Exercices de Loi des grands nombres en maths Terminale (page 2)

37. $Coût d'une intervention à domicile$

Une entreprise de dépannage informatique facture ses prestations selon la formule

C = 40 X + 30

, où

X

désigne la durée de l'intervention en heures et

C

le montant facturé en euros. La durée

X

d'une intervention est modélisée par une variable aléatoire d'espérance

E (X) = 1, 5 heure

et d'écart type

σ (X) = 0, 6 heure

(soit une variance

V (X) = 0, 36

Q1-a) Calculer l'espérance

E (C)

du montant facturé pour une intervention.

Q2-b) Calculer la variance

V (C)

, puis l'écart type

σ (C)

du montant facturé.

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38. $Consommation journalière d'un foyer$

Dans un logement, la consommation journalière d'eau pour l'électroménager est modélisée par une variable aléatoire

X

d'espérance

E (X) = 120 litres

. La consommation journalière pour les sanitaires et les douches est modélisée par une variable aléatoire

Y

d'espérance

E (Y) = 180 litres

. Les habitudes des occupants font que ces deux variables ne sont pas indépendantes.

Q1-a) Calculer la consommation totale moyenne journalière

E (X + Y)

Q2-b) Préciser si l'absence d'indépendance entre

X

Y

remet en cause le résultat obtenu.

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39. $Variance du poids cumulé de deux colis$

Une société d'expédition prépare deux colis postaux expédiés indépendamment. La masse du premier colis est modélisée par une variable aléatoire

X

de variance

V (X) = 0, 25 kg^{2}

. La masse du second colis est modélisée par une variable aléatoire

Y

de variance

V (Y) = 0, 39 kg^{2}

. Les variables

X

Y

sont indépendantes.

Q1-a) Justifier que

V (X + Y) = V (X) + V (Y)

puis calculer

V (X + Y)

Q2-b) En déduire l'écart type

σ (X + Y)

de la masse totale des deux colis.

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40. $Masse totale d'un chargement de boîtes$

Une palette transporte

50

cartons de conserves identiques. La masse en grammes d'un carton est modélisée par une variable aléatoire

X_{i}

d'espérance

E (X_{i}) = 400 g

et de variance

V (X_{i}) = 16 g^{2}

. On suppose que les masses

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{50}

des cartons sont indépendantes et de même loi. On note

S_{50} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}

la masse totale du chargement.

Q1-a) Calculer l'espérance

E (S_{50})

en grammes puis en kilogrammes.

Q2-b) Calculer la variance

V (S_{50})

puis l'écart type

σ (S_{50})

de la masse totale.

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41. $Moyenne d'une série de mesures de tension$

Un tensiomètre automatique effectue une série de

16

mesures indépendantes de la pression artérielle systolique d'un patient au repos. Chaque mesure

X_{i}

, exprimée en millimètres de mercure (mmHg), suit une loi d'espérance

E (X_{i}) = 125 mmHg

et de variance

V (X_{i}) = 64 mmHg^{2}

. On note

M_{16} = \frac{1}{16} i = 1 \sum 16 X_{i}

la moyenne des

16

mesures.

Q1-a) Déterminer l'espérance

E (M_{16})

de cette moyenne.

Q2-b) Calculer la variance

V (M_{16})

, puis l'écart type

σ (M_{16})

de la moyenne.

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42. $Majoration des écarts d'un standard téléphonique$

Le nombre d'appels téléphoniques reçus en une heure par le standard d'un service d'urgence est modélisé par une variable aléatoire

X

d'espérance

E (X) = 60

et d'écart type

σ (X) = 5

(soit une variance

V (X) = 25

).

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une majoration de la probabilité que le nombre d'appels reçus en une heure s'écarte de son espérance d'au moins

15

appels, c'est-à-dire majorer

P (∣ X - 60∣ ⩾ 15)

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43. $Espérance et variance du jeu mécanique$

Lors de l'assemblage d'un mécanisme de précision, on insère un axe cylindrique dans un alésage. Le diamètre de l'axe est modélisé par une variable aléatoire

X

d'espérance

E (X) = 50 mm

et de variance

V (X) = 0, 04 mm^{2}

. Le diamètre intérieur de l'alésage est modélisé par une variable aléatoire

Y

d'espérance

E (Y) = 50, 5 mm

et de variance

V (Y) = 0, 05 mm^{2}

. On suppose que

X

Y

sont indépendantes. Le jeu mécanique est défini par la variable aléatoire

J = Y - X

Q1-a) Calculer l'espérance

E (J)

du jeu mécanique.

Q2-b) Calculer la variance

V (J)

puis l'écart type

σ (J)

du jeu mécanique.

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a) Par linéarité de l'espérance :

E (J) = E (Y - X) = E (Y) - E (X) = 50, 5 - 50 = 0, 5 mm

Le jeu moyen est donc de

0, 5 mm

.

b) On écrit

J = Y + (- 1) X

. Comme

X

Y

sont indépendantes, les variables

Y

(- 1) X

le sont également. D'après l'additivité de la variance pour des variables indépendantes et la propriété

V (a X) = a^{2} V (X)

V (J) = V (Y) + V ((- 1) X) = V (Y) + (- 1)^{2} V (X) = V (Y) + V (X)

V (J) = 0, 05 + 0, 04 = 0, 09 mm^{2}

L'écart type est alors :

σ (J) = V (J) = 0, 09 = 0, 3 mm

Piège classique : pour des variables indépendantes, la soustraction ne soustrait pas les variances, elle les ajoute :

V (Y - X) = V (Y) + V (X)

44. $Minoration de la stabilité de production solaire$

La production électrique journalière d'une installation de panneaux solaires photovoltaïques est modélisée par une variable aléatoire

X

exprimée en kilowattheures (kWh), d'espérance

E (X) = 14 kWh

et d'écart type

σ (X) = 1, 2 kWh

(soit une variance

V (X) = 1, 44

).

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sous sa forme contraire, minorer la probabilité que la production journalière

X

soit strictement comprise entre

11 kWh

17 kWh

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45. $Loi de la somme de deux tirages indépendants$

Dans un jeu de kermesse, un joueur tire au sort un jeton dans une première urne contenant des jetons numérotés 1 et 3, puis un jeton dans une seconde urne contenant des jetons numérotés 2 et 5. Les deux tirages sont indépendants. On note

X

la valeur obtenue au premier tirage et

Y

celle obtenue au second tirage. Les lois de probabilité de

X

Y

sont données par :
-

P (X = 1) = 0, 4

P (X = 3) = 0, 6

P (Y = 2) = 0, 7

P (Y = 5) = 0, 3

On note

S = X + Y

la somme des deux valeurs obtenues.

Q1-a) Déterminer les valeurs possibles prises par

S

et établir la loi de probabilité de

S

Q2-b) Calculer l'espérance

E (S)

à partir de sa loi, puis vérifier ce résultat en utilisant la linéarité de l'espérance.

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46. $Probabilité ciblée pour une somme de deux dés$

On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6, de manière indépendante. On note

X

le résultat du premier dé et

Y

celui du second dé. On s'intéresse à la somme

S = X + Y

.

Sans déterminer l'ensemble de la loi de probabilité de

S

, calculer la probabilité

P (S = 9)

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47. $Changement de variable pour un contrôle d'épaisseur$

Une usine fabrique des plaquettes métalliques dont l'épaisseur

X

en millimètres varie légèrement autour de la cible de

20 mm

. La variable aléatoire

X

ne prend que trois valeurs :

19, 8 mm

20, 0 mm

20, 2 mm

, avec les probabilités suivantes :
-

P (X = 19, 8) = 0, 2

P (X = 20, 0) = 0, 5

P (X = 20, 2) = 0, 3

Pour simplifier les calculs, on introduit la variable

Y = \frac{X - 20}{0 , 2} = 5 X - 100

Q1-a) Donner les valeurs prises par

Y

et établir sa loi de probabilité.

Q2-b) Calculer l'espérance

E (Y)

et la variance

V (Y)

Q3-c) En déduire

E (X)

V (X)

sans calculer directement les carrés des valeurs de

X

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48. $Bilan financier sur une série de tickets de loterie$

Un joueur achète un ticket de jeu de grattage coûtant 2 euros. Le gain brut

G

, en euros, suit la loi suivante :
-

G = 0 euro

avec probabilité

0, 70

G = 3 euros

avec probabilité

0, 20

G = 10 euros

avec probabilité

0, 10

On note

X = G - 2

le gain net (en euros) sur un ticket.

Q1-a) Déterminer la loi de probabilité de

X

, puis calculer son espérance

E (X)

et sa variance

V (X)

Q2-b) Une personne achète

100

tickets de ce jeu de manière indépendante. On note

S_{100}

son gain net total. Calculer

E (S_{100})

V (S_{100})

et l'écart type

σ (S_{100})

. Interpréter.

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49. $Vérification de la linéarité sur un score en deux mi-temps$

Lors d'une rencontre sportive, le nombre de points marqués par une équipe en première mi-temps est modélisé par une variable aléatoire

X

prenant les valeurs

10

15

avec

P (X = 10) = 0, 4

P (X = 15) = 0, 6

. Le nombre de points marqués en seconde mi-temps est modélisé par une variable aléatoire

Y

indépendante de

X

, prenant les valeurs

12

14

avec

P (Y = 12) = 0, 5

P (Y = 14) = 0, 5

Q1-a) Calculer

E (X)

E (Y)

, puis en déduire la somme

E (X) + E (Y)

Q2-b) Déterminer la loi de probabilité de la somme des scores

S = X + Y

Q3-c) Calculer directement

E (S)

à partir de sa loi et constater que

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

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50. $Contrôle du dosage moyen d'un principe actif$

Un laboratoire pharmaceutique produit des gélules dont la masse de principe actif, exprimée en milligrammes, est une variable aléatoire

X

d'espérance

μ = 500 mg

et de variance

σ^{2} = 25 mg^{2}

. On prélève un échantillon de

n = 100

gélules fabriquées de manière indépendante et on note

M_{100}

la masse moyenne de principe actif de cet échantillon.

Q1-a) Donner l'espérance

E (M_{100})

et la variance

V (M_{100})

Q2-b) À l'aide de l'inégalité de concentration, donner une majoration de la probabilité que la masse moyenne

M_{100}

s'écarte de la valeur cible de

500 mg

d'au moins

1 mg

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51. $Quadruplement de la taille d'échantillon et concentration$

Une minoterie conditionne des paquets de farine. La masse nette d'un paquet en grammes est modélisée par une variable aléatoire

X

d'espérance

μ = 1000 g

et de variance

σ^{2} = 100 g^{2}

. On souhaite évaluer la probabilité que la masse moyenne

M_{n}

d'un échantillon de taille

n

s'écarte de plus de

2 g

de l'espérance

μ = 1000 g

Q1-a) Calculer le majorant fourni par l'inégalité de concentration pour un échantillon de taille

n_{1} = 50

Q2-b) Calculer le majorant pour un échantillon de taille

n_{2} = 200

Q3-c) Comparer ces deux majorants et expliquer l'effet du quadruplement de la taille de l'échantillon sur la précision de l'encadrement.

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52. $Sélection de l'inégalité adaptée selon la grandeur étudiée$

Une entreprise teste des ampoules LED. La durée de vie d'une ampoule, exprimée en milliers d'heures, est modélisée par une variable aléatoire

X

d'espérance

μ = 20

et d'écart type

σ = 4

(soit une variance

σ^{2} = 16

). Pour chacun des deux cas suivants, préciser quelle inégalité (Bienaymé-Tchebychev ou inégalité de concentration) s'applique directement et donner la majoration demandée :

Q1-a) On teste une ampoule unique. Majorer la probabilité que sa durée de vie s'écarte de son espérance d'au moins

6

milliers d'heures, soit

P (∣ X - 20∣ ⩾ 6)

Q2-b) On teste un échantillon de

n = 64

ampoules indépendantes. On note

M_{64}

leur durée de vie moyenne. Majorer la probabilité

P (∣ M_{64} - 20∣ ⩾ 1)

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53. $Majoration de l'écart d'une fréquence de sondage$

Lors d'une enquête d'opinion, la réponse d'un citoyen choisi au hasard est modélisée par une variable de Bernoulli

X

de paramètre

p = 0, 4

(

X = 1

en cas d'accord,

X = 0

sinon). On interroge un échantillon de

n = 400

personnes de manière indépendante. On note

F_{400} = \frac{1}{400} i = 1 \sum 400 X_{i}

la fréquence d'opinions favorables observée dans l'échantillon.

Q1-a) Calculer l'espérance

E (F_{400})

et la variance

V (F_{400})

Q2-b) À l'aide de l'inégalité de concentration, donner une borne supérieure de la probabilité que la fréquence observée

F_{400}

s'écarte de la véritable proportion

p = 0, 4

de plus de

5

points de pourcentage (soit

δ = 0, 05

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54. $Somme de paniers indépendants et distinction de modélisation$

Un maraîcher prépare des colis de légumes. La masse en kilogrammes d'une cagette de tomates est modélisée par une variable aléatoire

X

d'espérance

E (X) = 10 kg

et de variance

V (X) = 0, 5 kg^{2}

. La masse en kilogrammes d'une cagette de courgettes est modélisée par une variable aléatoire

Y

d'espérance

E (Y) = 8 kg

et de variance

V (Y) = 0, 3 kg^{2}

. On compose un lot constitué de 3 cagettes de tomates et de 2 cagettes de courgettes, choisies de manière indépendante. On note

T = X_{1} + X_{2} + X_{3} + Y_{1} + Y_{2}

la masse totale du lot.

Q1-a) Calculer l'espérance

E (T)

et la variance

V (T)

du lot.

Q2-b) Un apprenti propose d'écrire

T^{'} = 3 X + 2 Y

. Calculer

V (T^{'})

et expliquer pourquoi cette modélisation est incorrecte pour décrire le lot.

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55. $Calibrage d'un échantillon pour un contrôle de teneur$

Un organisme de contrôle vérifie la teneur en sucre d'un lot de jus de fruits. La teneur en sucre par bouteille (en grammes par litre) est une variable aléatoire

X

de variance connue

σ^{2} = 1, 8 g^{2} / L^{2}

et d'espérance inconnue

μ

. On réalise un échantillon de taille

n

de bouteilles indépendantes et on calcule la teneur moyenne

M_{n}

.

On souhaite déterminer la taille

n

minimale de l'échantillon pour que la probabilité que la teneur moyenne

M_{n}

s'écarte de plus de

0, 3 g/L

de la teneur théorique

μ

soit inférieure ou égale à

0, 05

Q1-a) Exprimer le majorant de l'inégalité de concentration en fonction de

n

Q2-b) Résoudre l'inéquation obtenue et conclure sur la taille minimale d'échantillon nécessaire.

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56. $Risque financier et indemnisation d'un parc de véhicules$

Une compagnie d'assurances couvre un parc de

n = 1000

véhicules identiques. Pour chaque véhicule, le montant annuel des sinistres en euros est modélisé par une variable aléatoire

X_{i}

d'espérance

E (X_{i}) = 350 euros

et d'écart type

σ (X_{i}) = 600 euros

(soit

V (X_{i}) = 360000 euros^{2}

). On suppose que les sinistres des

1000

véhicules sont indépendants. La compagnie fait payer à chaque assuré une prime annuelle de

400

euros, soit une recette globale garantie de

400000

euros. On note

S = i = 1 \sum 1000 X_{i}

le coût total annuel des sinistres et

B = 400000 - S

le bénéfice annuel de la compagnie.

Q1-a) Calculer l'espérance

E (S)

et l'écart type

σ (S)

du coût total des sinistres.

Q2-b) En déduire l'espérance

E (B)

du bénéfice annuel.

Q3-c) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité que le coût total des sinistres

S

dépasse les recettes globales de

400000

euros (c'est-à-dire que la compagnie enregistre une perte, soit

B < 0

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57. $Décroissance en racine de la dispersion de la moyenne$

Lors d'une épreuve d'athlétisme, le temps de passage d'un coureur est mesuré par un système électronique. Chaque mesure

X

présente une incertitude aléatoire d'espérance

μ

et d'écart type

σ = 1, 2 s

. Pour affiner la mesure, on enregistre

n

mesures indépendantes et on calcule leur moyenne

M_{n}

Q1-a) Exprimer l'écart type

σ (M_{n})

en fonction de

n

, puis calculer sa valeur pour

n = 4

n = 16

n = 64

Q2-b) Par quel facteur la taille

n

de l'échantillon doit-elle être multipliée pour que l'écart type de la moyenne soit divisé par 2 ?

Q3-c) Déterminer le nombre minimal de mesures

n

nécessaires pour que l'écart type de la moyenne

σ (M_{n})

devienne inférieur ou égal à

0, 05 s

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58. $Tolérance géométrique et changement d'échelle sur des pistons$

Une unité d'usinage fabrique des pistons métalliques dont le diamètre

X

(en mm) doit être le plus proche possible de la cible de

80 mm

. Le contrôle qualité modélise

X

par une variable aléatoire prenant 5 valeurs réparties symétriquement :
-

P (X = 79, 90) = 0, 1

P (X = 79, 95) = 0, 2

P (X = 80, 00) = 0, 4

P (X = 80, 05) = 0, 2

P (X = 80, 10) = 0, 1

Pour faciliter les calculs, on effectue le changement de variable

Y = \frac{X - 80}{0 , 05}

Q1-a) Quelles sont les valeurs prises par

Y

? Justifier sans calcul lourd que

E (Y) = 0

Q2-b) Calculer

V (Y)

, puis en déduire l'espérance

E (X)

et la variance

V (X)

Q3-c) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une borne supérieure de la probabilité qu'un piston choisi au hasard s'écarte d'au moins

0, 10 mm

de la cote nominale de

80 mm

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59. $Écart de la loi binomiale et majoration conservative$

Une usine fabrique des composants électroniques. Chaque composant a une probabilité

p = 0, 05

d'être défectueux, indépendamment des autres. On prélève au hasard un lot de

n = 100

composants. Soit

X

la variable aléatoire dénombrant les composants défectueux dans le lot. On admet que

X

suit la loi binomiale

B (100; 0, 05)

Q1-a) Rappeler les valeurs de l'espérance

E (X)

et de la variance

V (X)

Q2-b) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une majoration de la probabilité

P (∣ X - 5∣ ⩾ 5)

Q3-c) On donne les valeurs numériques fournies par une calculatrice :

P (X ⩽ 9) \approx 0, 9718

P (X = 0) \approx 0, 0059

. En remarquant que l'événement

(∣ X - 5∣ ⩾ 5)

équivaut à

(X = 0 ou X ⩾ 10)

, calculer la probabilité exacte

P (∣ X - 5∣ ⩾ 5)

Q4-d) Comparer la majoration obtenue au b) avec la valeur exacte du c) et commenter.

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60. $Contrôle de remplissage de bouteilles et volume moyen d'un carton$

Une usine conditionne des bouteilles de solvant de laboratoire. Le volume de liquide dans une bouteille (en mL) est une variable aléatoire

X

d'espérance

μ = 750 mL

et d'écart type

σ = 6 mL

(soit une variance

σ^{2} = 36

). On emballe ces bouteilles dans des cartons de

n = 36

bouteilles prélevées de manière indépendante. On note

S_{36} = i = 1 \sum 36 X_{i}

le volume total du carton et

M_{36} = \frac{S _{36}}{36}

le volume moyen par bouteille.

Q1-a) Déterminer l'espérance et la variance de

S_{36}

, puis celles de

M_{36}

Q2-b) À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer la probabilité que le volume moyen

M_{36}

s'écarte d'au moins

2 mL

de la valeur nominale de

750 mL

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61. $Précision garantie à taille d'échantillon fixée$

Une balance industrielle est utilisée pour contrôler le remplissage de sacs de ciment. Pour chaque sac, la pesée comporte une imprécision aléatoire d'espérance nulle et d'écart type

σ = 0, 4 kg

(soit une variance

σ^{2} = 0, 16

). On effectue une série de

n = 100

pesées indépendantes d'un même étalon d'espérance

μ

. On note

M_{100}

la moyenne obtenue.

On souhaite déterminer la plus petite valeur du seuil de précision

δ > 0

pour laquelle l'inégalité de concentration garantit que

P (∣ M_{100} - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ 0, 04

Q1-a) Exprimer le majorant de l'inégalité de concentration en fonction de

δ

Q2-b) Résoudre l'inéquation et déterminer la précision

δ

minimale garantie au seuil de risque de

4 %

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62. $Déplacement aléatoire d'un robot sur une trajectoire$

Un petit robot se déplace sur un rail rectiligne gradué en mètres. À chaque étape, son déplacement

X_{i}

(en mètres) dépend d'une impulsion aléatoire indépendante des étapes précédentes. La loi de

X_{i}

est donnée par :
-

X_{i} = + 2

avec probabilité

0, 5

X_{i} = + 1

avec probabilité

0, 3

X_{i} = - 1

avec probabilité

0, 2

On note

D_{100} = i = 1 \sum 100 X_{i}

la position du robot après

100

étapes, en partant de l'origine

0

Q1-a) Calculer l'espérance

E (X_{i})

et la variance

V (X_{i})

d'une étape élémentaire.

Q2-b) Calculer l'espérance

E (D_{100})

et la variance

V (D_{100})

de la position finale.

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63. $Majoration universelle de la variance et échantillonnage sans a priori$

On souhaite réaliser un sondage d'opinion pour estimer une proportion

p \in [0; 1]

totalement inconnue au sein d'une population. On interroge un échantillon de

n

personnes indépendantes et on note

F_{n}

la fréquence observée.

Q1-a) Soit la fonction

g

définie sur

[0; 1]

par

g (p) = p (1 - p)

. Étudier les variations de

g

et démontrer que pour tout

p \in [0; 1]

p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}

Q2-b) En déduire que pour toute proportion

p

et pour tout

δ > 0

P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{1}{4 n δ ^{2}}

Q3-c) Déterminer la taille minimale d'échantillon

n

permettant de garantir que

P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ 0, 02) ⩽ 0, 05

, quelle que soit la valeur inconnue de

p

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64. $Durée cumulée d'assemblage en production industrielle$

Sur une chaîne de montage, la fabrication d'un appareil ménager nécessite deux opérations successives. La durée de la première opération (en minutes) est une variable aléatoire

X

d'espérance

E (X) = 15 min

et de variance

V (X) = 4 min^{2}

. La durée de la seconde opération est une variable aléatoire

Y

d'espérance

E (Y) = 25 min

et de variance

V (Y) = 9 min^{2}

. Les deux opérations s'effectuent indépendamment. Le temps total d'assemblage d'un appareil est

T = X + Y

Q1-a) Calculer l'espérance

E (T)

et la variance

V (T)

du temps d'assemblage d'un appareil.

Q2-b) Une équipe assemble une série de

n = 50

appareils indépendants au cours d'une semaine. On note

M_{50}

le temps moyen d'assemblage par appareil sur cette série. Déterminer

E (M_{50})

V (M_{50})

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65. $Démonstration guidée de l'espérance d'une loi binomiale$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale

B (n, p)

, avec

n \in N^{*}

p \in [0; 1]

. On rappelle qu'une telle variable modélise le nombre de succès lors de la répétition de

n

épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques de paramètre

p

Q1-a) On note

X_{i}

la variable aléatoire indicatrice du succès lors de la

i

-ième épreuve (

X_{i} = 1

en cas de succès,

X_{i} = 0

en cas d'échec). Déterminer la loi de probabilité de

X_{i}

et démontrer que

E (X_{i}) = p

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66. $Démonstration guidée de la variance d'une loi binomiale$

Soit

X \sim B (n, p)

une variable aléatoire binomiale, décomposée en somme de

n

variables de Bernoulli indépendantes

X = i = 1 \sum n X_{i}

, où chaque

X_{i}

vaut 1 avec probabilité

p

et 0 avec probabilité

1 - p

Q1-a) Démontrer que

X_{i}^{2} = X_{i}

, puis en déduire que

E (X_{i}^{2}) = p

. Démontrer alors que

V (X_{i}) = p (1 - p)

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a) Comme

X_{i}

ne prend que les valeurs

0

1

, on constate que

0^{2} = 0

1^{2} = 1

. Par conséquent, pour toutes les issues de l'univers, on a l'égalité

X_{i}^{2} = X_{i}

.
On en déduit :

E (X_{i}^{2}) = E (X_{i}) = p

D'après la formule de Koenig-Huygens pour la variance :

V (X_{i}) = E (X_{i}^{2}) - (E (X_{i}))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)

b) Pour deux variables aléatoires indépendantes

A

B

, l'additivité de la variance s'énonce :

V (A + B) = V (A) + V (B)

Par récurrence sur le nombre de termes : on écrit

Y_{1} + \dots + Y_{k + 1} = (Y_{1} + \dots + Y_{k}) + Y_{k + 1}

, où

Y_{1} + \dots + Y_{k}

Y_{k + 1}

sont indépendantes (dans une succession d'épreuves indépendantes, la première ne dépend que des

k

premières épreuves, la seconde de la suivante), et la propriété pour deux variables donne

V (Y_{1} + \dots + Y_{k + 1}) = V (Y_{1} + \dots + Y_{k}) + V (Y_{k + 1})

. Ainsi, si

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}

sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors :

V (i = 1 \sum n Y_{i}) = i = 1 \sum n V (Y_{i})

Puisque le schéma de Bernoulli repose par définition sur la répétition d'épreuves indépendantes, les variables

X_{1}, \dots, X_{n}

sont mutuellement indépendantes.

c) En appliquant l'additivité de la variance à la décomposition

X = i = 1 \sum n X_{i}

V (X) = V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) = i = 1 \sum n p (1 - p) = n p (1 - p)

L'écart type étant la racine carrée de la variance :

σ (X) = V (X) = n p (1 - p)

d) L'hypothèse d'indépendance est absolument essentielle : sans elle, la variance d'une somme n'est plus nécessairement égale à la somme des variances. Par exemple, si toutes les variables étaient identiques (

X_{i} = X_{1}

pour tout

i

), on aurait

X = n X_{1}

V (X) = n^{2} V (X_{1}) = n^{2} p (1 - p)

, ce qui est très différent de

n p (1 - p)

. C'est donc bien l'indépendance des épreuves qui garantit l'additivité et conduit au facteur

n

et non

n^{2}

67. $Démonstration de l'inégalité de concentration$

Soit

(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

un échantillon de taille

n \in N^{*}

d'une variable aléatoire

X

d'espérance

μ

et de variance

σ^{2} > 0

. Les variables

X_{i}

sont donc indépendantes et de même loi que

X

. On note

M_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

la moyenne empirique de l'échantillon.

Q1-a) Démontrer que

E (M_{n}) = μ

Q2-b) Démontrer que

V (M_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}

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68. $Démonstration de la loi des grands nombres par les gendarmes$

Soit

(X_{n})_{n ⩾ 1}

une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance

μ

et une variance

σ^{2} > 0

. Pour tout entier

n ⩾ 1

, on pose

M_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

. Soit

δ > 0

un réel fixé arbitrairement.

Q1-a) Rappeler l'inégalité de concentration vérifiée par la probabilité

P (∣ M_{n} - μ ∣ ⩾ δ)

Q2-b) Justifier rigoureusement l'encadrement :

0 ⩽ P (∣ M_{n} - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{σ ^{2}}{n δ ^{2}}

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69. $Contrôle de conformité de circuits imprimés$

Une usine produit en grande série des puces électroniques pour ordinateurs. On estime que chaque puce a une probabilité

p = 0, 02

de présenter un micro-défaut de gravure. On prélève un échantillon aléatoire de

n

puces fabriquées de manière indépendante. On note

F_{n}

la fréquence observée de puces défectueuses dans cet échantillon.

Q1-a) Exprimer l'espérance

E (F_{n})

et la variance

V (F_{n})

en fonction de

n

Q2-b) À l'aide de l'inégalité de concentration, donner une majoration de la probabilité

P (∣ F_{n} - 0, 02∣ ⩾ 0, 01)

en fonction de

n

Q3-c) Déterminer la taille minimale d'échantillon

n

pour que le risque que la fréquence observée s'écarte de plus de

0, 01

de la proportion réelle

0, 02

soit inférieur ou égal à

2 %

(

0, 02

Q4-d) Dans la pratique industrielle, des contraintes d'équipement limitent la taille du lot de contrôle à

n = 2500

puces. Déterminer la précision

δ

garantie avec un risque d'au plus

5 %

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70. $Détermination de l'écart type maximal admissible pour une balance$

Un laboratoire de métrologie utilise une balance pour vérifier des masses étalons de valeur théorique

μ = 100 g

. Chaque pesée individuelle

X_{i}

est modélisée par une variable aléatoire d'espérance

μ = 100 g

et d'écart type

σ > 0

inconnu. On effectue une série de

n = 64

pesées indépendantes et on calcule la moyenne

M_{64} = \frac{1}{64} i = 1 \sum 64 X_{i}

.

La norme de certification impose que la probabilité que la moyenne des

64

pesées s'écarte de plus de

0, 05 g

de la valeur exacte soit inférieure ou égale à

1 %

(

0, 01

Q1-a) Exprimer le majorant de l'inégalité de concentration pour

P (∣ M_{64} - 100∣ ⩾ 0, 05)

en fonction de

σ

Q2-b) En déduire la condition que doit vérifier

σ^{2}

, puis déterminer la valeur maximale admissible pour l'écart type

σ

d'une pesée individuelle afin de respecter la norme.

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37.Coût d'une intervention à domicile

38.Consommation journalière d'un foyer

39.Variance du poids cumulé de deux colis

40.Masse totale d'un chargement de boîtes

41.Moyenne d'une série de mesures de tension

42.Majoration des écarts d'un standard téléphonique

43.Espérance et variance du jeu mécanique

44.Minoration de la stabilité de production solaire

45.Loi de la somme de deux tirages indépendants

46.Probabilité ciblée pour une somme de deux dés

47.Changement de variable pour un contrôle d'épaisseur

48.Bilan financier sur une série de tickets de loterie

49.Vérification de la linéarité sur un score en deux mi-temps

50.Contrôle du dosage moyen d'un principe actif

51.Quadruplement de la taille d'échantillon et concentration

52.Sélection de l'inégalité adaptée selon la grandeur étudiée

53.Majoration de l'écart d'une fréquence de sondage

54.Somme de paniers indépendants et distinction de modélisation

55.Calibrage d'un échantillon pour un contrôle de teneur

56.Risque financier et indemnisation d'un parc de véhicules

57.Décroissance en racine de la dispersion de la moyenne

58.Tolérance géométrique et changement d'échelle sur des pistons

59.Écart de la loi binomiale et majoration conservative

60.Contrôle de remplissage de bouteilles et volume moyen d'un carton

61.Précision garantie à taille d'échantillon fixée

62.Déplacement aléatoire d'un robot sur une trajectoire

63.Majoration universelle de la variance et échantillonnage sans a priori

64.Durée cumulée d'assemblage en production industrielle

65.Démonstration guidée de l'espérance d'une loi binomiale

66.Démonstration guidée de la variance d'une loi binomiale

67.Démonstration de l'inégalité de concentration

68.Démonstration de la loi des grands nombres par les gendarmes

69.Contrôle de conformité de circuits imprimés

70.Détermination de l'écart type maximal admissible pour une balance

37. $Coût d'une intervention à domicile$

38. $Consommation journalière d'un foyer$

39. $Variance du poids cumulé de deux colis$

40. $Masse totale d'un chargement de boîtes$

41. $Moyenne d'une série de mesures de tension$

42. $Majoration des écarts d'un standard téléphonique$

43. $Espérance et variance du jeu mécanique$

44. $Minoration de la stabilité de production solaire$

45. $Loi de la somme de deux tirages indépendants$

46. $Probabilité ciblée pour une somme de deux dés$

47. $Changement de variable pour un contrôle d'épaisseur$

48. $Bilan financier sur une série de tickets de loterie$

49. $Vérification de la linéarité sur un score en deux mi-temps$

50. $Contrôle du dosage moyen d'un principe actif$

51. $Quadruplement de la taille d'échantillon et concentration$

52. $Sélection de l'inégalité adaptée selon la grandeur étudiée$

53. $Majoration de l'écart d'une fréquence de sondage$

54. $Somme de paniers indépendants et distinction de modélisation$

55. $Calibrage d'un échantillon pour un contrôle de teneur$

56. $Risque financier et indemnisation d'un parc de véhicules$

57. $Décroissance en racine de la dispersion de la moyenne$

58. $Tolérance géométrique et changement d'échelle sur des pistons$

59. $Écart de la loi binomiale et majoration conservative$

60. $Contrôle de remplissage de bouteilles et volume moyen d'un carton$

61. $Précision garantie à taille d'échantillon fixée$

62. $Déplacement aléatoire d'un robot sur une trajectoire$

63. $Majoration universelle de la variance et échantillonnage sans a priori$

64. $Durée cumulée d'assemblage en production industrielle$

65. $Démonstration guidée de l'espérance d'une loi binomiale$

66. $Démonstration guidée de la variance d'une loi binomiale$

67. $Démonstration de l'inégalité de concentration$

68. $Démonstration de la loi des grands nombres par les gendarmes$

69. $Contrôle de conformité de circuits imprimés$

70. $Détermination de l'écart type maximal admissible pour une balance$