Exercices de Déterminants en maths Sup (prépa) (page 2)

38. $Déterminant lié à P_{n} = X^{n} - X + 1$

On pose

P_{n} (X) = X^{n} - X + 1

(avec

n \geq 2

Q1-Montrer que

P_{n}

admet

n

racines distinctes

z_{1}, \dots, z_{n}

dans

C

Q2-

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39. $Déterminant de Hurwitz$

(Déterminant de Hurwitz) Soient

a, λ_{1}, \dots, λ_{n} \in C

. Calculer le déterminant de la matrice suivante

H = a + λ_{1} a ⋮ a a ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ a a ⋮ a a + λ_{n} .

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40. $Déterminant de Cauchy généralisé$

Soient

a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} \in C

. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient

α_{i, j} = {a_{i} + b_{i} b_{j} si i = j sinon.

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41. $Déterminant lié aux cosinus$

Soient un naturel

n \geq 2

(x_{1}, \dots, x_{n})

une famille de

n

réels distincts de

[0, π]

. On pose

P_{n} = 1 \leq i < j \leq n \prod (cos x_{j} - cos x_{i})

et on considère la matrice

M_{n} \in M_{n} (R)

de coefficient général

m_{i, j} = cos ((j - 1) x_{i})

Q1-Montrer que

m_{i, j}

est un polynôme en

cos x_{i}

et donner son coefficient dominant.

Q2-Calculer

det M_{n}

en fonction de

P_{n}

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42. $Produit de cosinus et déterminant$

Pour une famille de

n

réels distincts

(x_{k})

[0, π]

, on pose

P_{n} = 1 \leq i < j \leq n \prod (cos x_{i} - cos x_{j}) .

Q1-Combien le produit définissant

P_{n}

comporte-t-il de facteurs ?

Q2-Pour

(i, j) \in [[1, 4]]^{2}

écrire la matrice

M \in M_{4} (R)

de coefficient général

m_{i, j} = cos ((j - 1) x_{i})

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43. $Déterminant antisymétrique type 1$

Calculer en établissant une relation de récurrence

D_{n} = 0 - 1 ⋮ - 1 1 ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ - 1 1 ⋮ 10 .

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44. $Déterminant à diagonale (i + 1), 1 hors-diag.$

Calculer en établissant une relation de récurrence

D_{n} = 21 ⋮ 1 13 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 1 1 ⋮ 1 n + 1 .

On exprimera le résultat à l'aide des termes de la suite

(H_{n})

avec

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

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45. $Déterminant binomial (bis)$

Calculer

D_{n + 1} = (0 0) (1 0) ⋮ (n 0) (1 1) (2 1) ⋮ (n + 1 1) \dots \dots \dots (n n) (n + 1 n) ⋮ (2 n n)

en notant

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

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46. $Déterminant a diag., b hors diag.$

Calculer le déterminant de

A_{n} = a c ⋮ c b ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ c b ⋮ b a \in M_{n} (C) .

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47. $Déterminant bidiagonal type 1$

Soit

(a, b) \in R^{2}

; calculer

D_{n} = a + b a (0) b ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a (0) b a + b .

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48. $Déterminant (1 + x^{2}, x) (récurr.)$

Soient

x \in C

n \in N^{*}

. Calculer

D_{n} = 1 + x^{2} x (0) x ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ x (0) x 1 + x^{2} .

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49. $Déterminant de Chebyshev$

Soient

θ \in R

n \in N^{*}

. Calculer

D_{n} = 2 cos (θ) 1 (0) 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 1 (0) 1 2 cos (θ) .

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50. $Déterminant D_{n} à termes n - k$

Calculer

D_{n} = 0 n (0) 10 n - 1 2 ⋱ ⋱ (0) ⋱ ⋱ 1 n 0

(matrice d'ordre

n + 1

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51. $Déterminant bidiagonal (2 a, a)$

Pour

a \in K^{*}

, calculer

D_{n} = 2 a a (0) a ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a (0) a 2 a .

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52. $Identité de Lagrange$

(Identité de Lagrange) Calculer de deux façons :

a b - b a c d - d c .

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53. $Déterminant dans une base de E$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension

3

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

une base de

E

. Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans

B

est

A = 3 - 2 2 - 2 6 - 2 - 3 6 - 2 .

Q1-Pour quelles valeurs de

λ

, a-t-on

det (A - λ I_{3}) = 0

Q2-Déterminer une base

C = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

E

telle que

Mat_{C} f = 100020004

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54. $A inversible : det de A + tB$

Soient

n \in N^{*}

A \in GL_{n} (R)

B \in M_{n} (R)

.
Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que :

\forall x \in [- ε, ε], A + x B \in GL_{n} (R) .

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55. $Déterminant d'une matrice circulante (1, α)$

Soient

α \in C

M = 10 ⋮ 0 α α ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ 0 α 1 \in M_{n} (C) .

Q1-Calculer

det M

Q2-Déterminer, en fonction de

α

, le rang de

M

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56. $G L_{n} (Z) : det \pm 1$

On note

GL_{n} (Z)

l'ensemble formé des matrices inversibles d'ordre

n

à coefficients entiers dont l'inverse est encore à coefficients entiers.
Soient

a_{1}, \dots, a_{n}

des entiers (

n \geq 2

). Montrer qu'il existe une matrice de

GL_{n} (Z)

dont la première ligne est formée des entiers

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

si, et seulement si, ces entiers sont premiers dans leur ensemble.

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57. $Inverse de la matrice de Hilbert$

Établir que l'inverse de la matrice

H = (\frac{1}{i + j - 1})_{1 \leq i, j \leq n}

est à coefficients entiers.

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58. $Formule de Sherman-Morrison$

Soit

A \in M_{n} (R)

une matrice inversible et

X, Y

deux colonnes de

M_{n, 1} (R)

.
Établir

A + Y^{t} X \in GL_{n} (R) ⟺ 1 +^{t} X A^{- 1} Y \neq = 0.

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59. $Wronskien et indépendance$

Soient

I

un intervalle non vide de

R

(f_{1}, \dots, f_{n})

une famille de fonctions de

I

vers

R

.
Montrer que la famille

(f_{1}, \dots, f_{n})

est libre si, et seulement si, il existe

x_{1}, \dots, x_{n}

dans

I

tels que le déterminant de la matrice

(f_{i} (x_{j}))_{1 \leq i, j \leq n}

soit non nul.

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60. $Parties de [[1, n]]$

Soient

A_{1}, \dots, A_{n}

des parties de

[[1, n]]

distinctes deux à deux. On suppose que les parties

A_{i}

s'intersectent en des singletons deux à deux et on forme la matrice

M = (m_{i, j}) \in M_{n} (R)

déterminée par

m_{i, j} = {10 si i \in A_{j} sinon.

Montrer que la matrice

^{t} M M

est inversible et en déduire que la réunion des

A_{i}

est égale à

[[1, n]]

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61. $Systèmes linéaires par déterminants$

Soient

a, b, c

d

des éléments de

K

. Résoudre sur

K

les systèmes suivants :

Q1-

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 a x + b y + cz = d a^{2} x + b^{2} y + c^{2} z = d^{2}

avec

a, b, c

deux à deux distincts.

Q2-

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 a x + b y + cz = d a^{3} x + b^{3} y + c^{3} z = d^{3}

avec

a, b, c

deux à deux distincts et

a + b + c \neq = 0

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62. $Système avec racine de l'unité j$

Résoudre

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = a x + j y + j^{2} z = b x + j^{2} y + j z = c

en fonction de

a, b, c \in C

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63. $Système avec paramètre a \in C$

Résoudre en fonction de

a \in C

le système

⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a^{2} z = 0 a x + y + a z = 0 a^{2} x + a y + z = 0.

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64. $Système avec a, b, c distincts$

Soient

a, b, c \in C

distincts.

Q1-Résoudre

⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a^{2} z = a^{3} x + b y + b^{2} z = b^{3} x + cy + c^{2} z = c^{3}

en introduisant :

P = X^{3} - (x + y X + z X^{2})

Q2-Même question pour

⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a^{2} z = a^{4} x + b y + b^{2} z = b^{4} x + cy + c^{2} z = c^{4} .

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65. $Rang de la comatrice$

Soient

n

un entier supérieur à

2

A \in M_{n} (K)

Q1-Établir

⎩ ⎨ ⎧ rg (A) = n ⟹ rg (Com (A)) = n rg (A) = n - 1 ⟹ rg (Com (A)) = 1 rg (A) \leq n - 2 ⟹ rg (Com (A)) = 0.

Q2-Montrer

det (Com (A)) = (det (A))^{n - 1}

Q3-En déduire

Com (Com (A))

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66. $Det de matrices commutantes$

Soient

A, B \in M_{n} (C)

.
On suppose que les matrices

A

B

commutent. Montrer que les comatrices de

A

B

commutent.

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67. $Rang de la transposée comatrice$

Soit

A \in M_{n} (K)

. On note

Com A

la comatrice (matrice des cofacteurs transposée) de

A

, et

B =^{t} (Com A)

Q1-Donner le rang de

B =^{t} (Com A)

en fonction de celui de

A \in M_{n} (K)

Q2-On se place dans le cas où

rg A = n - 1

. Soit

C \in M_{n} (K)

telle que

A C = C A = O_{n}

. Montrer qu'il existe

λ \in K

tel que

C = λ B

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68. $Matrices entières et pgcd des det$

Soient des matrices

A, B \in M_{n} (Z)

telles que

det A

det B

sont premiers entre eux.
Montrer l'existence de

U, V \in M_{n} (Z)

telles que

U A + V B = I_{n}

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69. $Comatrice d'une matrice symétrique$

Soit

S \in S_{n} (R)

. Montrer que la comatrice de

S

est symétrique.

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70. $Vandermonde lacunaire D_{k}$

Calculer

D_{k} = 11 ⋮ 1 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots a_{1}^{k - 1} a_{2}^{k - 1} ⋮ a_{n}^{k - 1} a_{1}^{k + 1} a_{2}^{k + 1} ⋮ a_{n}^{k + 1} \dots \dots \dots a_{1}^{n} a_{2}^{n} ⋮ a_{n}^{n} .

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71. $Interpolation de Lagrange et det$

Soit

λ_{1}, \dots, λ_{n} \in C

distincts et

P (X) = i = 1 \prod n (X - λ_{i})

. Calculer :

Δ (X) = \frac{P ( X )}{X - λ _{1}} 1 ⋮ λ_{1}^{n - 2} \frac{P ( X )}{X - λ _{2}} 1 ⋮ λ_{2}^{n - 2} \dots \dots \dots \frac{P ( X )}{X - λ _{n}} 1 ⋮ λ_{n}^{n - 2} .

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72. $Det par blocs C, D commutant$

Soient

A, B, C, D \in M_{n} (K)

telles que

C

D

commutent.

Q1-On suppose que

D

est inversible, établir

det (A C B D) = det (A D - B C)

Q2-Généraliser la formule au cas où

D

n'est plus supposée inversible.

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Exercices de Déterminants, Sup (prépa) (page 2)

37.

38. $Déterminant lié à P_{n} = X^{n} - X + 1$

39. $Déterminant de Hurwitz$

40. $Déterminant de Cauchy généralisé$

41. $Déterminant lié aux cosinus$

42. $Produit de cosinus et déterminant$

43. $Déterminant antisymétrique type 1$

44. $Déterminant à diagonale (i + 1), 1 hors-diag.$

45. $Déterminant binomial (bis)$

46. $Déterminant a diag., b hors diag.$

47. $Déterminant bidiagonal type 1$

48. $Déterminant (1 + x^{2}, x) (récurr.)$

49. $Déterminant de Chebyshev$

50. $Déterminant D_{n} à termes n - k$

51. $Déterminant bidiagonal (2 a, a)$

52. $Identité de Lagrange$

53. $Déterminant dans une base de E$

54. $A inversible : det de A + tB$

55. $Déterminant d'une matrice circulante (1, α)$

56. $G L_{n} (Z) : det \pm 1$

57. $Inverse de la matrice de Hilbert$

58. $Formule de Sherman-Morrison$

59. $Wronskien et indépendance$

60. $Parties de [[1, n]]$

61. $Systèmes linéaires par déterminants$

62. $Système avec racine de l'unité j$

63. $Système avec paramètre a \in C$

64. $Système avec a, b, c distincts$

65. $Rang de la comatrice$

66. $Det de matrices commutantes$

67. $Rang de la transposée comatrice$

68. $Matrices entières et pgcd des det$

69. $Comatrice d'une matrice symétrique$

70. $Vandermonde lacunaire D_{k}$

71. $Interpolation de Lagrange et det$

72. $Det par blocs C, D commutant$

37.

38.Déterminant lié à Pn​=Xn−X+1

39.Déterminant de Hurwitz

40.Déterminant de Cauchy généralisé

41.Déterminant lié aux cosinus

42.Produit de cosinus et déterminant

43.Déterminant antisymétrique type 1

44.Déterminant à diagonale (i+1), 1 hors-diag.

45.Déterminant binomial (bis)

46.Déterminant a diag., b hors diag.

47.Déterminant bidiagonal type 1

48.Déterminant (1+x2,x) (récurr.)

49.Déterminant de Chebyshev

50.Déterminant Dn​ à termes n−k

51.Déterminant bidiagonal (2a,a)

52.Identité de Lagrange

53.Déterminant dans une base de E

54.A inversible : det de A+tB

55.Déterminant d'une matrice circulante (1,α)

56.GLn​(Z) : det ±1

57.Inverse de la matrice de Hilbert

58.Formule de Sherman-Morrison

59.Wronskien et indépendance

60.Parties de [[1,n]]

61.Systèmes linéaires par déterminants

62.Système avec racine de l'unité j

63.Système avec paramètre a∈C

64.Système avec a,b,c distincts

65.Rang de la comatrice

66.Det de matrices commutantes

67.Rang de la transposée comatrice

68.Matrices entières et pgcd des det

69.Comatrice d'une matrice symétrique

70.Vandermonde lacunaire Dk​

71.Interpolation de Lagrange et det

72.Det par blocs C,D commutant

38. $Déterminant lié à P_{n} = X^{n} - X + 1$

39. $Déterminant de Hurwitz$

40. $Déterminant de Cauchy généralisé$

41. $Déterminant lié aux cosinus$

42. $Produit de cosinus et déterminant$

43. $Déterminant antisymétrique type 1$

44. $Déterminant à diagonale (i + 1), 1 hors-diag.$

45. $Déterminant binomial (bis)$

46. $Déterminant a diag., b hors diag.$

47. $Déterminant bidiagonal type 1$

48. $Déterminant (1 + x^{2}, x) (récurr.)$

49. $Déterminant de Chebyshev$

50. $Déterminant D_{n} à termes n - k$

51. $Déterminant bidiagonal (2 a, a)$

52. $Identité de Lagrange$

53. $Déterminant dans une base de E$

54. $A inversible : det de A + tB$

55. $Déterminant d'une matrice circulante (1, α)$

56. $G L_{n} (Z) : det \pm 1$

57. $Inverse de la matrice de Hilbert$

58. $Formule de Sherman-Morrison$

59. $Wronskien et indépendance$

60. $Parties de [[1, n]]$

61. $Systèmes linéaires par déterminants$

62. $Système avec racine de l'unité j$

63. $Système avec paramètre a \in C$

64. $Système avec a, b, c distincts$

65. $Rang de la comatrice$

66. $Det de matrices commutantes$

67. $Rang de la transposée comatrice$

68. $Matrices entières et pgcd des det$

69. $Comatrice d'une matrice symétrique$

70. $Vandermonde lacunaire D_{k}$

71. $Interpolation de Lagrange et det$

72. $Det par blocs C, D commutant$