Exercices de Déterminants en maths Sup (prépa) (page 4)

110. $Déterminant à termes ∣ i - j ∣$

Calculer le déterminant suivant :

012 ⋮ n - 1 101 ⋱ \dots 210 ⋱ 2 \dots ⋱ ⋱ ⋱ 1 n - 1 ⋮ 210

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111. $Déterminant antisymétrique type 2$

Calculer le déterminant d'ordre

n

D_{n} = 0 - 1 ⋮ ⋮ - 1 10 - 1 - 1 \dots 1 ⋱ ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ - 1 11 ⋮ 10

On explicitera les opérations sur les lignes et les colonnes effectuées le cas échéant.

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112. $Déterminant D_{n} par récurrence$

Calculer en établissant une relation de récurrence le déterminant d'ordre

n

suivant.

D_{n} = 11 ⋮ 1 11 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 1 1 ⋮ 11 (0)

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113. $Déterminant (1 + x^{2}, x) (bis)$

Calculer le déterminant de taille

n

D_{n} = 1 + x^{2} x 0 ⋮ 00 x 1 + x^{2} x ⋱ \dots \dots 0 x 1 + x^{2} ⋱ 0 \dots \dots 0 x ⋱ x 0 \dots \dots ⋱ ⋱ 1 + x^{2} x 00 ⋮ 0 x 1 + x^{2}

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114. $Centrale PSI$

Soient

n

un entier supérieur ou égal à 2,

a_{1}, \dots, a_{n}

des complexes et

P = i = 1 \prod n (X - a_{i})

. Calculer

D (x) = \frac{P ( x )}{x - a _{1}} \frac{P ( x )}{x - a _{2}} ⋮ \frac{P ( x )}{x - a _{n}} 11 ⋮ 1 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} a_{1}^{2} a_{2}^{2} ⋮ a_{n}^{2} \dots \dots \dots a_{1}^{n - 2} a_{2}^{n - 2} ⋮ a_{n}^{n - 2}

pour

x \in C

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On a

P (x) = i = 1 \prod n (x - a_{i})

, donc

\frac{P ( x )}{x - a _{k}} = i \neq = k \prod (x - a_{i})

.

La fonction

D (x)

est un polynôme de degré

n - 1

x

(chaque terme de la première colonne est de degré

n - 1

). On effectue

C_{1} \leftarrow C_{1} - x^{n - 1} C_{n} - x^{n - 2} C_{n - 1} - \dots - x C_{3} - C_{2}

(les colonnes

C_{2}, \dots, C_{n}

forment la matrice de Vandermonde en

(a_{1}, \dots, a_{n})

). La première colonne devient nulle pour tout

x = a_{j}

, ce qui montre que

D (x)

est divisible par

P (x)

. Puisque

D (x)

est de degré

n - 1

P (x)

de degré

n

, le quotient est une constante identifiée en comparant les coefficients dominants :

D (x) = (- 1)^{n - 1} P (x) 1 \leq i < j \leq n \prod (a_{j} - a_{i})

115. $Racines de X^{n} - X + 1 et det$

1. Soit

n \in N

tel que

n \geq 2

. Montrer que le polynôme

P = X^{n} - X + 1

admet

n

racines distinctes dans

C

.
2. On note

z_{1}, \dots, z_{n}

les racines de

P

. Calculer le déterminant de la matrice

A = (1 + δ_{ij} z_{i})_{1 \leq i, j \leq n}

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116. $Déterminants de Cauchy$

Soient

n \in N^{*}

a_{1}, \dots, a_{n}

b_{1}, \dots, b_{n}

des complexes tels que pour tout

(i, j) \in [[1, n]]^{2}

a_{i} + b_{j} \neq = 0

. On pose alors

D_{n} = det (\frac{1}{a _{i} + b _{j}})_{1 \leq i, j \leq n}

Q1-Que peut-on dire de

D_{n}

lorsque deux des

a_{i}

ou deux des

b_{j}

sont égaux ?

Q2-On suppose maintenant les

a_{i}

(resp. les

b_{j}

) distincts deux à deux.
Dans le déterminant définissant

D_{n}

, on remplace

a_{n}

par

X

et on note

F (X)

le déterminant obtenu. Montrer que

F

est une fraction rationnelle d'indéterminée

X

. Que peut-on dire de son degré ?

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117. $Déterminants de Vandermonde$

Soient

n \in N

(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}) \in C^{n + 1}

. Calculer

11 ⋮ 1 x_{0} x_{1} ⋮ x_{n} x_{0}^{2} x_{1}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots x_{0}^{n} x_{1}^{n} ⋮ x_{n}^{n}

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118. $Matrice A_{n} : coeff. symétriques$

Pour

n \in N^{*}

, on note

A_{n}

la matrice carrée de taille

n

dont le coefficient en position

(i, j)

vaut

⎩ ⎨ ⎧ 2 - 1 0 si i = j si ∣ i - j ∣ = 1 sinon

et on pose

D_{n} = det (A_{n})

Q1-Ecrire les matrices

A_{3}, A_{4}

A_{5}

Q2-Déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite

(D_{n})

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119. $Det de P \mapsto P + P^{'}$

Soit

f

l'endomorphisme de

K_{2} [X]

défini par

P \mapsto P + P^{'}

. Calculer

det (f)

. Que peut-on déduire ?

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120. $Projecteur et symétrie$

Soient

E

un espace vectoriel de dimension

n

F

G

deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

. Calculer le déterminant de la projection sur

F

parallèlement à

G

et de la symétrie par rapport à

F

parallèlement à

G

en fonction des dimensions de

F

G

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121. $Projecteurs et symétries$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

Q1-Soit

p

un projecteur de

E

. Que vaut

det p

Q2-Soit

s

une symétrie de

E

. Que vaut

det s

Q3-Application : On considère

f

l'endomorphisme de

M_{n} (K)

qui à une matrice associe sa transposée. Que vaut

det f

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122. $Application m_{A} et déterminant$

Soit

A \in M_{2} (R)

. On pose

m_{A} : {M_{2} (R) ⟶ M_{2} (R) M ⟼ A M

Q1-Justifier que

m_{A}

est un endomorphisme de

M_{2} (R)

Q2-Montrer que

det m_{A} = (det A)^{2}

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123. $Applications u_{σ} et det$

Pour tout

σ \in S_{n}

, on définit une application

u_{σ} : {R^{n} ⟶ R^{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ (x_{σ (1)}, \dots, x_{σ (n)})

Q1-Montrer que pour tout

σ \in S_{n}, u_{σ} \in L (R^{n})

Q2-Pour

σ, τ \in S_{n}

, que vaut

u_{σ} \circ u_{τ}

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124. $CCP 2010$

Soit

f

l'application qui à tout polynôme

P

R [X]

associe le polynôme

\tilde{P}

tel que

\forall x \in R, \tilde{P} (x) = \int_{x}^{x + 1} P (t) d t

Q1-Soit

n \in N

. Montrer que

f

induit un endomorphisme

f_{n}

R_{n} [X]

Q2-Calculer

det (f_{n})

en fonction de

n

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125. $Endomorphisme et déterminant (EVF)$

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension finie.

Q1-On suppose qu'il existe

u \in L (E)

tel que

u^{2} + I d_{E} = 0

. Montrer que

dim E

est paire.

Q2-On suppose qu'il existe

u \in L (E)

tel que

u^{2} + u + I d_{E} = 0

. Montrer que

dim E

est paire.

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126. $Endomorphisme en base (e_{1}, e_{2}, e_{3})$

Soient

E

R

-espace vectoriel de dimension 3 de base

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

u

l'endomorphisme de

E

défini par

u (e_{1}) = 4 e_{1} + e_{2} + 4 e_{3}

u (e_{2}) = - 2 e_{1} + e_{2} - 4 e_{3}

u (e_{3}) = - e_{1} - e_{2} + e_{3}

Q1-Écrire la matrice

A

u

dans la base

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

Q2-Pour

λ \in R

, on pose

V (λ) = det (u - λ I d_{E})

. Calculer

V (λ)

sous forme factorisée pour tout

λ \in R

. En déduire que

V

possède trois racines réelles

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

telles que

λ_{1} < λ_{2} < λ_{3}

. Préciser

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

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127. $Produit tensoriel A \otimes B et det$

Pour

(A, B) \in M_{2} (C)^{2}

, on note

A \otimes B

la matrice de

M_{4} (C)

définie par blocs de la manière suivante :

A \otimes B = (a_{11} B a_{21} B a_{12} B a_{22} B)

Q1-Soit

(A, B, C, D) \in M_{2} (C)^{4}

. Montrer que

(A \otimes B) . (C \otimes D) = (A C) \otimes (B D)

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128. $Déterminant du complément de Schur$

Soit

M = (A C B D)

où

A \in G L_{p} (R)

D \in M_{q} (R)

. On pose

S = D - C A^{- 1} B

. Montrer que

det (M) = det (A) det (S)

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129. $Déterminants par blocs$

Soient

n ⩾ 1

A, B, C

D

quatre matrices réelles de taille

n

. Soit

M

la matrice réelle de taille

2 n

définie par :

M = (A C B D)

On suppose que

C

D

commutent. Prouver que

det (M) = det (A D - C B)

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130. $Det antisymétrique réelle \geq 0$

Montrer que le déterminant d'une matrice antisymétrique réelle est toujours positif.

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131. $Matrice circulante de (a, b, c)$

On pose, pour

a, b, c \in R

A = a b c b c a c a b

Q1-Calculer

A A^{⊤}

Q2-On suppose que

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1

. Prouver que

∣ det (A) ∣ ⩽ 1

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132. $Comatrice itérée com^{2} (A)$

Soit

A \in G L (n, K), n > 1

. Montrer que

com (com (A)) = det (A)^{n - 2} A

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133. $Matrices entières et comatrice$

Soient

A, B \in M_{n} (Z)

Q1-Montrer que

det A, det B \in Z

Q2-On suppose que

det A

det B

sont premiers entre eux. Montrer qu'il existe deux matrices

U, V \in M_{n} (Z)

telles que

A U + B V = I_{n}

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134. $Rang de com (A) vs rg (A)$

Soit

A \in M_{n} (K)

. Donner le rang de

com (A)

en fonction de celui de

A

. On pourra distinguer les cas

rg A = n, rg A < n - 1

rg A = n - 1

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135. $Matrice M (a, b) et déterminant$

Pour

(a, b) \in C^{2}

, on pose

M (a, b) = (a - b a b a)

K = {M (a, b), (a, b) \in C^{2}}

Q1-A quelle condition un élément de

K

est-il inversible ?

Q2-Montrer que

K ∖ {0}

muni de la multiplication est un groupe.

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136. $Base et det d'un endomorphisme$

Soit

u

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel de dimension finie. On se donne une base

B

E

. Pour

(x_{1}, \dots, x_{n}) \in E^{n}

, on pose

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = det_{B} (u (x_{1}), x_{2}, \dots, x_{n}) + \dots + det_{B} (x_{1}, \dots, x_{n - 1}, u (x_{n}))

Montrer que

f = tr (u) det_{B}

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137. $G L_{n} (Z) et det \pm 1 bis$

On note

G L_{n} (Z)

l'ensemble des matrices de

M_{n} (Z)

inversibles et dont l'inverse est également dans

M_{n} (Z)

. Soit

(A, B) \in M_{n} (Z)^{2}

. On suppose que

A + k B \in G L_{n} (Z)

pour tout

k \in [[0, 2 n]]

. Que vaut

det (B)

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138. $Matrices semblables sur C$

Soient

A

B

deux matrices de

M_{n} (R)

semblables sur

C

. Montrer que

A

B

sont semblables sur

R

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139. $Endomorphisme f^{3} + f = 0, det$

Soit

f \in L (R^{3})

vérifiant

f^{3} + f = 0

Q1-Montrer que

R^{3} = Ker f \oplus Im f

Q2-A partir de maintenant, on suppose

f

non nul.
a. Justifier l'existence d'un vecteur non nul

u

Im f

.
b. Montrer que

f^{2} (u) = - u

.
c. Montrer que la famille

(u, f (u))

est libre. Que peut-on en déduire sur

rg f

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140. $Matrice A_{p} et déterminant$

Soit

p \in N

tel que

p \geq 2

. Soit

A \in M_{p} (R)

la matrice dont les coefficients sont donnés par

a_{ij} = {10 si i \neq = j sinon

Q1-On note

K

la matrice de

M_{p} (R)

dont tous les coefficients sont égaux à 1. Exprimer

K^{n}

en fonction de

K

Q2-En déduire deux suites

(u_{n})

(v_{n})

telles que

\forall n \in N, A^{n} = u_{n} A + v_{n} I_{p}

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141. $X — Déterminant binomial$

Calculer

D_{n + 1} = (0 0) (0 1) ⋮ (0 n) (1 1) (1 2) ⋮ (1 n + 1) \dots \dots \dots (n n) (n n + 1) ⋮ (n 2 n)

en notant par

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

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142. $X — det (A + H) det (A - H) \leq (det A)^{2}$

Soient

A

H

dans

M_{n} (R)

avec

rg H = 1

. Montrer :

det (A + H) det (A - H) \leq det A^{2}

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Exercices de Déterminants, Sup (prépa) (page 4)

109.

110. $Déterminant à termes ∣ i - j ∣$

111. $Déterminant antisymétrique type 2$

112. $Déterminant D_{n} par récurrence$

113. $Déterminant (1 + x^{2}, x) (bis)$

114. $Centrale PSI$

115. $Racines de X^{n} - X + 1 et det$

116. $Déterminants de Cauchy$

117. $Déterminants de Vandermonde$

118. $Matrice A_{n} : coeff. symétriques$

119. $Det de P \mapsto P + P^{'}$

120. $Projecteur et symétrie$

121. $Projecteurs et symétries$

122. $Application m_{A} et déterminant$

123. $Applications u_{σ} et det$

124. $CCP 2010$

125. $Endomorphisme et déterminant (EVF)$

126. $Endomorphisme en base (e_{1}, e_{2}, e_{3})$

127. $Produit tensoriel A \otimes B et det$

128. $Déterminant du complément de Schur$

129. $Déterminants par blocs$

130. $Det antisymétrique réelle \geq 0$

131. $Matrice circulante de (a, b, c)$

132. $Comatrice itérée com^{2} (A)$

133. $Matrices entières et comatrice$

134. $Rang de com (A) vs rg (A)$

135. $Matrice M (a, b) et déterminant$

136. $Base et det d'un endomorphisme$

137. $G L_{n} (Z) et det \pm 1 bis$

138. $Matrices semblables sur C$

139. $Endomorphisme f^{3} + f = 0, det$

140. $Matrice A_{p} et déterminant$

141. $X — Déterminant binomial$

142. $X — det (A + H) det (A - H) \leq (det A)^{2}$

109.

110.Déterminant à termes ∣i−j∣

111.Déterminant antisymétrique type 2

112.Déterminant Dn​ par récurrence

113.Déterminant (1+x2,x) (bis)

114.Centrale PSI

115.Racines de Xn−X+1 et det

116.Déterminants de Cauchy

117.Déterminants de Vandermonde

118.Matrice An​ : coeff. symétriques

119.Det de P↦P+P′

120.Projecteur et symétrie

121.Projecteurs et symétries

122.Application mA​ et déterminant

123.Applications uσ​ et det

124.CCP 2010

125.Endomorphisme et déterminant (EVF)

126.Endomorphisme en base (e1​,e2​,e3​)

127.Produit tensoriel A⊗B et det

128.Déterminant du complément de Schur

129.Déterminants par blocs

130.Det antisymétrique réelle ≥0

131.Matrice circulante de (a,b,c)

132.Comatrice itérée com2(A)

133.Matrices entières et comatrice

134.Rang de com(A) vs rg(A)

135.Matrice M(a,b) et déterminant

136.Base et det d'un endomorphisme

137.GLn​(Z) et det ±1 bis

138.Matrices semblables sur C

139.Endomorphisme f3+f=0, det

140.Matrice Ap​ et déterminant

141.X — Déterminant binomial

142.X — det(A+H)det(A−H)≤(detA)2

110. $Déterminant à termes ∣ i - j ∣$

111. $Déterminant antisymétrique type 2$

112. $Déterminant D_{n} par récurrence$

113. $Déterminant (1 + x^{2}, x) (bis)$

114. $Centrale PSI$

115. $Racines de X^{n} - X + 1 et det$

116. $Déterminants de Cauchy$

117. $Déterminants de Vandermonde$

118. $Matrice A_{n} : coeff. symétriques$

119. $Det de P \mapsto P + P^{'}$

120. $Projecteur et symétrie$

121. $Projecteurs et symétries$

122. $Application m_{A} et déterminant$

123. $Applications u_{σ} et det$

124. $CCP 2010$

125. $Endomorphisme et déterminant (EVF)$

126. $Endomorphisme en base (e_{1}, e_{2}, e_{3})$

127. $Produit tensoriel A \otimes B et det$

128. $Déterminant du complément de Schur$

129. $Déterminants par blocs$

130. $Det antisymétrique réelle \geq 0$

131. $Matrice circulante de (a, b, c)$

132. $Comatrice itérée com^{2} (A)$

133. $Matrices entières et comatrice$

134. $Rang de com (A) vs rg (A)$

135. $Matrice M (a, b) et déterminant$

136. $Base et det d'un endomorphisme$

137. $G L_{n} (Z) et det \pm 1 bis$

138. $Matrices semblables sur C$

139. $Endomorphisme f^{3} + f = 0, det$

140. $Matrice A_{p} et déterminant$

141. $X — Déterminant binomial$

142. $X — det (A + H) det (A - H) \leq (det A)^{2}$