Exercices de Orthogonalité dans l'espace, Terminale (page 3)

Une paroi vitrée d'un atelier est modélisée, dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre, par le plan passant par les points $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;4)$. Un projecteur lumineux est suspendu au point $M(3;3;7)$.

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $4$, muni du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ avec $\overrightarrow{i}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{j}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{k}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AE}$. On note $I$ le centre de la face $ABCD$.

Soit $(d)$ une droite de l'espace de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ non nul, $M$ un point n'appartenant pas à $(d)$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$. a) Montrer que pour tout point $N$ de $(d)$ : $M{N}^2=M{H}^2+H{N}^2$. b) En déduire que $H$ est le point de $(d)$ le plus proche de $M$, l'égalité des distances n'ayant lieu que pour $N=H$. c) Application : dans un repère orthonormé, la droite $(d)$ passe par l'origine et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(1;2;-2)$ ; le point $M$ a pour coordonnées $(1;5;1)$. Vérifier que $H(1;2;-2)$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$, puis contrôler la relation du a) pour le point $N(2;4;-4)$ de la droite.

$ABCD$ est un tétraèdre régulier d'arête $a$. On note $H$ le centre de gravité de la face $BCD$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les vecteurs $\vec{u}(5;-2;0)$ et $\vec{v}(-3;4;7)$. Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Une boîte de rangement parallélépipédique est repérée dans un repère orthonormé dont l'unité est le centimètre. Deux sommets diagonalement opposés sont modélisés par les points $E(2;1;4)$ et $K(6;-3;12)$. Calculer la distance exacte $EK$ séparant ces deux sommets.

Dans un repère orthonormé, le déplacement rectiligne d'une sonde d'exploration est dirigé par le vecteur $\vec{u}(4;-6;2)$, tandis qu'un mât de guidage vertical au sol est orienté par le vecteur $\vec{v}(3;1;-3)$. Les directions de la trajectoire et du mât sont-elles orthogonales ?

On considère un prisme droit dont les bases sont des triangles équilatéraux de côté $c>0$. Un logiciel de calcul formel indique que pour deux arêtes spécifiques, le produit scalaire des vecteurs directeurs associés vérifie $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, avec $\vec{u}\ne \vec{0}$ et $\vec{v}\ne \vec{0}$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs orthogonaux de l'espace vérifiant $\Vert \vec{u}\Vert =4$ et $\Vert \vec{v}\Vert =3$. Développer et calculer le produit scalaire $(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-3\vec{v})$.

Dans un repère orthonormé, un plan $\mathcal{P}$ est dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{u}(1;2;-1)$ et $\vec{v}(3;-1;2)$. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(3;-5;-7)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

Soient ${\vec{e}}_1$ et ${\vec{e}}_2$ deux vecteurs unitaires et orthogonaux de l'espace. Calculer la norme du vecteur $\vec{w}={\vec{e}}_1-{\vec{e}}_2$.

Soit $SABCD$ une pyramide régulière dont la base carrée $ABCD$ a pour côté $a>0$, et dont toutes les arêtes latérales ont également pour longueur $SA=SB=SC=SD=a$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points $P(1;2;0)$, $Q(3;5;-1)$, $R(4;0;2)$ et $S(5;-1;1)$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1;1;0)$, $B(2;3;1)$ et $C(0;2;3)$. Soit $d$ la droite passant par le point $D(2;0;1)$ et de vecteur directeur $\vec{w}(5;-4;3)$.

Dans un repère orthonormé, un plan $\mathcal{P}$ est dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{u}(1;1;-2)$ et $\vec{v}(2;-1;1)$. On cherche un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$ dont la première coordonnée est fixée à $1$, de la forme $\vec{n}(1;y;z)$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on place les points $A(3;0;0)$, $B(0;4;0)$ et $C(0;0;5)$.

Soient trois points $M$, $N$ et $P$ de l'espace.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $d$ passant par le point $A(1;0;1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;1;1)$. On donne le point $B(4;-1;2)$.

Un câble de téléphérique tendu en ligne droite est modélisé dans un repère orthonormé (unité : le mètre) par la droite passant par $A(0;2;1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2;1;2)$. Une balise de surveillance est positionnée au point $S(5;3;0)$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(m;1;m)$ et $\vec{v}(m;-6;-1)$, où $m$ est un paramètre réel.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace de normes respectives $\Vert \vec{u}\Vert =3$ et $\Vert \vec{v}\Vert =4$, et tels que $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert =\sqrt{13}$.

Soit $SABCD$ une pyramide dont la base $ABCD$ est un rectangle de dimensions $AB=4$ et $AD=2$. L'arête $[SA]$ est perpendiculaire au plan de base $(ABCD)$ et mesure $SA=4$. On note $I$ le milieu de l'arête $[AB]$ et $K$ le point du segment $[SC]$ tel que $\overrightarrow{SK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal{P}$ passant par l'origine $O(0;0;0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1;2;-2)$. Soit le point $S(1;5;1)$.

On considère un prisme droit dont la base est un triangle isocèle rectangle en $O$, avec $OA=OB=2$, et dont les arêtes verticales ont pour hauteur $2$. Dans le repère orthonormé $(O;\frac{1}{2}\overrightarrow{OA},\frac{1}{2}\overrightarrow{OB},\frac{1}{2}\overrightarrow{O{O}^{\prime }})$ où $O^{\prime }$ est le sommet au-dessus de $O$, on s'intéresse aux points $I(1;0;1)$, $J(0;1;1)$ et $K(1;1;0)$.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les points $A(2;-1;3)$ et $B(4;3;1)$.

Sur le pan incliné d'un hangar, modélisé dans un repère orthonormé par le plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1;2;1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2;2;1)$, des techniciens installent un capteur au point $C(5;6;5)$ (l'unité du repère est le mètre).

Une voile triangulaire d'ombrage est fixée en trois points de coordonnées $A(1;0;2)$, $B(3;2;1)$ et $C(2;3;4)$ dans un repère orthonormé (unité : le mètre).

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les quatre sommets d'un tétraèdre : $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(1;3;0)$ et $D(1;1;5)$.

Deux câbles rectilignes $d_1$ et $d_2$ sont modélisés dans un repère orthonormé : la droite $d_1$ passe par $A(0;1;1)$ et est dirigée par $\vec{u}(1;0;1)$ ; la droite $d_2$ passe par $B(1;0;3)$ et est dirigée par $\vec{v}(0;1;1)$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$ et le sommet $S(2;2;2)$.

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace dirigé par deux vecteurs non colinéaires ${\vec{u}}_1$ et ${\vec{u}}_2$. Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{v}$. On suppose que la droite $d$ est orthogonale à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$ dirigées respectivement par ${\vec{u}}_1$ et ${\vec{u}}_2$, c'est-à-dire que $\vec{v}\cdot {\vec{u}}_1=0$ et $\vec{v}\cdot {\vec{u}}_2=0$.

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace et $M$ un point n'appartenant pas à $\mathcal{P}$. On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$. Soit $N$ un point quelconque du plan $\mathcal{P}$.

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=3$, $AD=2$ et $AE=2$. On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\frac{1}{2}\overrightarrow{AE})$.

Soit $ABCD$ un tétraèdre quelconque dans l'espace.