Exercices de Loi des grands nombres, Terminale (page 3)

Lors d'une expérience d'électrophorèse, une particule chargée en suspension dans un liquide se déplace sous l'action d'un champ électrique et de chocs moléculaires. À chaque pas temporel $\Delta t=1\text{ms}$, son déplacement $X_k$ en micromètres ($\mu \text{m}$) suit une loi de probabilité indépendante des autres pas, définie par :
- $X_k=+2\mu \text{m}$ avec probabilité $p=0,6$
- $X_k=-1\mu \text{m}$ avec probabilité $1-p=0,4$

Après $n$ pas temporels, la position de la particule est $S_n=\sum _{k=1}^n{X}_k$ et sa vitesse moyenne de dérive par pas est $V_n=\frac{S_n}{n}$.

Un apiculteur suit un rucher composé de 25 ruches. On prélève, à la même récolte, la production de miel de chacune des 25 ruches ; ces productions, en kilogrammes, sont modélisées par 25 variables aléatoires $X_1,X_2,\dots ,X_{25}$ indépendantes et de même loi que $X$, la production d'une ruche, avec $E(X)=8$ et $V(X)=4$.

On note $S_{25}=X_1+X_2+\cdots +X_{25}$ la production totale de miel du rucher.

Un capteur météorologique relève la température extérieure, en degrés Celsius, modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=15$ et $V(X)=4$.

Pour l'affichage destiné à un client anglophone, la station convertit cette température en degrés Fahrenheit à l'aide de la formule $Y=1,8X+32$.

Chaque mois, un couple additionne ses dépenses imprévues. Les dépenses imprévues de la première personne, en euros, sont modélisées par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=45$ ; celles de la seconde personne sont modélisées par une variable aléatoire $Y$ avec $E(Y)=60$. Le couple partageant un budget commun, rien ne permet de supposer que $X$ et $Y$ sont indépendantes : un mois de dépenses imprévues élevées pour l'un s'accompagne souvent de dépenses élevées pour l'autre.

Calculer le montant total moyen $E(X+Y)$ des dépenses imprévues mensuelles du couple.

Lors d'une épreuve d'athlétisme, un relais se dispute en deux temps indépendants : un échauffement séparé garantit qu'aucune condition commune n'influence les deux relayeurs. Le temps du premier relayeur, en secondes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $V(X)=2,25$ ; le temps du second relayeur est modélisé par une variable aléatoire $Y$ avec $V(Y)=4$. On note $T=X+Y$ le temps total de l'équipe.

Une entreprise de torréfaction contrôle sa chaîne de conditionnement. On prélève un échantillon de 36 sacs de café issus de la même production ; leurs masses, en grammes, sont modélisées par 36 variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$, la masse d'un sac, avec $E(X)=1000$ et $V(X)=36$.

On note $M_{36}$ la masse moyenne d'un sac de cet échantillon.

Le nombre de clients servis en une heure par une boulangerie de quartier est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=180$ et $V(X)=36$, donc $\sigma (X)=6$.

Un pisciculteur prélève un échantillon de 20 poissons issus du même bassin d'élevage. Leurs masses, en grammes, sont modélisées par 20 variables aléatoires $X_1,X_2,\dots ,X_{20}$ indépendantes et de même loi que $X$, la masse d'un poisson, avec $E(X)=450$ et $V(X)=100$.

On note $S_{20}=X_1+X_2+\cdots +X_{20}$ la masse totale des 20 poissons de l'échantillon.

Dans un stand de loterie foraine, un joueur fait tourner une première roue qui indique un gain $X$, en euros, tel que $P(X=2)=0,3$ et $P(X=5)=0,7$, puis une seconde roue, indépendante de la première, qui indique un gain $Y$ tel que $P(Y=1)=0,6$ et $P(Y=4)=0,4$.

On note $S=X+Y$ le gain total du joueur.

On lance deux dés à huit faces numérotées de 1 à 8, de manière indépendante. On note $X$ le résultat du premier dé et $Y$ celui du second dé. On s'intéresse à la somme $S=X+Y$.

Sans déterminer l'ensemble de la loi de probabilité de $S$, calculer la probabilité $P(S=10)$.

Une quincaillerie industrielle fabrique des clous dont la longueur $X$, en centimètres, varie légèrement autour de la cible de 5 cm. La variable aléatoire $X$ ne prend que trois valeurs : $4,9$ cm, $5,0$ cm et $5,1$ cm, avec les probabilités suivantes :
- $P(X=4,9)=0,3$
- $P(X=5,0)=0,4$
- $P(X=5,1)=0,3$

Pour simplifier les calculs, on introduit la variable $Y=\frac{X-5}{0,1}$.

Dans un bar associatif, un joueur de fléchettes dispute 60 parties de façon indépendante. Le gain, en euros, d'une partie est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=1,5$ et $V(X)=6$.

On note $S_{60}$ le gain total du joueur sur ces 60 parties.

Dans une salle d'arcade, un joueur enchaîne deux jeux indépendants. Le score du premier jeu est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $P(X=2)=0,3$ et $P(X=4)=0,7$. Le score du second jeu, indépendant du premier, est modélisé par une variable aléatoire $Y$ avec $P(Y=1)=0,5$ et $P(Y=3)=0,5$. On pose $S=X+Y$.

Un centre d'appels enregistre la durée de 150 appels reçus de façon indépendante dans la matinée. La durée d'un appel, en minutes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=4$ et $V(X)=9$.

On note $M_{150}$ la durée moyenne des 150 appels. Majorer la probabilité que cette moyenne s'écarte de $E(X)$ d'au moins $0,5$ minute.

Un verger commercialise ses pommes en effectuant des pesées sur des échantillons prélevés dans les cagettes. Le poids d'une pomme, en grammes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=150$ et $V(X)=45$.

Pour chacune des situations suivantes, indiquer, en justifiant en une phrase, quelle inégalité du cours on mobilise : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou l'inégalité de concentration. Aucun calcul n'est demandé.

Une entreprise de travaux publics contrôle l'épaisseur du revêtement bitumineux posé sur une chaussée. L'épaisseur, en millimètres, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=40$ et $V(X)=16$.

Un laboratoire d'analyse d'eau potable mesure la concentration en nitrates d'un réseau de distribution. Cette concentration, en milligrammes par litre, est modélisée par une variable aléatoire $X$ d'espérance inconnue et de variance $V(X)=8$.

Le laboratoire souhaite prélever un échantillon de $n$ mesures indépendantes tel que la moyenne $M_n$ des mesures s'écarte de $E(X)$ de moins de $0,5$ milligramme par litre, avec une probabilité d'erreur d'au plus $0,1$, c'est-à-dire $P\left(|M_n-E(X)|⩾0,5\right)⩽0,1$.

Déterminer la plus petite valeur de $n$ garantissant cette condition à l'aide de l'inégalité de concentration.

Un atelier de couture confectionne une commande de 80 vêtements, chacun de façon indépendante des autres. Le coût de confection d'un vêtement, en euros, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=12$ et $V(X)=9$.

Un boîtier de positionnement GPS répète des mesures indépendantes de la même position. L'erreur de mesure, en mètres, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $V(X)=81$.

Pour $n=25$, puis $n=100$, puis $n=900$ mesures moyennées, calculer l'écart type $\sigma (M_n)$ de la moyenne des mesures, et commenter l'évolution observée.

Une usine mécanique fabrique des boulons dont le diamètre $X$, en millimètres, varie légèrement autour de la cible de 8 mm. La variable aléatoire $X$ ne prend que trois valeurs : $7,9$ mm, $8,0$ mm et $8,1$ mm, avec les probabilités suivantes :
- $P(X=7,9)=0,2$
- $P(X=8,0)=0,6$
- $P(X=8,1)=0,2$

On pose $Y=\frac{X-8}{0,1}$.

Un atelier teste un lot de 20 ampoules LED prélevées indépendamment sur la chaîne de production. Chaque ampoule a une probabilité $0,1$ d'être défectueuse. On note $X$ le nombre d'ampoules défectueuses parmi les 20 ; $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,1)$, de sorte que $E(X)=2$ et $V(X)=1,8$ (résultats de cours sur la loi binomiale, non redémontrés ici).

Une exploitation maraîchère pèse un échantillon de 64 melons prélevés indépendamment de la même récolte. La masse d'un melon, en kilogrammes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=1,8$ et $V(X)=0,16$.

Un institut de sondage interroge 400 personnes choisies au hasard et de façon indépendante. La proportion de personnes favorables à une réforme, estimée par la moyenne $M_{400}$ d'un échantillon de variables de Bernoulli, a pour variance élémentaire $V(X)=0,16$.

L'institut souhaite garantir $P\left(|M_{400}-E(X)|⩾\delta \right)⩽0,04$. Déterminer la plus petite précision $\delta$ pour laquelle cette condition est assurée par l'inégalité de concentration.

Un modèle simplifié suppose qu'à chaque minute, la valeur d'un indice boursier varie d'une quantité aléatoire indépendante des minutes précédentes : elle augmente de $1$ point avec probabilité $0,3$, diminue de $1$ point avec probabilité $0,3$, ou reste inchangée avec probabilité $0,4$. On note $X$ cette variation élémentaire et $S_{100}$ la variation cumulée de l'indice après 100 minutes indépendantes.

Un laboratoire médical analyse le taux de cholestérol total d'un échantillon de 100 patients, mesuré dans des conditions indépendantes. Ce taux, en grammes par litre, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=2$ et $V(X)=0,09$.

Soit $n$ un entier naturel non nul, $p\in ]0;1[$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. On admet que $X$ peut s'écrire $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$, où $X_1,\dots ,X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes, suivant chacune la loi de Bernoulli de paramètre $p$ (par exemple, $X_i$ vaut 1 si la $i$-ième épreuve est un succès, 0 sinon).

On reprend les notations de l'exercice précédent : $X=X_1+\cdots +X_n$, où $X_1,\dots ,X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes, suivant chacune la loi de Bernoulli de paramètre $p$, de sorte que $X\sim \mathcal{B}(n;p)$.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$, et soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ (variables indépendantes et de même loi que $X$). On note $M_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$ la moyenne de cet échantillon.

En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (admise) à la variable aléatoire $M_n$, démontrer que pour tout réel $\delta >0$ :$$P\left(|M_n-E(X)|⩾\delta \right)⩽\frac{V(X)}{n{\delta }^2}$$

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$, et soit $(M_n{)}_{n⩾1}$ la suite des moyennes d'échantillons de taille $n$ de la loi de $X$. On admet l'inégalité de concentration : pour tout réel $\delta >0$ et tout entier $n⩾1$,$$P\left(|M_n-E(X)|⩾\delta \right)⩽\frac{V(X)}{n{\delta }^2}$$Démontrer que, pour tout $\delta >0$ fixé, $\underset{n\to +\infty }{\lim }P\left(|M_n-E(X)|⩾\delta \right)=0$.

Une compagnie aérienne étudie, sur un échantillon de 180 vols indépendants, le nombre de bagages égarés par vol. Ce nombre, pour un vol donné, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=1,4$ et $V(X)=1,62$.

Un service d'urgences hospitalières étudie le temps d'attente des patients avant la première prise en charge, sur un échantillon de 225 patients pris en charge de façon indépendante. Ce temps d'attente, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=38$ et $V(X)=81$.

Un laboratoire d'étalonnage teste des thermomètres médicaux. Pour valider un modèle, il prélève un échantillon de 400 mesures indépendantes de la même température de référence et exige que la moyenne $M_{400}$ de ces mesures s'écarte de la température réelle $E(X)$ de moins de $0,1$ degré, avec une probabilité d'erreur d'au plus $0,09$, c'est-à-dire $P\left(|M_{400}-E(X)|⩾0,1\right)⩽0,09$.

En utilisant l'inégalité de concentration, déterminer la variance maximale $V(X)$ que peut tolérer un thermomètre de ce modèle pour être validé, puis l'écart type maximal correspondant.

Un opérateur téléphonique souhaite garantir, pour un nouveau forfait, que la durée $X$ d'un appel, en minutes, s'écarte de la durée moyenne annoncée $E(X)$ de moins de $5$ minutes avec une probabilité d'au moins $0,84$, c'est-à-dire $P\left(|X-E(X)|⩾5\right)⩽0,16$.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer la variance maximale $V(X)$ que peut tolérer la durée d'un appel pour respecter cet engagement, puis l'écart type maximal correspondant.