Exercices de Probabilités sur un univers fini, Sup (prépa)

Soient $A$, $B$, $C$ trois évènements.

Déterminer une probabilité sur $\Omega =\{1,2,\dots ,n\}$ telle que la probabilité de l'événement $\{k\}$ soit proportionnelle à $k$.

Soient $A$, $B$ deux parties d'un ensemble $\Omega$ fini vérifiant$$A\cap B\ne \varnothing ,A\cap \overline{B}\ne \varnothing ,\overline{A}\cap B\ne \varnothing \text{et}\overline{A}\cap \overline{B}\ne \varnothing .$$À quelle condition sur $(a,b,c,d)\in ]0;1{[}^4$ existe-t-il une probabilité $P$ sur $\Omega$ vérifiant$$P(A|B)=a,P(A|\overline{B})=b,P(B|A)=c\text{et}P(B|\overline{A})=d?$$

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé.
Montrer$$\max \left(0,P(A)+P(B)-1\right)\le P(A\cap B)\le \min \left(P(A),P(B)\right).$$

On dispose $r$ boules à l'intérieur de $n$ urnes (avec $r\le n$), chaque urne pouvant contenir plusieurs boules.
Les répartitions possibles sont équiprobables.

On s'intéresse au nombre de lancers nécessaires pour obtenir un résultat avec une certaine probabilité, que ce soit pour un seul dé ou pour deux dés simultanément.

Une urne contient des boules blanches et noires en proportion $p$ et $q$ (avec $p+q=1$). On opère à des tirages successifs avec remise.

Une urne contient des boules numérotées de $1$ à $10$. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne.

Soient $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)>0$. Comparer les probabilités conditionnelles$$P(A\cap B\mid A\cup B)\text{et}P(A\cap B\mid A).$$

On considère $N$ coffres. Avec une probabilité $p$ un trésor a été placé dans l'un de ces coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert $N-1$ coffres sans trouver le trésor. Quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre ?

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé.
On suppose $0<P(B)<1$. Établir$$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B}).$$

Une urne contient $8$ boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne.

Cinq cartes d'un jeu de cinquante deux cartes sont servies à un joueur de Poker.

Soient $A$, $B$, $C$ trois évènements avec $P(B\cap C)>0$. Vérifier$$P(A|B\cap C)P(B|C)=P(A\cap B|C).$$

Une urne contient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire avec remise des boules dans cette urne jusqu'à ce qu'une boule ait été tirée deux fois. On note $T$ la variable aléatoire à valeurs dans $[[2;n+1]]$ précisant le nombre de tirages alors effectués.

Une urne contient $8$ boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire ?

Une succession d'individus $A_1,\dots ,A_n$ se transmet une information binaire du type "oui" ou "non".
Chaque individu $A_k$ transmet l'information qu'il a reçu avec la probabilité $p$ à l'individu $A_{k+1}$ ou la transforme en son inverse avec la probabilité $1-p$. Chaque individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilité $p_n$ pour que l'information reçue par $A_n$ soit identique à celle émise par $A_1$.
On suppose $0<p<1$. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers l'infini ?

On lance un dé à six faces parfaitement équilibré. Justifier l'indépendance des évènements$$A=\text{"on obtient le tirage 2, 4 ou 6"}\text{et}B=\text{"on obtient le tirage 3 ou 6"}.$$

Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants. Les évènements $A$ et $\overline{B}$ sont-ils aussi indépendants ?

Montrer qu'un évènement $A$ est indépendant de tout autre évènement si, et seulement si, $P(A)=0$ ou $1$.

Soient $A$, $B$, $C$ trois évènements tels que $A$ et $B$ d'une part, $A$ et $C$ d'autre part, soient indépendants. Les événements $A$ et $B\cup C$ sont-ils indépendants ? Même question avec $A$ et $B\cap C$.

Soient $A$, $B$, $C$ trois évènements tels que $A$ et $B\cup C$ d'une part, $A$ et $B\cap C$ d'autre part, soient indépendants. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Soient $A_1,\dots ,A_n$ des événements mutuellement indépendants. Montrer que la probabilité qu'aucun des $A_i$ ne soit réalisé est inférieure à$$\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}P(A_i)\right).$$

On donne la décomposition en facteurs irréductibles d'un entier $n\ge 2$$$n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$$et note $P$ la probabilité uniforme sur $\Omega =[[1;n]]$.

Dans une population, une personne sur $10000$ souffre d'une pathologie. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez $99\%$ des malades mais aussi faussement positif chez $0,1\%$ des personnes non atteintes. Un individu passe ce test et obtient un résultat positif.
Quelle est sa probabilité d'être malade ? Qu'en conclure ?

Une pochette contient deux dés. L'un est parfaitement équilibré, mais le second donne un "six" une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). On tire au hasard un dé de la pochette et on le lance.

Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $p\in ]0;1[$. On note$$b(k,n,p)=P(X=k).$$

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. Quelle est la loi suivie par la variable $Y=n-X$ ?

Un étudiant résout un QCM constitué de $n$ questions offrant chacune quatre réponses possibles. Pour chaque question, et indépendamment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci. Dans ce cas il produit la bonne réponse. Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l'une des quatre réponses possibles. On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu'il savait résoudre et $Y$ le nombre de questions qu'il a correctement résolues parmi celles où il a répondu « au hasard ».

Un archer tire sur $n$ cibles. À chaque tir, il a la probabilité $p$ de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. Il tire une première fois sur chaque cible et on note $X$ le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. L'archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l'on note $Y$ le nombre de cibles touchées lors de cette tentative. Déterminer la loi de la variable $Z=X+Y$.

Deux archers tirent indépendamment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher, le second la probabilité $q$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires finies sur un espace $\Omega$. On suppose$$\forall (x,y)\in X(\Omega )\times Y(\Omega ),P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y).$$Montrer que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Montrer que deux événements sont indépendants si, et seulement si, leurs fonctions indicatrices définissent des variables aléatoires indépendantes.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires $X+Y$ et $X-Y$ sont-elles indépendantes ?

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires prenant pour valeurs $a_1,\dots ,a_n$ avec$$P(X=a_i)=P(Y=a_i)=p_i.$$On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Montrer que$$P(X\ne Y)=\sum _{i=1}^n{p}_i(1-p_i).$$

Soient $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(\Omega ,P)$ et $f$ une application définie sur $X(\Omega )$.
À quelle condition les variables aléatoires $X$ et $f(X)$ sont-elles indépendantes ?

Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Établir$$E(X{)}^2\le E(X^2).$$

Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots ,N\}$.
Établir$$E(X)=\sum _{n=0}^{N-1}P(X>n).$$

Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre leurs valeurs dans $\mathbb{Z}$.
On appelle fonction caractéristique d'une variable aléatoire $X$ l'application ${\phi }_X:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ définie par$${\phi }_X(u)=E\left(e^{iuX}\right).$$