Exercices de Déterminants en maths Sup (prépa) (page 3)

74. $Déterminant de A^{2} + B^{2} et blocs$

Soient

A, B \in M_{n} (R)

Q1-Montrer que

det (A - B B A) \geq 0

Q2-Soient

A, B \in M_{n} (R)

telles que

A B = B A

. Montrer que

det (A^{2} + B^{2}) \geq 0

Q3-Trouver un contre-exemple à (b) si

A

B

ne commutent pas.

Q4-Soient

A, B, C, D \in M_{n} (R)

telles que

A C = C A

. Montrer que

det (A C B D) = det (A D - C B)

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75. $Det par blocs I_{n} et B$

Soient

B \in M_{n} (R)

A = (I_{n} B B I_{n}) \in M_{2 n} (R) .

Q1-À quelle condition la matrice

A

est-elle inversible ?

Q2-Donner son inverse quand cela est possible.

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76. $Complément de Schur (blocs)$

On considère une matrice

M \in M_{n} (K)

inversible écrite sous la forme

M = (A C B D)

avec

A \in M_{p} (K)

D \in M_{n - p} (K)

.
On écrit la comatrice de

M

sous une forme analogue

Com M = (A^{'} C^{'} B^{'} D^{'})

avec

A^{'} \in M_{p} (K)

D^{'} \in M_{n - p} (K)

.
Vérifier

det A^{'} = det (M)^{p - 1} det D

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77. $Det par blocs A, B, C, D$

Soient

A, B, C, D \in M_{n} (R)

Q1-On suppose

C^{t} D

symétrique et

D

inversible. Montrer que

det (A C B D) = det (A^{t} D - B^{t} C)

Q2-On suppose toujours

C^{t} D

symétrique mais on ne suppose plus

D

inversible. Montrer que l'égalité précédente reste vraie.

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78. $Det par blocs commutant$

Soient

A, B, C, D

des matrices carrées d'ordre

n

, réelles et commutant deux à deux. Montrer que la matrice

M = (A C B D)

est inversible si, et seulement si,

A D - B C

l'est.

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79. $Déterminant bidiagonal type 2$

ccp

Soit

(a, b) \in R^{2}

; calculer

D_{n} = a + b a (0) b ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a (0) b a + b_{[n]} .

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80. $Rang de la comatrice (bis)$

ccp

Soit

A \in M_{n} (K)

. On note

Com A

la comatrice de

A

, et

B =^{t} (Com A)

la transposée de la comatrice.

Q1-Donner le rang de

B =^{t} (Com A)

en fonction de celui de

A \in M_{n} (K)

Q2-On se place dans le cas où

rg A = n - 1

. Soit

C \in M_{n} (K)

telle que

A C = C A = O_{n}

. Montrer qu'il existe

λ \in K

tel que

C = λ B

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81. $Déterminant tridiagonal (bis)$

ccp

Soient

a \neq = b

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

. On pose

Δ_{n} (x) = λ_{1} + x b + x ⋮ b + x a + x λ_{2} + x \dots \dots ⋱ b + x a + x ⋮ a + x λ_{n} + x_{[n]} .

Q1-Montrer que

Δ_{n} (x)

est une fonction affine de

x

Q2-Calculer

Δ_{n} (x)

et en déduire

Δ_{n} (0)

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82. $Vandermonde modifié (bis)$

ccp

Soient

a, b, c

trois scalaires. On calcule des déterminants d'ordre 3 faisant apparaître les puissances de

a

b

c

, en s'appuyant sur le déterminant de Vandermonde.

Q1-Calculer

a a^{2} a^{3} b b^{2} b^{3} c c^{2} c^{3}

Q2-En déduire

a + b a^{2} + b^{2} a^{3} + b^{3} b + c b^{2} + c^{2} b^{3} + c^{3} c + a c^{2} + a^{2} c^{3} + a^{3}

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83. $Déterminant circulant (bis)$

ccp

Montrer

D_{n} = 12 ⋮ n - 1 n n 1 n - 1 n - 1 ⋱ \dots \dots 12 23 ⋮ n 1 = (- 1)^{n + 1} \frac{( n + 1 ) n ^{n - 1}}{2} .

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84. $Det de A^{2} + B^{2} et blocs$

centrale

Soient

n \in N^{*}

. On étudie la positivité de déterminants de matrices par blocs à coefficients réels, en exploitant les propriétés multiplicatives et la commutativité.

Q1-Soient

A, B \in M_{n} (R)

. Montrer que

det (A - B B A) \geq 0

Q2-Soient

A, B \in M_{n} (R)

telles que

A B = B A

. Montrer que

det (A^{2} + B^{2}) \geq 0

Q3-Trouver un contre-exemple à (b) si

A

B

ne commutent pas.

Q4-Soient

A, B, C, D \in M_{n} (R)

telles que

A C = C A

. Montrer que

det (A C B D) = det (A D - C B)

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85. $Vandermonde lacunaire D_{k} bis$

centrale

Calculer le déterminant

D_{k}

obtenu à partir du déterminant de Vandermonde en supprimant la

k

-ième colonne (celle des puissances

k

-ièmes).

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86. $Interpolation de Lagrange (bis)$

centrale

Soient

λ_{1}, \dots, λ_{n} \in C

distincts et

P (X) = i = 1 \prod n (X - λ_{i})

. Calculer :

Δ (X) = \frac{P ( X )}{X - λ _{1}} 1 ⋮ λ_{1}^{n - 2} \frac{P ( X )}{X - λ _{2}} 1 ⋮ λ_{2}^{n - 2} \dots \dots \dots \frac{P ( X )}{X - λ _{n}} 1 ⋮ λ_{n}^{n - 2} .

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87. $Det par blocs I_{n} et B (bis)$

centrale

Soient

B \in M_{n} (R)

A = (I_{n} B B I_{n}) \in M_{2 n} (R)

Q1-À quelle condition la matrice

A

est-elle inversible ?

Q2-Donner son inverse quand cela est possible.

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88. $Déterminant creux 1/ a_{i} (bis)$

mines

Soient

n \geq 2

a_{1}, \dots, a_{n}

des réels tous non nuls. Calculer le déterminant de

M = (\frac{a _{i}}{a _{j}} + \frac{a _{j}}{a _{i}})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (R) .

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89. $Det à diagonale a_{i} + x (bis)$

mines

Calculer le déterminant

a_{1} + x x ⋮ x x a_{2} + x x \dots \dots ⋱ \dots x x ⋮ a_{n} + x

où

x, a_{1}, \dots, a_{n}

sont réels.

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90. $Décomposition d'une transposition$

1. Soit

(i, j)

une transposition avec

(i < j)

. Montrer que

(i, j) = (i, i + 1, \dots, j - 1, j) \circ (j - 1, j - 2, \dots, i + 1, i)

.
2. Montrer que toute permutation appartenant à

S_{n}

peut s'écrire comme le produit de transpositions de la forme

(k, k + 1)

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91. $Produit de transpositions (1, i)$

Montrer que toute permutation de

S_{n}

peut s'écrire comme un produit de transpositions de la forme

(1, i)

avec

i \in [[2, n]]

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92. $Signature de la permutation miroir$

Déterminer la signature de

σ = (1 n 2 n - 1 \dots \dots n - 1 2 n 1)

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93. $Centre du groupe symétrique S_{n}$

Déterminer le centre de

S_{n}

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94. $Mines MP 2011$

On note

S_{n}

le groupe des permutations de

[[1, n]]

et on pose

f (σ) = k = 1 \sum n k σ (k)

pour

σ \in S_{n}

. Déterminer le minimum et le maximum de

f

sur

S_{n}

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95. $Matrice de permutation et det$

Soit

n \in N^{*}

. Pour

σ \in S_{n}

, on note

P_{σ}

la matrice

(δ_{i, σ (j)})_{1 \leq i, j \leq n}

Q1-Montrer que l'application

P : σ \in S_{n} \mapsto P_{σ}

est un morphisme de groupes de

S_{n}

dans

G L_{n} (K)

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96. $Déterminants classiques (série)$

Soient

a

x

dans

K

. Calculer les déterminants suivants,

Q1-

Δ_{1} = a 11 1 a 1 11 a

Q2-

Δ_{2} = x a a a x a a a x

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97. $Det avec racine cubique ω$

Soit

ω

une racine cubique de l'unité. Prouver avec un minimum de calcul que

1 ω^{2} ω ω 1 ω^{2} ω^{2} ω 1 = 0

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98. $Tir groupé$

Soient

a, b, c \in K

. Calculer les déterminants suivants, (on factorisera les expressions obtenues !)

Q1-

0 a b a 0 c b c 0

Q2-

1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2}

Q3-

1 a b + c 1 b a + c 1 c a + b

Q4-

a c b b a c c b a

Q5-

a + b a^{2} + b^{2} a^{3} + b^{3} b + c b^{2} + c^{2} b^{3} + c^{3} c + a c^{2} + a^{2} c^{3} + a^{3}

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99. $Déterminants spéciaux (série)$

Calculer les déterminants suivants :

Q1-

1111 a a^{'} a a^{'} b b b^{'} b^{'} ab a^{'} b a b^{'} a^{'} b^{'}

Q2-

11111333136613610

Q3-

0123101221013210

Q4-

2111121111211112

Voir le corrigé

D = 1111 a a^{'} a a^{'} b b b^{'} b^{'} ab a^{'} b a b^{'} a^{'} b^{'}

L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}

L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}

L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{1}

D = 1000 a a^{'} - a 0 a^{'} - a b 0 b^{'} - b b^{'} - b ab (a^{'} - a) b a (b^{'} - b) a^{'} b^{'} - ab

En factorisant

(a^{'} - a)

L_{2}

(b^{'} - b)

L_{3}

D = (a^{'} - a) (b^{'} - b) 1000 a 10 a^{'} - a b 01 b^{'} - b ab b a a^{'} b^{'} - ab

L_{4} \leftarrow L_{4} - (a^{'} - a) L_{2} - (b^{'} - b) L_{3}

:
Le coefficient (4,4) devient :

a^{'} b^{'} - ab - (a^{'} - a) b - (b^{'} - b) a = a^{'} b^{'} - ab - a^{'} b + ab - a b^{'} + ab = a^{'} b^{'} - a^{'} b - a b^{'} + ab = (a^{'} - a) (b^{'} - b)

. Les coefficients (4,2) et (4,3) deviennent 0.

D = (a^{'} - a) (b^{'} - b) 1000 a 100 b 010 ab b a (a^{'} - a) (b^{'} - b)

Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux, donc :

D = (a^{'} - a) (b^{'} - b) \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (a^{'} - a) (b^{'} - b) = (a^{'} - a)^{2} (b^{'} - b)^{2}

(a^{'} - a)^{2} (b^{'} - b)^{2}

11111333136613610

L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}

L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}

L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{1}

= 1000122212551259

Développement par rapport à la première colonne, puis

L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}

L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}

= 222255259 = 200233237 = 23337 = 2 (21 - 9) = 24

24

0123101221013210

.

Utilisons le pivot de Gauss sur la matrice

0123101221013210

L_{1} \leftrightarrow L_{2}

(le déterminant change de signe) :

= - 1023011212012310

L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}

L_{4} \leftarrow L_{4} - 3 L_{1}

= - 10000112 12 - 2 - 2 23 - 3 - 6

L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}

L_{4} \leftarrow L_{4} - 2 L_{2}

= - 10000100 12 - 4 - 6 23 - 6 - 12

L_{4} \leftarrow L_{4} - \frac{3}{2} L_{3}

: coefficient (4,3) :

- 6 - \frac{3}{2} (- 4) = - 6 + 6 = 0

. Coefficient (4,4) :

- 12 - \frac{3}{2} (- 6) = - 12 + 9 = - 3

= - 10000100 12 - 4 0 23 - 6 - 3 = - (1 \cdot 1 \cdot (- 4) \cdot (- 3)) = - 12

- 12

2111121111211112

.

C'est

I_{4} + J_{4}

où

J_{4}

est la matrice dont tous les coefficients valent 1. On a

C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}

= 5555121111211112 = 51111121111211112

L_{k} \leftarrow L_{k} - L_{1}

pour

k = 2, 3, 4

= 51000110010101001 = 5

5

100. $D’après Centrale MP$

Calculer, pour tous

x

réel et

n

dans

N^{*}

, le déterminant de

x 1 ⋮ 1 1 x ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 1 1 ⋮ 1 x

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101. $D’après Centrale PC$

Soient

n \in N^{*}

a_{1}, \dots, a_{n}

des réels. Calculer le déterminant de

(sin (a_{i} + a_{j}))_{1 \leq i, j \leq n}

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102. $D’après TPE PSI$

Soient

x \in R

n ⩾ 2

. Calculer pour

k < n - 1

(x + 1)^{k} 2^{k} 3^{k} ⋮ n^{k} (x + 2)^{k} 3^{k} 4^{k} ⋮ (n + 1)^{k} \dots \dots \dots \dots (x + n)^{k} (n + 1)^{k} (n + 2)^{k} ⋮ (2 n - 1)^{k}

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103. $Déterminant d'une matrice A_{n}$

Calculez le déterminant de la matrice

n \times n

A_{n} = 1 ⋱ 1

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104. $Déterminant en termes de S_{n}$

Pour tout entier

n \in N

, on pose

S_{n} = k = 0 \sum n k

. Calculer, pour tout

n ⩾ 1

, le déterminant

Δ_{n} = S_{1} S_{1} ⋮ S_{1} S_{1} S_{2} ⋮ S_{2} \dots \dots ⋱ \dots S_{1} S_{2} ⋮ S_{n}

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105. $Det avec a, b, c complexes$

Soient

a, b

c

, trois nombres complexes. On considère la matrice carrée de taille

n

A = c a ⋮ a b c ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ a b ⋮ b c

et on note

J

, la matrice carrée de taille

n

dont tous les coefficients sont égaux à 1.

Q1-On suppose que

a \neq = b

.
a. Par des opérations sur les colonnes, démontrer que

x \mapsto det (A + x J)

est une fonction affine.
b. En donnant à

x

deux valeurs convenables, calculer

det (A + x J)

pour tout

x \in C

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106. $Déterminant D_{n} (x) à diag. x$

Calculer le déterminant

D_{n} (x) = x a ⋮ a a x ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ a a ⋮ a x

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107. $Posé à Centrale en 2006$

Soit

n \in N^{*}

. Calculer

D_{n} = n 1 ⋮ n - 1 n - 1 n ⋮ 1 \dots \dots \dots 12 ⋮ n

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108. $Déterminant de (j n + i)$

Caculer le déterminant de la matrice

((j n + i))_{0 \leq i, j \leq p}

avec

0 \leq p \leq n

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Exercices de Déterminants, Sup (prépa) (page 3)

73.

74. $Déterminant de A^{2} + B^{2} et blocs$

75. $Det par blocs I_{n} et B$

76. $Complément de Schur (blocs)$

77. $Det par blocs A, B, C, D$

78. $Det par blocs commutant$

79. $Déterminant bidiagonal type 2$

80. $Rang de la comatrice (bis)$

81. $Déterminant tridiagonal (bis)$

82. $Vandermonde modifié (bis)$

83. $Déterminant circulant (bis)$

84. $Det de A^{2} + B^{2} et blocs$

85. $Vandermonde lacunaire D_{k} bis$

86. $Interpolation de Lagrange (bis)$

87. $Det par blocs I_{n} et B (bis)$

88. $Déterminant creux 1/ a_{i} (bis)$

89. $Det à diagonale a_{i} + x (bis)$

90. $Décomposition d'une transposition$

91. $Produit de transpositions (1, i)$

92. $Signature de la permutation miroir$

93. $Centre du groupe symétrique S_{n}$

94. $Mines MP 2011$

95. $Matrice de permutation et det$

96. $Déterminants classiques (série)$

97. $Det avec racine cubique ω$

98. $Tir groupé$

99. $Déterminants spéciaux (série)$

100. $D’après Centrale MP$

101. $D’après Centrale PC$

102. $D’après TPE PSI$

103. $Déterminant d'une matrice A_{n}$

104. $Déterminant en termes de S_{n}$

105. $Det avec a, b, c complexes$

106. $Déterminant D_{n} (x) à diag. x$

107. $Posé à Centrale en 2006$

108. $Déterminant de (j n + i)$

73.

74.Déterminant de A2+B2 et blocs

75.Det par blocs In​ et B

76.Complément de Schur (blocs)

77.Det par blocs A,B,C,D

78.Det par blocs commutant

79.Déterminant bidiagonal type 2

80.Rang de la comatrice (bis)

81.Déterminant tridiagonal (bis)

82.Vandermonde modifié (bis)

83.Déterminant circulant (bis)

84.Det de A2+B2 et blocs

85.Vandermonde lacunaire Dk​ bis

86.Interpolation de Lagrange (bis)

87.Det par blocs In​ et B (bis)

88.Déterminant creux 1/ai​ (bis)

89.Det à diagonale ai​+x (bis)

90.Décomposition d'une transposition

91.Produit de transpositions (1,i)

92.Signature de la permutation miroir

93.Centre du groupe symétrique Sn​

94.Mines MP 2011

95.Matrice de permutation et det

96.Déterminants classiques (série)

97.Det avec racine cubique ω

98.Tir groupé

99.Déterminants spéciaux (série)

100.D’après Centrale MP

101.D’après Centrale PC

102.D’après TPE PSI

103.Déterminant d'une matrice An​

104.Déterminant en termes de Sn​

105.Det avec a,b,c complexes

106.Déterminant Dn​(x) à diag. x

107.Posé à Centrale en 2006

108.Déterminant de (jn+i​)

74. $Déterminant de A^{2} + B^{2} et blocs$

75. $Det par blocs I_{n} et B$

76. $Complément de Schur (blocs)$

77. $Det par blocs A, B, C, D$

78. $Det par blocs commutant$

79. $Déterminant bidiagonal type 2$

80. $Rang de la comatrice (bis)$

81. $Déterminant tridiagonal (bis)$

82. $Vandermonde modifié (bis)$

83. $Déterminant circulant (bis)$

84. $Det de A^{2} + B^{2} et blocs$

85. $Vandermonde lacunaire D_{k} bis$

86. $Interpolation de Lagrange (bis)$

87. $Det par blocs I_{n} et B (bis)$

88. $Déterminant creux 1/ a_{i} (bis)$

89. $Det à diagonale a_{i} + x (bis)$

90. $Décomposition d'une transposition$

91. $Produit de transpositions (1, i)$

92. $Signature de la permutation miroir$

93. $Centre du groupe symétrique S_{n}$

94. $Mines MP 2011$

95. $Matrice de permutation et det$

96. $Déterminants classiques (série)$

97. $Det avec racine cubique ω$

98. $Tir groupé$

99. $Déterminants spéciaux (série)$

100. $D’après Centrale MP$

101. $D’après Centrale PC$

102. $D’après TPE PSI$

103. $Déterminant d'une matrice A_{n}$

104. $Déterminant en termes de S_{n}$

105. $Det avec a, b, c complexes$

106. $Déterminant D_{n} (x) à diag. x$

107. $Posé à Centrale en 2006$

108. $Déterminant de (j n + i)$