Exercices de Probabilités sur un univers fini en maths Sup (prépa) (page 4) | The Maths Tailor
Exercices de Probabilités sur un univers fini, Sup (prépa) (page 4)
137 exercices de Probabilités sur un univers fini pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Notion d'expérience aléatoire, Probabilité sur un univers fini, Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini, Espérance, variance, covariance.
Q2-Soit n∈N. On lance n fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit Xn la variable aléatoire comptant le nombre de piles. Montrer que la probabilité que Xn soit divisible par k converge quand n tend vers l'infini et calculer sa limite.
Alphonse, Bérénice et Clothilde jouent à la balle. Lorsqu'Alphonse a la balle, il la passe à Bérénice avec une probabilité de 43 et à Clothilde avec une probabilité de 41. Lorsque Bérénice a la balle, elle la passe à Alphonse avec une probabilité de 43 et à Clothilde avec une probabilité de 41. Lorsque Clothilde a la balle, elle l'envoie toujours à Bérénice.
On pose an=P(An), bn=P(Bn) et cn=P(Cn).
Q1-Soit n∈N. Exprimer an+1,bn+1,cn+1 en fonction de an,bn,cn.
Une boîte A contient deux jetons portant le numéro 0 et une boîte B contient deux jetons portant le numéro 1. Un échange consiste à tirer un jeton dans chaque boîte et à les échanger. Pour n∈N, on note Xn la somme des numéros des jetons contenus dans la boîte A après n échanges. On pose pn=P(Xn=0), qn=P(Xn=1) et rn=P(Xn=2).
Une urne contient 2 boules blanches et n−2 boules rouges. On effectue n tirages sans remise dans cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche et Z le rang de sortie de la deuxième boule blanche.
Soient n et N des entiers naturels tels que 2≤n≤N. On effectue un tirage simultané de n boules dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N. On note X et Y respectivement le plus grand et le plus petit numéro obtenu.
Q1-Question préliminaire : soient a et b des entiers naturels tels que a≤b. Montrer que k=a∑b(ak)=(a+1b+1).
Q2-Déterminer les lois de X et Y.
Q3-Déterminer la loi du couple (X,Y). En déduire la loi de X−Y.
Q4-Déterminer les espérances de X et Y.
Q5-Déterminer les variances de X et Y.
Q6-Déterminer la variance de X−Y. En déduire la covariance du couple (X,Y).
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes et de même loi sur un espace probabilisé fini (Ω,P). On note E=X1(Ω)=X2(Ω) et on se donne une application f:E2→F telle que f(x1,x2)=f(x2,x1) pour tout (x1,x2)∈E2. On pose Y1=f(X1,X2) et Y2=f(X2,X1). Montrer que Y1 et Y2 ont même loi.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi binomiale de paramètres n et 21. En utilisant la formule de transfert, déterminer l'espérance de Z=X+Y+11.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi binomiale de paramètres n∈N∗ et p∈[0,1]. En utilisant la formule de transfert, déterminer l'espérance de Z=X+Y+11.
On considère une urne contenant n boules numérotées. On procède à un tirage successif de n boules avec remise. On note X le nombre de numéros qui sont sortis au moins une fois pendant le tirage. Calculer l'espérance de X ainsi qu'un équivalent de celle-ci lorsque n tend vers +∞.
Soit un entier n≥2. On munit le groupe symétrique Sn de la probabilité uniforme. On note X la variable aléatoire qui à une permutation associe son nombre de points fixes. Déterminer l'espérance et la variance de X.
On lance n fois une pièce de monnaie bien équilibrée. En utilisant l'inégalité de Tchebychev, déterminer n pour que la fréquence d'apparition de « face » soit comprise entre 0,45 et 0,55 avec une probabilité au moins égale à 0,9.
