Exercices de Probabilités sur un univers fini, Sup (prépa) (page 3)

On cherche un parapluie qui se trouve avec une probabilité $\frac{p}{7}$ dans l'un des sept étages d'un immeuble ($p\in [0,1]$). On a exploré en vain les six premiers étages. Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au septième étage ?

On considère $n$ urnes numérotées de 1 à $n$. L'urne numéro $k$ contient $k$ boules blanches et $n-k$ boules noires. On choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne.

Un buveur impénitent décide d'essayer de ne plus boire. S'il ne boit pas un jour donné, la probabilité qu'il ne boive pas le lendemain est de $0,4$. S'il succombe à la tentation un jour, alors le remords fait que la probabilité qu'il ne boive pas le lendemain monte à $0,8$.

Un examen comporte quinze questions. Chaque question admet trois réponses possibles. Les étudiants répondent à chaque question indépendamment. On suppose que les étudiants ayant préparé l'examen sont en proportion 70% et répondent correctement à une question avec une probabilité de $0,8$. Les 30% d'étudiants restants choisissent les réponses au hasard. Il faut au moins 8 bonnes réponses pour réussir l'examen.

Le génotype d'un individu est un ensemble de 2 gènes parmi $a$ et $A$. Trois génotypes sont possibles : 1 ($aa$), 2 ($aA$) et 3 ($AA$). On s'intéresse à l'évolution d'une population de grande taille (génération 0) dont la proportion du génotype $i$ est notée $u_i$ pour $i\in \{1,2,3\}$.

On dispose d'un dé à 6 faces et d'une pièce de monnaie. Après avoir lancé $n$ fois le dé, on lance la pièce autant de fois qu'on a obtenu le 6 avec le dé. On note $S$ le nombre de 6 obtenus avec le dé et $F$ le nombre de faces obtenues avec la pièce.

Un chercheur étudie une maladie M et trois symptômes A, B et C. Il examine 1000 personnes choisies au hasard dans la population et relève les effectifs suivants :
- 200 personnes sont atteintes de la maladie M ;
- 300 personnes présentent le symptôme A, dont 60 parmi les malades ;
- 250 personnes présentent le symptôme B, dont 100 parmi les malades ;
- 400 personnes présentent le symptôme C, dont 80 parmi les malades.

On choisit l'une de ces 1000 personnes au hasard (équiprobabilité).

Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne. Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire ?

On considère une urne contenant 3 boules vertes et 3 boules rouges. On lance un dé et on tire simultanément dans l'urne autant de boules que le chiffre obtenu. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi de $X$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On choisit au hasard un entier $X$ entre 1 et $n$ puis on choisit au hasard un entier $Y$ entre 1 et $X$.

Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires.

Une maison est équipée d'une alarme. On sait qu'en cas d'effraction, l'alarme fonctionne 99 fois sur 100, et qu'elle se déclenche sans raison 5 fois sur 1000. On estime à $0.1$ la probabilité d'une effraction.
L'alarme se déclenche. Quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte ?

Le quart d'une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate que :
- il y a parmi les malades 1 vacciné pour 4 non-vaccinés.
- Il y a 1 malade sur 12 parmi les vaccinés.
Quelle est la probabilité, pour un non-vacciné, de tomber malade ? Le vaccin est-il efficace ?

On considère $n$ sacs $S_1,\dots ,S_n$. Le sac $S_k$ contient $k$ jetons blancs et $n+1-k$ jetons noirs. On choisit un sac aléatoirement, de sorte que le sac $S_k$ est choisi avec la probabilité $\alpha k$ pour tout $1\le k\le n$, pour un certain réel $\alpha$ fixé. On tire ensuite un jeton au hasard dans le sac choisi.

Une urne $U_1$ contient 1 boule noire et 5 boules blanches. Une autre urne $U_2$ contient 4 boules noires et 2 blanches. On effectue dans ces urnes une suite de tirages d'une boule de la façon suivante :
- le 1er tirage se fait au hasard dans l'une ou l'autre des deux urnes ;
- si le $n$-ième tirage ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) donne une boule blanche, le $(n+1)$-ième tirage s'effectue dans la même urne que le $n$-ième tirage ;
- si le $n$-ième tirage donne une boule noire, on change d'urne pour effectuer le $(n+1)$-ième tirage ;
- chaque boule tirée est aussitôt remise dans l'urne d'où elle provient.
Pour tout $n\ge 1$, on note $A_n$ l'événement « le $n$-ième tirage s'effectue dans l'urne $U_1$ » et $B_n$ l'événement « une boule blanche est obtenue au $n$-ième tirage ».

Soit quatre dés à six faces non pipés. Le dé A a pour faces $3;3;3;3;3;3$. Le dé B a pour faces $2;6;2;6;2;2$. Le dé C a pour faces $1;5;1;5;1;5$. Le dé D a pour faces $4;0;4;0;4;4$.

$n$ désigne un entier naturel non nul. On admet que pour tout $N\in [[0,2^n-1]]$, il existe un unique $n$-uplet $(x_0,\dots ,x_{n-1})$ dans $\{0,1{\}}^n$ tel que $N=\sum _{k=0}^{n-1}{x}_k{2}^k$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Un concierge a $n$ clés dont une seule ouvre sa porte, mais il ne sait plus laquelle.

Un fumeur a dans chacune de ses poches droite et gauche une boîte d'allumettes de contenance $N$ chacune. Lorsqu'il désire une allumette, il choisit au hasard une de ses poches (chacune avec une probabilité $1/2$). On considère le moment où, pour la première fois, le fumeur ouvre une boîte vide. À ce moment, l'autre boîte peut contenir un nombre d'allumettes compris entre 0 et $N$. On note ${\mu }_{r,N}$ la probabilité qu'elle en contienne $r$.

On considère des entiers naturels non nuls $n,u,d,t,b$ vérifiant $u+d+t=b$. Une urne $\mathcal{U}$ contient $b$ boules parmi lesquelles $u$ boules portent le numéro 1, $d$ le numéro 2 et $t$ le numéro 3. Une expérience consiste en $n$ tirages successifs d'une boule de l'urne $\mathcal{U}$ avec remise. On note $U$ (resp. $D$, $T$) la variable aléatoire dont la valeur est le nombre de boules numérotées 1 (resp. 2, 3) tirées au cours de l'expérience.

Une entreprise recrute un cadre. $n$ candidats se présentent pour le poste. Chacun d'eux passe un test et le premier qui y satisfait est engagé. La probabilité qu'a un candidat de réussir le test est $p\in ]0,1[$. On notera $q=1-p$. On définit la variable aléatoire $X$ par $X=k$ si le $k$-ième candidat qui se présente est engagé, et $X=n+1$ si aucun des $n$ candidats n'est engagé.

Un mobile évolue de façon aléatoire le long d'un axe gradué, d'origine $O$. À l'instant $t=0$, il est en $O$. À chaque instant entier $t=k$, son abscisse varie de $+1$ avec la probabilité $p$ et de $-1$ avec la probabilité $q=1-p$, où $p$ est un nombre fixé dans $]0,1[$. On note $X_n$ son abscisse au temps $t=n$.

Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues.

Soient trois boîtes de gélules de couleurs blanches ou rouges. La proportion du nombre de gélules rouges est variable d'une boîte à l'autre et vaut $1/2$ pour la boîte $B_1$, $1/3$ pour la boîte $B_2$ et $1/4$ pour la boîte $B_3$.
On tire une gélule dans chacune des trois boîtes. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ définissant le nombre de gélules rouges obtenues ?

Une urne contient $n$ boules numérotées de 1 à $n$. Un joueur tire une boule au hasard et gagne une somme $X$ égale au numéro de la boule tirée. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

On note $E_n$ l'ensemble des applications de $[[1,n]]$ dans lui-même. On choisit au hasard de manière équiprobable une de ces applications et on définit la variable aléatoire $X_n$ égale au nombre de points fixes de cette application.

Dans tout l'exercice, $N$ désigne un entier naturel non nul. Soit $(U_n{)}_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi uniforme sur $[[1,N]]$. On note $T_n=\sup (U_1,\dots ,U_n)$ et $Z_n=\inf (U_1,\dots ,U_n)$. On pose $S_n=T_n+Z_n-1$.

Soit $(\Omega ,P)$ un espace probabilisé fini et $(A,B)\in \mathcal{P}(\Omega {)}^2$ tel que $P(A)=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{1}{3}$ et $P(A\cap B)=\frac{1}{4}$. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $1_A+21_B$.

On considère une urne contenant $r$ boules rouges et $N-r$ boules blanches ($1\le r\le N$). On tire successivement et sans remise toutes les boules. On note $X_n$ le rang d'apparition de la $n$-ème boule rouge ($1\le n\le r$). Déterminer la loi de $X_n$.

On lance simultanément 4 dés indiscernables et on note $X$ le nombre de numéros différents sortis. Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.

Soient $n$ et $N$ des entiers naturels tels que $1\le n\le N$. On dispose d'une urne contenant $N$ boules : $N_1$ blanches et $N_2$ noires.

Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre $p$. On note $M$ la matrice aléatoire $(X_i{X}_j{)}_{1\le i,j\le n}$.

Peut-on piper deux dés de manière à ce qu'il y ait équiprobabilité sur l'ensemble des sommes possibles obtenues en les lançant simultanément ?

Soit $n\in \mathbb{N}$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $[[0,n]]$ dont la somme suit une loi uniforme sur $[[0,2n]]$ ?

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $X,Y,Z$ trois variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $[[1,n]]$. Calculer $P(X+Y=Z)$.

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires suivant la loi $\mathcal{U}([[0,n{]]}^2)$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $[[1,n]]$. Calculer $P(X\ne Y)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n\in \mathbb{N}$ et $p\in [0,1]$. On pose ${\mu }_r=\mathbb{E}((X-np{)}^r)$. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, la série $\sum _{r\in \mathbb{N}}\frac{{\mu }_r{x}^r}{r!}$ converge et calculer sa somme.