Exercices de Orthogonalité dans l'espace, Terminale

Dans un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x-y+3z-1=0$ et le point $M(1,2,0)$.

1. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$.
2. Montrer que $M$ n'appartient pas à $\mathcal{P}$.
3. Calculer la distance de $M$ au plan $\mathcal{P}$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les points $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(4,3,0)$ et $D(0,0,5)$. On note $\mathcal{T}$ le tétraèdre $ABCD$.

1. Vérifier que $\overrightarrow{AD}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$.
2. En déduire un vecteur normal au plan $(ABC)$.
3. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on considère les vecteurs $\vec{u}(3;-2;4)$ et $\vec{v}(-1;5;2)$.
Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les vecteurs $\vec{u}\left(2;-\frac{1}{2};3\right)$ et $\vec{v}\left(-3;4;\frac{5}{3}\right)$.
Déterminer la valeur exacte du produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le vecteur $\vec{w}(-2;4;-4)$.
Calculer la norme $\Vert \vec{w}\Vert$ du vecteur $\vec{w}$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points $A(1;-3;2)$ et $B(4;-1;-4)$.
Calculer la distance $AB$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les deux vecteurs :
$\vec{u}(4;-2;5)$ et $\vec{v}(3;1;-2)$.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier la réponse.

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $1$. On se place dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.
1. Donner les coordonnées des points $A,C,E$ et $B$, puis en déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{EB}$.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{EB}$.
3. Les droites $(AC)$ et $(EB)$ sont-elles orthogonales ? Justifier.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que $\Vert \vec{u}\Vert =3$, $\Vert \vec{v}\Vert =5$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=-2$.
1. Rappeler la formule de développement de $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2$.
2. En déduire la valeur de $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2$, puis celle de $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert$.
3. Calculer la valeur exacte de $(\vec{u}-2\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère un plan $\mathcal{P}$ dirigé par les vecteurs $\vec{u}(2;1;-1)$ et $\vec{v}(1;-3;2)$.
On propose le vecteur $\vec{n}(1;5;7)$.
1. Justifier que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points $A(1;2;0)$, $B(3;1;2)$ et $C(0;3;1)$.
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis justifier qu'ils définissent un plan $(ABC)$.
2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(3;4;-1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Soit $ABCD$ un tétraèdre régulier dont toutes les arêtes ont pour longueur $a>0$.
1. Préciser la nature du triangle $ABC$ et donner la valeur de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ en fonction de $a$.
3. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis retrouver la longueur $BC$ à l'aide d'un développement de produit scalaire.

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête de longueur $c>0$.
On s'intéresse aux vecteurs $\overrightarrow{AC}$ (diagonale de la face inférieure) et $\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale du cube).
1. En écrivant $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}$, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AG}$ en fonction de $c$.
2. Exprimer les normes $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$ et $\Vert \overrightarrow{AG}\Vert$ en fonction de $c$.
3. En déduire la valeur exacte de $\cos (\widehat{CAG})$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points :
$A(2;1;-1)$, $B(5;-2;2)$, $C(-1;4;3)$ et $D(1;5;2)$.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
2. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.
3. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes.

Soit $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ un prisme droit à base triangulaire. La base $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ avec $AB=3$ et $AC=4$. La hauteur du prisme est $A{A}^{\prime }=5$.
On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ tel que $\vec{i}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\vec{j}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ et $\vec{k}=\frac{1}{5}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
Soit $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ le milieu de $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.
1. Déterminer les coordonnées des sommets $A,B,C,A^{\prime },B^{\prime }$ et des points $I$ et $J$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IJ}$.
3. Démontrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(AB)$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1;0;2)$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}(1;2;1)$ et $\vec{v}(3;-1;-2)$.
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $B(2;-1;4)$ et de vecteur directeur $\vec{w}(-3;5;-7)$.
1. Montrer que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
2. Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le plan passant par l'origine et dirigé par les vecteurs $\vec{u}(2;1;1)$ et $\vec{v}(1;-2;3)$.
On cherche un vecteur normal non nul $\vec{n}(a;b;c)$ au plan dont la troisième coordonnée est fixée à $c=5$.
1. Écrire le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$ traduisant l'orthogonalité de $\vec{n}$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
2. Résoudre ce système et donner les coordonnées du vecteur $\vec{n}$.
3. Vérifier que le vecteur obtenu est bien orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points $A(1;1;1)$, $B(3;2;-1)$ et $C(2;3;3)$.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ ainsi que les normes $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ et $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$.
3. En déduire la valeur exacte de $\cos (\widehat{BAC})$, puis la mesure en degrés de l'angle $\widehat{BAC}$.

Soit un tétraèdre trirectangle en $O$ : les arêtes $[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ sont deux à deux orthogonales. On note $a=OA$, $b=OB$ et $c=OC$.
1. En écrivant $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ et en développant $\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2$, exprimer la longueur $A{B}^2$ en fonction de $a$ et $b$.
2. Exprimer de même $B{C}^2$ et $C{A}^2$ en fonction de $a,b,c$.
3. En déduire que $A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=2(O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2)$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points $A(1;0;2)$ et $B(3;2;1)$, qui définissent la droite $\mathcal{D}=(AB)$, ainsi que le point $C(2;4;3)$.
Tout point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ vérifie $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
2. Exprimer les coordonnées du point $M$, puis celles du vecteur $\overrightarrow{CM}$ en fonction de $t$.
3. Déterminer la valeur du réel $t$ pour laquelle $\overrightarrow{CM}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$.
4. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $C$ sur la droite $\mathcal{D}$, puis calculer la distance de $C$ à $\mathcal{D}$.

Soit $ABCDEFGH$ un cube de côté $4$. On choisit le repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où $\vec{i}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $\vec{j}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AE}$.
On cherche la distance du sommet $E(0;0;4)$ à la droite $(BD)$.
1. Donner les coordonnées des points $B$ et $D$, et déterminer un vecteur directeur de la droite $(BD)$.
2. Exprimer les coordonnées d'un point courant $M(t)$ de la droite $(BD)$ défini par $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BD}$ pour $t\in \mathbb{R}$.
3. Déterminer la valeur de $t$ telle que la droite $(EM)$ soit orthogonale à $(BD)$.
4. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $K$ de $E$ sur $(BD)$, puis la distance exacte de $E$ à la droite $(BD)$.

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $1$.
1. En se plaçant dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, donner les coordonnées des sommets $B,D,E$ et $G$.
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$, puis justifier qu'ils forment une base de directions du plan $(BDE)$.
3. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AG}$.
4. Démontrer que la droite $(AG)$ est perpendiculaire au plan $(BDE)$.
5. Préciser la nature exacte du triangle $BDE$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1;2;0)$ et admettant le vecteur $\vec{n}(2;-1;2)$ pour vecteur normal.
On souhaite déterminer le projeté orthogonal du point $M(3;3;3)$ sur le plan $\mathcal{P}$.
1. Justifier que le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal{P}$ est l'unique point de la forme $H=M+t\vec{n}$ ($t\in \mathbb{R}$) vérifiant la condition $\overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=0$.
2. Exprimer les coordonnées de $H$ en fonction de $t$.
3. Déterminer la valeur du réel $t$, puis en déduire les coordonnées du point $H$.
4. Calculer la distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $1$, muni du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.
On considère les sommets $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $G(1;1;1)$, qui définissent le plan $(BDG)$, ainsi que le sommet $E(0;0;1)$.
1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;1;-1)$ est un vecteur normal au plan $(BDG)$.
2. On note $P$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(BDG)$. Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $P(k;k;1-k)$.
3. En utilisant la relation $\overrightarrow{BP}\cdot \vec{n}=0$, déterminer la valeur de $k$ et les coordonnées de $P$.
4. Calculer la distance exacte du point $E$ au plan $(BDG)$.

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $4$ muni du repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où $\vec{i}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $\vec{j}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AE}$.
On place les points suivants :
- $I$ sur l'arête $[AB]$ tel que $x_I=1$ ;
- $J$ sur la face inférieure avec $x_J=4$ et $y_J=3$ ;
- $K$ sur l'arête $[EH]$ tel que $y_K=1$.
1. Donner les coordonnées précises des points $I,J$ et $K$.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$.
3. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{IK}$.
4. Calculer les longueurs $IJ,IK$ et $JK$, puis en déduire la nature exacte du triangle $IJK$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points $A(2;-1;3)$ et $B(4;3;1)$.
On appelle plan médiateur du segment $[AB]$ l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $MA=MB$.
1. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
2. Démontrer vectoriellement que la condition $MA=MB$ équivaut à $\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.
3. En déduire une relation vérifiée par les coordonnées $(x;y;z)$ de tout point $M$ du plan médiateur.
4. Préciser un vecteur normal à ce plan et vérifier que le point $I$ appartient bien au plan.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où l'unité représente le mètre, un pan de toiture est modélisé par un plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(0;0;3)$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}(4;0;-1)$ et $\vec{v}(0;3;0)$.
Un capteur météorologique est placé en un point $S(2;2;4)$.
1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;0;4)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
2. On note $H$ le projeté orthogonal du point $S$ sur le plan $\mathcal{P}$. Justifier qu'il existe un réel $t$ tel que $H(2+t;2;4+4t)$.
3. À l'aide de la relation $\overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=0$, déterminer la valeur de $t$, puis en déduire les coordonnées de $H$.
4. Calculer la distance exacte du capteur à la toiture, puis en donner un arrondi au centimètre près.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les trois points $A(1;0;1)$, $B(3;1;3)$ et $C(1;4;4)$.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis leurs normes respectives.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
3. En déduire la valeur exacte de $\cos (\widehat{BAC})$, puis celle de $\sin (\widehat{BAC})$.
4. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $ABC$.

Soit $ABCD$ un tétraèdre tel que $AB=AC=AD=2$ et dont la base $BCD$ est un triangle équilatéral de côté $\sqrt{6}$.
On s'intéresse aux arêtes opposées $[AB]$ et $[CD]$.
1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
2. En développant le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$, établir la relation :$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(B{C}^2-B{D}^2+A{D}^2-A{C}^2\right)$$3. En déduire que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$, et conclure sur l'orthogonalité des droites $(AB)$ et $(CD)$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, deux drones se déplacent sur deux trajectoires rectilignes modélisées par les droites $d_1$ et $d_2$.
La droite $d_1$ passe par le point $A(1;0;2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(1;1;0)$.
La droite $d_2$ passe par le point $B(0;2;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}(0;1;1)$.
1. Montrer que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
2. Déterminer un vecteur non nul $\vec{n}(a;b;c)$ orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$, en fixant $b=-1$.
3. Soit $\mathcal{P}$ le plan contenant la droite $d_2$ et parallèle à $d_1$, admettant ainsi $\vec{n}$ pour vecteur normal. Justifier que la distance minimale entre les deux trajectoires est égale à la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.
4. Calculer la valeur exacte de cette distance.

Le but de cet exercice est de démontrer le théorème fondamental suivant :
« Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{w}$ est perpendiculaire à un plan $\mathcal{P}$ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. »
Soit $\mathcal{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
1. Rappeler la définition d'une droite orthogonale à un plan. En déduire le sens direct de l'équivalence.
2. Pour la réciproque, on suppose que $\vec{w}\cdot \vec{u}=0$ et $\vec{w}\cdot \vec{v}=0$.
Soit $\vec{t}$ un vecteur quelconque de $\mathcal{P}$. Justifier rigoureusement qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec{t}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$.
3. En utilisant les propriétés du produit scalaire, calculer $\vec{w}\cdot \vec{t}$.
4. Conclure la démonstration du théorème.

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace et $M$ un point quelconque. On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$.
Le but de cet exercice est de démontrer la propriété exigible au programme officiel :
« Pour tout point $N$ du plan $\mathcal{P}$, on a $MN⩾MH$, avec égalité si et seulement si $N=H$. »
1. Rappeler la définition géométrique du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal{P}$.
2. Soit $N$ un point appartenant au plan $\mathcal{P}$. Décomposer le vecteur $\overrightarrow{MN}$ à l'aide de la relation de Chasles en faisant intervenir le point $H$.
3. Justifier avec précision pourquoi $\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{HN}=0$.
4. En déduire l'égalité $M{N}^2=M{H}^2+H{N}^2$.
5. Conclure rigoureusement en traitant le cas d'égalité.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;4)$ et $S(3;3;3)$.
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis justifier qu'ils définissent le plan $(ABC)$.
2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(6;4;3)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du sommet $S$ sur le plan $(ABC)$.
4. Calculer la distance du point $S$ au plan $(ABC)$.
5. On admet que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{61}$. Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.

Soit $ABCDEFGH$ un cube de côté $1$, muni du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.
On note $I$ le milieu de $[EF]$ et $J$ le milieu de $[EH]$.
1. Donner les coordonnées des points $B,I,J$ et vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BJ}$ ne sont pas colinéaires.
2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2;2;1)$ est un vecteur normal au plan $(BIJ)$.
3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H_A$ du point $A(0;0;0)$ sur le plan $(BIJ)$.
4. Calculer la distance exacte du point $A$ au plan $(BIJ)$.