a_{m a x (i, j)})

.
En déduire en particulier

det (max (i, j))

det (min (i, j))

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30. $Déterminant de la matrice antidiag.$

Soient

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in K

. Calculer le déterminant de la matrice antidiagonale

a_{1} ⋮ a_{2} a_{1} a_{2} ⋱ \dots ⋱ a_{n} ⋮ .

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31. $Déterminant en termes de S_{k}$

Soit

n \in N^{*}

. Calculer

S_{1} S_{1} S_{1} ⋮ S_{1} S_{1} S_{2} S_{2} ⋮ S_{2} S_{1} S_{2} S_{3} ⋮ S_{3} \dots \dots \dots ⋱ \dots S_{1} S_{2} S_{3} ⋮ S_{n}

où pour tout

1 \leq k \leq n

on a

S_{k} = i = 1 \sum k i

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32. $Déterminant quaternionique$

Soit

A = a - b - c - d b a d - c c - d a b d c - b a

avec

a, b, c, d \in R

Q1-Calculer

^{t} A \cdot A

. En déduire

det A

Q2-Soient

a, b, c, d, a^{'}, b^{'}, c^{'}, d^{'} \in Z

. Montrer qu'il existe

a^{''}, b^{''}, c^{''}, d^{''} \in Z

tels que :

(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) (a^{'2} + b^{'2} + c^{'2} + d^{'2}) = a^{''2} + b^{''2} + c^{''2} + d^{''2}

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33. $Vandermonde modifié et déduction$

Soient

a, b, c

trois scalaires. On étudie des déterminants d'ordre 3 faisant intervenir les puissances de

a

b

c

, en utilisant notamment la structure de Vandermonde.

Q1-Calculer

a a^{2} a^{3} b b^{2} b^{3} c c^{2} c^{3}

Q2-En déduire

a + b a^{2} + b^{2} a^{3} + b^{3} b + c b^{2} + c^{2} b^{3} + c^{3} c + a c^{2} + a^{2} c^{3} + a^{3}

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34. $Déterminant circulant D_{n}$

Montrer

D_{n} = 12 ⋮ n - 1 n n 1 n - 1 n - 1 ⋱ \dots \dots 12 23 ⋮ n 1 = (- 1)^{n + 1} \frac{( n + 1 ) n ^{n - 1}}{2} .

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35. $Déterminant creux : 1/ a_{i}$

Soient

n \geq 2

a_{1}, \dots, a_{n}

des réels tous non nuls. Calculer le déterminant de

M = (\frac{a _{i}}{a _{j}} + \frac{a _{j}}{a _{i}})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (R) .

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36. $Déterminant à diagonale λ_{i} + x, bords a, b$

Soient

a \neq = b

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

. On pose

Δ_{n} (x) = λ_{1} + x b + x ⋮ b + x a + x λ_{2} + x ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ b + x a + x ⋮ a + x λ_{n} + x .

Q1-Montrer que

Δ_{n} (x)

est une fonction affine de

x

Q2-Calculer

Δ_{n} (x)

et en déduire

Δ_{n} (0)

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1.Permutation circulaire et produit

2.Conjugué d'un p-cycle par σ

3.Transposition (i,j) et composée

4.Sous-groupe H de Sn​ symétrique

5.Signature de permutations données

6.Signature d'une permutation

7.Transpositions et signatures

8.3-cycles et groupe alterné A5​

9.Supplémentaires et déterminant

10.Endomorphisme vérifiant f2=f

11.Espace V={exP(x)} et det

12.Endomorphisme de C

13.Application φA​ sur Mn​

14.Matrice à diagonale dominante

15.Matrice A et conjuguée A

16.Matrice hermitienne : det réel

17.Antisymétrique d'ordre impair

18.Déterminant de (−1)i+jaij​

19.Matrice de ±1 et déterminant

20.Déterminant de la matrice retournée

21.GLn​(Z) : inversible entier

22.Déterminant de B, colonnes Bj​=∑i=j​Ai​

23.Condition det(A+X)=detA+detX

24.Formule det(A+H), H rang 1

25.Antisymétrique A et J : det

26.Matrice aij​=∣i−j∣

27.Déterminant de A2+In​≥0

28.Déterminants factorisés (série)

29.Déterminant de (amax(i,j)​)

30.Déterminant de la matrice antidiag.

31.Déterminant en termes de Sk​

32.Déterminant quaternionique

33.Vandermonde modifié et déduction

34.Déterminant circulant Dn​

35.Déterminant creux : 1/ai​

36.Déterminant à diagonale λi​+x, bords a,b

1. $Permutation circulaire et produit$

2. $Conjugué d'un p -cycle par σ$

3. $Transposition (i, j) et composée$

4. $Sous-groupe H de S_{n} symétrique$

5. $Signature de permutations données$

6. $Signature d'une permutation$

7. $Transpositions et signatures$

8. $3-cycles et groupe alterné A_{5}$

9. $Supplémentaires et déterminant$

10. $Endomorphisme vérifiant f^{2} = f$

11. $Espace V = {e^{x} P (x)} et det$

12. $Endomorphisme de C$

13. $Application φ_{A} sur M_{n}$

14. $Matrice à diagonale dominante$

15. $Matrice A et conjuguée \overline{A}$

16. $Matrice hermitienne : det réel$

17. $Antisymétrique d'ordre impair$

18. $Déterminant de (- 1)^{i + j} a_{ij}$

19. $Matrice de \pm 1 et déterminant$

20. $Déterminant de la matrice retournée$

21. $G L_{n} (Z) : inversible entier$

22. $Déterminant de B, colonnes B_{j} = \sum_{i \neq = j} A_{i}$

23. $Condition det (A + X) = det A + det X$

24. $Formule det (A + H), H rang 1$

25. $Antisymétrique A et J : det$

26. $Matrice a_{ij} = ∣ i - j ∣$

27. $Déterminant de A^{2} + I_{n} \geq 0$

28. $Déterminants factorisés (série)$

29. $Déterminant de (a_{m a x (i, j)})$

30. $Déterminant de la matrice antidiag.$

31. $Déterminant en termes de S_{k}$

32. $Déterminant quaternionique$

33. $Vandermonde modifié et déduction$

34. $Déterminant circulant D_{n}$

35. $Déterminant creux : 1/ a_{i}$

36. $Déterminant à diagonale λ_{i} + x, bords a, b$