Exercices de Orthogonalité dans l'espace, Terminale (page 2)

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le point $A(1;2;3)$ et le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $B(2;0;1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1;2;-2)$.
On cherche le point $M$ du plan $\mathcal{P}$ minimisant la distance $AM$.
1. Justifier, à l'aide d'un théorème du cours, que le minimum de la distance $AM$ pour $M\in \mathcal{P}$ est atteint en un unique point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$.
2. En posant $\overrightarrow{AH}=t\vec{n}$ ($t\in \mathbb{R}$), déterminer la valeur de $t$, puis en déduire les coordonnées du point $H$.
3. Calculer la distance minimale de $A$ au plan $\mathcal{P}$.
4. Justifier pour tout point $M\in \mathcal{P}$ la relation $A{M}^2=\frac{1}{9}+H{M}^2$, confirmant ainsi le résultat d'optimisation.

Dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$, muni du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, on considère les plans ${\mathcal{P}}_1=(BDE)$ et ${\mathcal{P}}_2=(CFH)$.
1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;1;1)$ est un vecteur normal commun aux plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$. Que peut-on en déduire pour ces deux plans ?
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H_1$ du sommet $A(0;0;0)$ sur ${\mathcal{P}}_1$, puis calculer la distance $d(A,{\mathcal{P}}_1)$.
3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H_2$ du sommet $A$ sur ${\mathcal{P}}_2$, puis calculer la distance $d(A,{\mathcal{P}}_2)$.
4. En déduire la distance exacte séparant les deux plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$.

Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit de dimensions $AB=2$, $AD=4$ et $AE=2$.
On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ tel que $\vec{i}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\vec{j}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$.
Dans ce repère, on note les plans de coupe suivants :
- ${\mathcal{P}}_1$ passant par les points $A(0;0;0)$, $C(2;4;0)$ et $E(0;0;2)$ ;
- ${\mathcal{P}}_2$ passant par les points $B(2;0;0)$, $D(0;4;0)$ et $E(0;0;2)$.
1. Déterminer un vecteur normal ${\vec{n}}_1$ au plan ${\mathcal{P}}_1$.
2. Déterminer un vecteur normal ${\vec{n}}_2$ au plan ${\mathcal{P}}_2$.
3. Calculer le produit scalaire ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2$. Les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont-ils perpendiculaires ?
4. Déterminer pour quelle valeur de la longueur $AD$ (en maintenant $AB=AE=2$) les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ seraient perpendiculaires.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$. Soient $\overrightarrow{u}(2;-3;5)$ et $\overrightarrow{v}(-4;1;2)$. Calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

Dans le repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$, dont l'unité est le kilomètre, un ballon sonde se trouve au point $M(3;-4;12)$. Calculer la distance $OM$ entre le ballon et l'origine du repère.

Deux balises d'un chantier sont modélisées, dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre, par les points $A(-2;1;5)$ et $B(4;3;-3)$. Calculer la distance $AB$ entre les deux balises.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(3;-1;2)$, $\overrightarrow{v}(-2;4;1)$ et $\overrightarrow{w}(2;2;-2)$.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a>0$. Un logiciel de géométrie dynamique, dans lequel le cube est construit, affiche l'égalité $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{DB}=0$.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3$, $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =5$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2$. a) Calculer $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$. b) Calculer $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2$ et $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2$. c) En déduire $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert$ et $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert$.

Dans un repère orthonormé, le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $A(1;2;-1)$ et est dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}(1;0;2)$ et $\overrightarrow{v}(3;-1;1)$. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(2;5;-1)$ est normal au plan $\mathcal{P}$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;-1;2)$ et $\overrightarrow{v}(1;3;-1)$. a) Calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. b) L'angle géométrique entre $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est-il aigu ou obtus ? On justifiera sans calculer l'angle.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le vecteur $\overrightarrow{u}(2;-1;3)$ et le vecteur $\overrightarrow{v}(k;4;1)$, où $k$ est un réel.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $3$. Sans utiliser de repère ni de coordonnées, en mobilisant uniquement la définition géométrique du produit scalaire (normes et angle), calculer $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AB}$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1;0;2)$, $B(3;-1;5)$, $C(0;1;4)$ et $D(1;3;4)$.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ passant par le point $C(0;-1;5)$, de vecteur directeur $\overrightarrow{w}(3;-2;-2)$, et le plan $\mathcal{P}$ passant par $C$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;3;0)$ et $\overrightarrow{v}(2;0;3)$. Montrer que la droite $d$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=8$, $AD=6$ et $AE=10$, les trois arêtes étant deux à deux perpendiculaires. Après avoir muni l'espace d'un repère orthonormé adapté, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AG}$, puis en déduire une mesure exacte de l'angle $\widehat{CAG}$.

$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace tels que $AB=5$, $AC=8$ et $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1;0;3)$, $B(2;2;5)$ et $C(5;4;6)$. Déterminer le projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, puis la distance du point $C$ à la droite $(AB)$.

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l'espace tels que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2$, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}=-1$, $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=5$, $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3$, $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =4$ et $\Vert \overrightarrow{w}\Vert =\sqrt{7}$. a) Calculer $(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{w}+3\overrightarrow{v})$. b) Calculer $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;-1;2)$, $B(3;1;4)$ et $C(0;2;-1)$, ainsi que le vecteur $\overrightarrow{n}(-3;1;2)$. Montrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Un drone de surveillance vole en ligne droite et à altitude constante, du point $A(0;0;12)$ vers le point $B(8;0;12)$, dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. Une personne se tient au point $C(2;5;0)$. a) Déterminer le point $H$ de la trajectoire du drone (la droite $(AB)$) le plus proche de la personne. b) En déduire la distance minimale entre la personne et le drone.

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=3$, $AD=4$ et $AE=5$, les trois arêtes étant deux à deux perpendiculaires.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1;2;3)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}(1;2;-2)$, ainsi que le point $M(4;3;1)$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1;2;0)$, $B(5;2;4)$, $C(1;6;4)$ et $M(-1;-2;0)$.

La pyramide $SABCD$ est régulière : sa base $ABCD$ est un carré de côté $6$ et sa hauteur $SO$, où $O$ est le centre du carré, vaut $3\sqrt{2}$. On munit l'espace du repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ dont les directions de $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont celles des côtés de la base et dont $\overrightarrow{k}$ est porté par la hauteur. On a alors $A(3;3;0)$, $B(-3;3;0)$, $C(-3;-3;0)$, $D(3;-3;0)$ et $S(0;0;3\sqrt{2})$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(-1;2;5)$ et $B(3;4;-3)$.

Une plaque de verre triangulaire d'un atelier est modélisée, dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre, par le triangle $ABC$ avec $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$ et $C(0;4;3)$. Un point d'accroche de luminaire se trouve au point $M(0;1;2)$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1;-1;3)$, $B(2;1;5)$ et $C(3;1;4)$. Calculer l'aire du triangle $ABC$ en utilisant uniquement le produit scalaire.

La pyramide $SABCD$ est régulière : sa base $ABCD$ est un carré de côté $8$ et sa hauteur vaut $4$ (l'unité est le mètre). Après avoir muni l'espace d'un repère orthonormé adapté, calculer l'aire de la face latérale $SBC$.

Dans un grand entrepôt, deux câbles porteurs rectilignes sont modélisés, dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre, par la droite $d_1$ passant par $A(0;0;0)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(1;2;-2)$, et par la droite $d_2$ passant par $B(4;0;-1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}(2;1;2)$.

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=4$, $AD=2$ et $AE=3$, les trois arêtes étant deux à deux perpendiculaires.

a) Démontrer que pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l'espace : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2\right)$. b) Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace et $I$ le milieu de $[AB]$. Démontrer que pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{A{B}^2}{4}$. c) Application : dans un repère orthonormé, $A(2;-1;3)$, $B(4;1;1)$ et $M(1;5;2)$. Vérifier la formule précédente en calculant $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ de deux manières différentes.

La pyramide $SABCD$ est régulière : sa base $ABCD$ est un carré de côté $4$ et sa hauteur vaut $4$. On munit l'espace du repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ où $O$ est le centre de la base, les directions de $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont celles des côtés de la base et $\overrightarrow{k}$ est porté par la hauteur. On a alors $A(2;2;0)$, $B(-2;2;0)$, $C(-2;-2;0)$, $D(2;-2;0)$ et $S(0;0;4)$.

Soit $ABCD$ un tétraèdre. On suppose que deux paires d'arêtes opposées sont orthogonales : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ et $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$. Montrer que la troisième paire d'arêtes opposées est également orthogonale, c'est-à-dire que $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Commenter le cas du tétraèdre régulier.