Exercices de Probabilités sur un univers fini en maths Sup (prépa) (page 2) | The Maths Tailor
Exercices de Probabilités sur un univers fini, Sup (prépa) (page 2)
137 exercices de Probabilités sur un univers fini pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Notion d'expérience aléatoire, Probabilité sur un univers fini, Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini, Espérance, variance, covariance.
Un fumeur a un paquet de N cigarettes dans chacune de ses deux poches. Chaque fois qu'il veut fumer, il choisit une poche au hasard pour prendre une cigarette. Il répète cela jusqu'à ce qu'il tombe sur un paquet vide. Soit XN la variable aléatoire qui donne le nombre de cigarettes restant dans l'autre paquet à ce moment-là.
Q1-Écrire une fonction Python qui simule l'expérience et retourne XN. Faire la moyenne pour 1000 tests.
Q2-Proposer un espace probabilisé (Ω,T,P) qui modélise l'expérience.
Q3-Exprimer la loi de XN.
Q4-Montrer que, pour k∈[[1;N]](2N−k−1)P(XN=k+1)=2(N−k)P(XN=k).
Q5-Calculer l'espérance de XN puis donner un équivalent de E(XN).
Soit X1,…,Xn des variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé fini (Ω,P) et N une variable aléatoire définie sur le même espace et à valeurs dans [[1;n]]. On suppose que les variables X1,…,Xn suivent chacune la loi d'une variable X et que X1,…,Xn et N sont mutuellement indépendantes. Enfin, on définit une variable Y sur Ω en posantY(ω)=i=1∑N(ω)Xi(ω)pour tout ω∈Ω. Exprimer l'espérance puis la variance de la variable Y en fonction des espérances et variances de X et N.
À un péage autoroutier n voitures franchissent au hasard et indépendamment l'une des trois barrières de péage mises à leur disposition. On note X1, X2, X3 les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières.
Q1-Déterminer la loi de X1.
Q2-Calculer les variances de X1, X2 et de X1+X2.
Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et de variance σ2. En introduisant la variable aléatoireY=(α(X−μ)+σ)2.Montrer que pour tout α>0P(X≥μ+ασ)≤1+α21.
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 8 boules rouges. Quelle est la probabilité de la suite « blanc, blanc, rouge » si on tire successivement trois boules sans remise ?
Soient (Ω,P) un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire réelle positive sur l'univers Ω. L'ensemble des valeurs prises par X est X(Ω)={xi,i∈[[1,n]]} où 0≤x1<x2<⋯<xn. On pose pk=P(X=xk) pour tout k∈[[1,n]]. On suppose de plus que l'espérance de X est non nulle.
On munit le plan d'un repère orthonormé (O,,) et pour k∈[[1,n]], on note Mk le point de coordonnées (uk,vk) :uk=j=1∑kpjvk=E(X)1j=1∑kxjpjOn posera également u0=v0=0. On appelle courbe de Lorenz de X la ligne polygonale joignant les points M0,M1,M2,…,Mn.
Q1-Quelles sont les coordonnées du point Mn ? Montrer que la courbe de Lorenz est située au-dessous de la première bissectrice.
Q2-On appelle coefficient de Gini, noté I(X), le double de l'aire de la portion de plan comprise entre la première bissectrice et la courbe de Lorenz. (a) Montrer que I(X)∈[0,1]. (b) Calculer I(X) en fonction de v1,…,vn et p1,…,pn.
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Question 1. La courbe de Lorenz joint les points Mk=(uk,vk) où uk=j=1∑kpj et vk=E(X)∑j=1kxjpj. Comme x1≤x2≤⋯≤xn, on a vk≤uk pour tout k (les individus les plus pauvres reçoivent une part relative inférieure à leur poids démographique), donc la courbe est sous la bissectrice.
Question 2. Le coefficient de Gini I(X)=1−2k=1∑npkvk−1−k=1∑npkvk (aire du trapèze entre deux points consécutifs). On vérifie I(X)∈[0,1] car la courbe est sous la diagonale. On obtientI(X)=1−E(X)1k=1∑nxkpk(2uk−pk).Question 3. (a) Pour X∼B(1,p) : X(Ω)={0,1}, E(X)=p. La courbe de Lorenz a un seul point intérieur (1−p,0), donc I(X)=1−p. (b) Pour X∼U([[1,n]]) : par calcul direct, I(X)=2n+1n−1 (ou une expression équivalente selon la formule utilisée).
Question 4. On développe E(∣X1−X2∣)=i,j∑pipj∣xi−xj∣=2i<j∑pipj(xj−xi). En réindexant et en comparant avec la formule de I(X), on obtient l'identité souhaitée.
55.Dés et événements sur la somme
On lance deux dés équilibrés et on note les deux faces visibles. On note E l'événement « la somme des faces visibles est impaire », F l'événement « au moins l'une des faces est 1 » et G « la somme des faces est 5 ».
Dans une tombola, 1000 billets dont 2 gagnants sont mis en vente. Quel est le nombre minimal de billets qu'il faut acheter pour que la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant soit supérieure ou égale à 21 ?
Le prince de Toscane demande un jour à Galilée : « Pourquoi, lorsqu'on jette trois dés, obtient-on plus souvent la somme 10 que la somme 9, bien que ces deux sommes soient obtenues toutes les deux de six façons différentes ? » Pouvez-vous répondre à cette question ?
Lequel de ces deux événements est le plus probable : obtenir au moins un 6 en 4 lancers d'un dé, ou obtenir au moins un double 6 en lançant 24 fois deux dés ?
On considère une classe de n élèves. Pour chaque élève, on suppose que chaque jour de l'année a la même probabilité d'être le jour de son anniversaire et on ne prend pas en compte les années bissextiles. Calculer la probabilité pn que deux élèves au moins de cette classe aient leur anniversaire le même jour. À partir de combien d'élèves cette probabilité devient supérieure à 0.5 ? Combien vaut-elle si n=50 ?
Une urne contient 5 boules blanches et 10 boules noires.
Q1-On tire au hasard 2 fois une boule de l'urne en remettant la boule après le tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule blanche et 1 boule noire, (a) dans cet ordre ? (b) dans un ordre quelconque ?
Q2-On tire simultanément 5 boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 boules blanches et 3 boules noires ?
Une urne contient 4 boules blanches et 3 boules noires. Donner les résultats aux questions suivantes en forme de fraction irréductible.
Q1-On prend trois boules au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une boule blanche ?
Q2-On prend trois boules au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir au moins deux boules de couleur différente ?
Q3-On prend une boule au hasard, on note sa couleur et on la remet dans l'urne. Puis on procède encore deux fois de la même manière. Quelle est la probabilité de noter au moins deux fois la couleur blanche ?
On considère une maladie dont 5% des personnes atteintes ne guérissent pas. On observe trois malades. Quelle est la probabilité que les trois patients guérissent ? Qu'aucun ne guérisse ? Qu'au moins un des trois ne guérisse pas ?
Une famille a n enfants (n≥2). On note - A l'événement « la famille a des enfants des deux sexes » ; - B l'événement « la famille a au plus une fille ».
Montrer que A et B sont des événements indépendants si et seulement si n=3.
On lance un dé blanc et un dé rouge. On note b et r les numéros obtenus. On considère les événements « b+r=7 », « b=4 » et « ∣b−r∣ est pair ». Ces événements sont-ils deux à deux indépendants ?
Votre voisin a deux enfants dont vous ignorez les sexes. On considère les trois événements suivants : - A : « Les deux enfants sont de sexes différents » ; - B : « L'aîné est une fille » ; - C : « Le cadet est un garçon ».
Montrer que A, B et C sont deux à deux indépendants mais ne sont pas mutuellement indépendants.
Soient A1,…,Ann événements d'un espace probabilisé (Ω,A,P). On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives pi=P(Ai). Donner une expression simple de P(A1∪⋯∪An) en fonction de p1,…,pn.
Application : On suppose qu'une personne est soumise à n expériences indépendantes entre elles, et qu'à chaque expérience elle a une probabilité p d'avoir un accident, où 0<p<1. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident ?
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de lecteurs pour correction. À chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
Q1-Quelle est la probabilité que l'erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l'issue de la n-ième lecture ?
Q2-Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l'issue de la n-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
On propose un questionnaire comprenant dix questions qui comportent chacune deux réponses possibles, l'une vraie, l'autre fausse. Pour tester si la personne interrogée essaie de deviner au hasard, on adopte la règle de décision suivante. - Si au moins sept réponses sont bonnes, on admet que la personne interrogée n'a pas essayé de deviner au hasard ; - sinon on admet la conclusion contraire.
Q1-Quelle est la probabilité de rejeter l'hypothèse « la personne a essayé de deviner au hasard » lorsque celle-ci est vraie ?
Q2-Que devient cette probabilité lorsque chacune des questions posées comporte trois réponses dont une seule est vraie ?
Un laboratoire a mis au point un alcootest. On sait que 2% des personnes contrôlées par la police sont réellement en état d'ébriété. Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants. - Lorsqu'une personne est réellement en état d'ébriété, 95 fois sur 100, l'alcootest se révèle positif. - Lorsqu'une personne n'est pas en état d'ébriété, 96 fois sur 100, l'alcootest se révèle négatif.
Quelle est la probabilité pour qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest est positif ?
On souhaite tester une maladie dans un échantillon de malades donné. On suppose que dans 90% des cas le test est positif lorsqu'on est malade et que dans 85% des cas le test est négatif lorsqu'on n'est pas malade. On sait aussi, lors d'une étude récente que la proportion des malades est 0.005. Calculer la probabilité pour qu'une personne ayant un test positif soit réellement malade.
Dans une région, pendant une saison donnée, les statistiques météorologiques disent qu'en moyenne, il y a 40% de jours de pluie et donc 60% de jours sans pluie. Une étude de fiabilité d'un baromètre de marque donnée a montré que, lorsqu'il pleuvait, le baromètre prédisait un jour sans pluie 10 fois sur 100 et lorsqu'il ne pleuvait pas, il prédisait de la pluie 20 fois sur 100. Calculer la probabilité qu'il pleuve quand le baromètre prédisait qu'il pleut. Calculer la probabilité qu'il pleuve quand il indiquait qu'il ne pleut pas.
Une société de vente emploie trois transporteurs A, B et C pour faire livrer ses colis. Elle utilise le transporteur A les 3/4 du temps et une fois sur 8 chacun des deux autres. Chaque transporteur égare respectivement 1%, 2% et 3% des colis qui lui sont confiés.
Q1-Calculer la probabilité qu'un colis se perde.
Q2-Un client se plaint de n'avoir pas reçu sa commande. Quelle est la probabilité que le transporteur A soit responsable ? Commenter le résultat.
On considère une urne A contenant deux boules rouges et trois boules vertes et une urne B contenant trois boules rouges et deux boules vertes. On tire au hasard une boule dans l'urne A que l'on place dans l'urne B. On tire ensuite successivement et sans remise deux boules dans l'urne B. Quelle est la probabilité que la boule tirée dans l'urne A soit verte sachant que les deux boules tirées dans l'urne B sont rouges ?
On considère trois cartes : - une avec les deux faces rouges ; - une autre avec les deux faces blanches ; - la dernière avec une face rouge et une face blanche. On tire une carte au hasard et on expose une face au hasard : elle est rouge. Quelle est la probabilité que la face cachée soit blanche ?
