Exercices de Orthogonalité dans l'espace en maths Terminale (page 4)

106. $Optimisation de la position d'un récepteur sur une paroi inclinée$

Dans une galerie technique, une paroi plane est modélisée dans un repère orthonormé par le plan

P

passant par l'origine

O (0; 0; 0)

et de vecteur normal

n (2; 1; 1)

. Un émetteur radio fixe est installé au point

E (1; 2; 4)

(l'unité est le mètre). On cherche à placer un récepteur en un point

M

de la paroi de telle sorte que la distance

E M

soit minimale.

Dans un cube

A B C D E F G H

d'arête

1

, on se place dans le repère orthonormé

(A; A B, A D, A E)

. On considère le plan

P_{1} = (A C H)

et le plan

P_{2} = (B D E)

Q1-a) Déterminer un vecteur normal

n_{1}

au plan

(A C H)

et un vecteur normal

n_{2}

au plan

(B D E)

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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'origine

O

, on considère les sommets

A (a; 0; 0)

B (0; b; 0)

C (0; 0; c)

d'un tétraèdre

O A B C

trirectangle en

O

, où

a

b

c

sont trois réels strictement positifs.

Q1-a) Démontrer que le vecteur

n (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c})

est normal au plan

(A B C)

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