Exercices de Loi des grands nombres, Terminale

Un réparateur informatique enchaîne chaque matin un déplacement chez un client puis une réparation. La durée du déplacement, en minutes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=25$ ; la durée de la réparation est modélisée par une variable aléatoire $Y$ avec $E(Y)=40$. Rien ne permet de supposer que les deux durées sont indépendantes : un déplacement difficile annonce souvent une réparation plus longue.

Calculer la durée totale moyenne $E(X+Y)$ d'une intervention matinale.

Un jeu vidéo se joue en deux manches successives et totalement indépendantes. Le score de la première manche est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $V(X)=5$, celui de la seconde manche par une variable aléatoire $Y$ avec $V(Y)=7$. Le score total du joueur est $S=X+Y$.

Un fabricant de piles étudie un lot de production. On prélève un échantillon de 40 piles issues de cette même production ; leurs durées de fonctionnement, en heures, sont modélisées par 40 variables aléatoires $X_1$, $\dots$, $X_{40}$ indépendantes et de même loi que $X$, la durée de fonctionnement d'une pile, avec $E(X)=250$ et $V(X)=900$.

On note $S_{40}=X_1+\cdots +X_{40}$ la durée de fonctionnement totale des 40 piles de l'échantillon.

Une laiterie contrôle le conditionnement de ses plaquettes de beurre. On prélève 50 plaquettes sorties de la même chaîne ; leurs masses, en grammes, sont modélisées par 50 variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$, la masse d'une plaquette, avec $E(X)=250$ et $V(X)=25$.

On note $M_{50}$ la masse moyenne d'une plaquette de cet échantillon.

Le nombre de messages envoyés en une journée par un lycéen est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=10$ et $V(X)=4$, donc $\sigma (X)=2$.

Un loueur de vélos étudie la distance, en kilomètres, parcourue chaque jour par l'un de ses vélos : elle est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=0,5$ et $V(X)=0,0004$.

Pour ses statistiques, le loueur travaille en mètres : il considère la variable $Y=1000X$.

Un réseau de transport exploite 25 tournées matinales. Le nombre d'usagers transportés par tournée est modélisé par 25 variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$, où $E(X)=40$ et $V(X)=100$.

On note $M_{25}$ le nombre moyen d'usagers par tournée sur ces 25 tournées.

Un jeu de précision se joue en deux étapes. À la première étape, le joueur obtient un score $X$ tel que $P(X=0)=0,4$ et $P(X=2)=0,6$. À la seconde étape, indépendante de la première, il obtient un score $Y$ tel que $P(Y=1)=0,5$ et $P(Y=3)=0,5$.

On note $S=X+Y$ le score total du joueur.

On lance deux dés tétraédriques équilibrés, c'est-à-dire à quatre faces numérotées de 1 à 4. Les deux lancers sont indépendants. On note $X$ le résultat du premier dé, $Y$ celui du second, et $S=X+Y$ la somme des deux résultats.

Sans dresser la loi de $S$, calculer $P(S=5)$.

Une chocolaterie fabrique des tablettes dont la masse, en grammes, doit rester proche de 250. Une étude modélise cette masse par une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $248$, $250$ et $252$ avec les probabilités $0,25$, $0,50$ et $0,25$.

Pour alléger les calculs, on pose $Y=\frac{X-248}{2}$.

Une association humanitaire vend 100 billets de tombola. Le gain, en euros, associé à un billet est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=2$ et $V(X)=10$. Les billets gagnants sont désignés indépendamment les uns des autres.

On note $S_{100}$ le gain total reversé aux 100 billets.

Soit $X$ une variable aléatoire avec $P(X=0)=0,3$ et $P(X=1)=0,7$, et $Y$ une variable aléatoire indépendante de $X$ avec $P(Y=5)=0,2$ et $P(Y=6)=0,8$. On pose $S=X+Y$.

Un laboratoire mesure 100 fois la teneur en sucre d'un même sirop, dans des conditions indépendantes. La teneur mesurée, en grammes pour 100 millilitres, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=3$ et $V(X)=4$.

On note $M_{100}$ la moyenne des 100 mesures. Majorer la probabilité que cette moyenne s'écarte de $E(X)$ d'au moins $0,5$ gramme pour 100 millilitres.

Le temps de téléchargement d'un gros fichier, en secondes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=12$ et $V(X)=16$. Un site technique relance le téléchargement sur $n$ serveurs indépendants et étudie la moyenne $M_n$ des temps obtenus.

Pour chacune des situations suivantes, indiquer, en justifiant en une phrase, quelle inégalité du cours on mobilise : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou l'inégalité de concentration. Aucun calcul n'est demandé.

Une centrale d'achat évalue le coût de fabrication d'un article d'ameublement. Ce coût, en euros, fluctue avec le prix des matières premières : il est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=8$ et $V(X)=12$. L'atelier fabrique 50 articles dans des conditions indépendantes les unes des autres.

Un institut de sondage interroge 250 personnes choisies au hasard et de façon indépendante les unes des autres. Chaque personne interrogée déclare voter pour la candidate Camille avec la probabilité $0,2$.

On note $F$ la proportion, parmi les 250 personnes interrogées, de celles qui déclarent voter pour Camille.

Une usine agroalimentaire conditionne des yaourts. La masse d'un yaourt, en grammes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=125$ et $V(X)=9$.

Le service qualité exige que la masse moyenne $M_n$ d'un échantillon de $n$ yaourts s'écarte de $E(X)$ de moins de $0,3$ gramme avec une probabilité d'au moins $0,95$.

Déterminer la taille minimale $n$ de l'échantillon qui garantit cette exigence.

Un casino met en service une machine à sous. Le gain du casino pour une partie, en euros, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=0,9$ et $V(X)=36$. En une journée, 200 joueurs se succèdent, dans des conditions indépendantes.

Le temps de trajet, en minutes, entre deux gares est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=45$ et $\sigma (X)=6$. Une compagnie étudie la moyenne $M_n$ des temps de trajet relevés sur $n$ parcours indépendants.

Un atelier produit des tiges métalliques dont la longueur, en centimètres, doit rester proche de 20. Une étude modélise cette longueur par une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $19,9$, $20,0$ et $20,1$ avec les probabilités $0,2$, $0,6$ et $0,2$.

Pour alléger les calculs, on pose $Y=10X-199$.

On lance 20 fois de suite une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de piles obtenus ; $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(20;0,5\right)$, dont on rappelle que $E(X)=10$ et $V(X)=5$.

Une entreprise de transport expédie 400 colis préparés de façon indépendante. La masse d'un colis, en kilogrammes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=3,2$ et $V(X)=0,25$.

On note $S_{400}$ la masse totale des 400 colis et $M_{400}=\frac{S_{400}}{400}$ la masse moyenne d'un colis de cet envoi.

Un site de streaming relève le temps de visionnage quotidien de 400 abonnés, indépendamment les uns des autres. Ce temps, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=94$ et $V(X)=16$. On note $M_{400}$ le temps moyen de visionnage constaté sur l'échantillon.

Le service statistiques exige que le risque d'un écart de plus de $\delta$ minutes entre $M_{400}$ et $E(X)$ soit majoré par $0,01$.

Déterminer la plus petite valeur de $\delta$ qui garantit cette exigence, puis interpréter.

Un pion se déplace sur une piste graduée. À chaque tour, son déplacement, en cases, est modélisé par une variable aléatoire $D$ : il avance d'une case avec la probabilité $0,6$ et recule d'une case avec la probabilité $0,4$. Les 100 premiers tours sont indépendants les uns des autres.

On note $S_{100}=D_1+\cdots +D_{100}$ le déplacement total du pion après 100 tours.

Une municipalité organise une consultation auprès de ses habitants. Chaque habitant interrogé répond indépendamment des autres, et la probabilité qu'il soit favorable au projet d'aménagement est modélisée par $0,5$.

L'équipe en charge exige que la proportion $F$ d'habitants favorables, mesurée sur un échantillon de $n$ personnes, s'écarte de moins de $0,05$ de $0,5$ avec une probabilité d'au moins $0,9$.

Déterminer la taille minimale $n$ de l'échantillon à interroger.

Sur une chaîne de montage, chaque composant fabriqué est conforme avec la probabilité $0,9$, indépendamment des autres composants. On prélève 600 composants de la production. Pour tout entier $i$ de 1 à 600, on note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le $i$-ième composant est conforme et 0 sinon, et $M_{600}$ la proportion de composants conformes dans le prélèvement.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de l'intervalle $[0;1]$. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est répétée $n$ fois de façon indépendante. Pour tout entier $i$ de 1 à $n$, on note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si la $i$-ième épreuve est un succès et 0 sinon, et on pose $X=X_1+\cdots +X_n$ : la variable $X$ compte le nombre de succès et suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

En décomposant $X$ en somme de variables de Bernoulli et en utilisant la linéarité de l'espérance, démontrer que $E(X)=np$.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de l'intervalle $[0;1]$. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est répétée $n$ fois de façon indépendante. Pour tout entier $i$ de 1 à $n$, $X_i$ désigne la variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès à la $i$-ième épreuve et 0 sinon, et on pose $X=X_1+\cdots +X_n$, qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

On admet l'additivité de la variance pour deux variables aléatoires indépendantes : $V(U+Z)=V(U)+V(Z)$.

Démontrer que $V(X)=np(1-p)$.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$. Soit $(X_1;\dots ;X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$, c'est-à-dire une liste de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de $X$. On note :$$M_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$$la moyenne de cet échantillon.

On admet l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable aléatoire $Y$ d'espérance $E(Y)$ et de variance $V(Y)$, et tout réel $\delta >0$ :$$P\left(|Y-E(Y)|⩾\delta \right)⩽\frac{V(Y)}{{\delta }^2}$$Démontrer l'inégalité de concentration : pour tout réel $\delta >0$ :$$P\left(|M_n-\mu |⩾\delta \right)⩽\frac{V(X)}{n{\delta }^2}$$

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$, et $(X_1;\dots ;X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$. On note :$$M_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$$On admet l'inégalité de concentration : pour tout réel $\delta >0$ :$$P\left(|M_n-\mu |⩾\delta \right)⩽\frac{V(X)}{n{\delta }^2}$$En utilisant le théorème des gendarmes, démontrer la loi des grands nombres : pour tout réel $\delta >0$ :$$\underset{n\to +\infty }{\lim }P\left(|M_n-\mu |⩾\delta \right)=0$$

Une usine fabrique des pièces en grande série. Chaque pièce est conforme avec la probabilité $0,9$, indépendamment des autres pièces. On prélève au hasard $n$ pièces de la production. Pour tout entier $i$ de 1 à $n$, $X_i$ désigne la variable aléatoire qui vaut 1 si la $i$-ième pièce est conforme et 0 sinon. On note :$$S_n=X_1+\cdots +X_n\text{et}{M}_n=\frac{S_n}{n}$$

Un distributeur automatique de boissons est réglé pour servir en moyenne $25$ centilitres. Le volume réellement servi à chaque utilisation est modélisé par une variable aléatoire $X$ d'espérance $E(X)=25$.

Le gestionnaire impose la contrainte de qualité suivante : la probabilité que le volume servi s'écarte de $25$ cL de plus de $0,5$ cL ne doit pas dépasser $0,01$.

Déterminer à quelle condition sur la variance $V(X)$, puis sur l'écart type $\sigma (X)$, cette contrainte est assurée. Interpréter le résultat obtenu.

Un service de covoiturage étudie les retards subis par ses trajets. Le retard d'un trajet, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=4$ et $V(X)=9$. On relève 500 trajets indépendants et on note $M_{500}$ le retard moyen constaté sur cet échantillon.