Exercices de Statistique à deux variables en maths Terminale

1. $Nuage de points$

Le taux de réussite à l'épreuve du Baccalauréat n'a pas toujours été aussi élevé qu'il l'est aujourd'hui. En 1980 par exemple, seul un quart d'une classe d'âge était bachelier. En 1930, ce taux était inférieur à 5%. Aujourd'hui, un peu plus des trois quarts d'une classe d'âge possède ce précieux diplôme.
Le tableau suivant donne la proportion, en %, de bacheliers dans une génération entre 1980 et 2015.

Année	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Prop. en %	26	26	27	28	29	29	31	33	36	40	44	48	51	55	60	63	62	62

Année	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
Prop. en %	63	62	63	62	62	63	62	61	63	63	62	65	65	71	77	74	77	77

Dans un repère tracé sur toute la largeur d'une copie-double, construire le nuage de points associé à la série statistique

(x_{i}; y_{i})

avec

x_{i}

le rang de l'année et

y_{i}

la proportion de bacheliers.
On prendra comme unités 1 cm pour 2 années en abscisse et 1 cm pour 5 % en ordonnée.

2. $Point moyen$

Calculer les coordonnées du point moyen G et placer ce point dans le repère.

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3. $Ajustement affine$

Q1-Déterminer à l'aide de la calculatrice, la droite d'ajustement de

y

x

. Arrondir les coefficients au dixième.

Q2-Calculer les coordonnées de deux points de la droite et tracer cette droite dans le repère.

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4. $Prévision$

Estimer graphiquement la première année durant laquelle 90 % d'une génération aurait le Baccalauréat. Retrouver ce résultat par calcul. Ce modèle est-il réaliste ? Argumenter.

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5. $Nuage de points$

Dans le tableau suivant, on a reporté le nombre de nouveaux cas journaliers atteints du virus de la Covid-19, toutes les quinzaines et du 15 juillet au 30 octobre 2020.
Source : European Centre for Disease Prevention and Control (moyennes sur 7 jours glissants).

Jour	15 juil.	30 juil.	15 août	30 août	15 sept.	30 sept.	15 oct.	30 oct.
Numéro du relevé $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
Nombre de cas $y$	510	980	2041	4933	8325	11803	17936	40532

Représenter le nuage de points

(x; y)

dans un repère.

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6. $Changement de variable$

Q1-On effectue le changement de variable :
-

z = ln y

: terminale maths complémentaires
-

z = lo g y

: terminales technologiques
Réaliser un nouveau tableau présentant les valeurs prises par les variables

x

z

Q2-Représenter un nouveau nuage de points à partir des données des variables

x

z

Q3-A l'aide la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de

z

x

par la méthode des moindres carrés. Tracer la droite d'ajustement dans le deuxième repère.

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7. $Extrapolation$

Q1-En déduire la relation qui lie

y

x

puis tracer la courbe représentative de la fonction

f

définie par

y = f (x)

dans le repère contenant le premier nuage de points.

Q2-En admettant que le modèle mathématique reste valable en dehors du domaine d'étude, extrapoler par calcul le nombre de cas le 1er décembre et le 15 décembre.

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8. $Représentation graphique d'un nuage de points et choix d'échelle$

Dans le cadre d'un protocole agronomique, un chercheur suit la hauteur moyenne d'un plant de maïs au cours des cinq premières semaines suivant sa germination.
Les mesures sont consignées dans le tableau suivant :

| Semaine (

x_{i}

) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Hauteur en cm (

y_{i}

) | 14 | 28 | 45 | 68 | 95 |

Q1-Donner les coordonnées des cinq points

M_{i} (x_{i}; y_{i})

constituant le nuage de points associé à cette série statistique.

Q2-On souhaite représenter ce nuage dans un repère orthogonal de sorte que le tracé tienne dans un rectangle de

10 cm

en largeur et

12 cm

en hauteur. Proposer une échelle adaptée pour chacun des deux axes en faisant débuter le repère à l'origine

(0; 0)

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9. $Calcul des coordonnées du point moyen d'une série bivariée$

On relève la consommation électrique journalière

y

(en kilowattheures,

kWh

) d'un atelier artisanal en fonction de la température extérieure moyenne

x

(en degrés Celsius,

^{\circ} C

) sur cinq journées consécutives d'hiver :

| Température

x_{i}

(

^{\circ} C

) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| Consommation

y_{i}

(

kWh

) | 145 | 138 | 126 | 115 | 106 |

Q1-Calculer la température moyenne

\overset{x}{ˉ}

Q2-Calculer la consommation électrique moyenne

\overset{y}{ˉ}

Q3-En déduire les coordonnées du point moyen

G

du nuage de points associé à cette série.

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10. $Point moyen d'une série chronologique de chiffre d'affaires$

Une librairie de quartier a comptabilisé son chiffre d'affaires annuel sur six années consécutives, de 2018 (

x_{1} = 1

) à 2023 (

x_{6} = 6

). Les montants sont exprimés en milliers d'euros :

| Rang de l'année (

x_{i}

) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Chiffre d'affaires (

y_{i}

en k€) | 84 | 91 | 88 | 102 | 109 | 120 |

Q1-Déterminer la moyenne

\overset{x}{ˉ}

des rangs d'années.

Q2-Déterminer le chiffre d'affaires annuel moyen

\overset{y}{ˉ}

sur cette période.

Q3-Donner les coordonnées du point moyen

G

associé à cette série statistique chronologique.

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11. $Interpolation à partir d'une droite d'ajustement affine$

On étudie l'allongement

y

(en millimètres) d'un ressort en acier en fonction de la masse suspendue

x

(en grammes), pour des masses comprises entre

10 g

80 g

.
La droite d'ajustement affine obtenue à la calculatrice pour cette série de mesures est donnée par l'équation :

y = 0, 42 x + 1, 5

Q1-Estimer, à l'aide de cette droite, l'allongement attendu du ressort lorsqu'on suspend une masse de

35 g

Q2-Vérifier si le point moyen

G (40; 18, 3)

appartient à cette droite d'ajustement.

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12. $Lecture et interprétation du coefficient de corrélation linéaire$

Un institut de sondage réalise deux enquêtes statistiques distinctes et calcule le coefficient de corrélation linéaire

r

à l'aide d'un logiciel :
- Enquête A : étude de la liaison entre la distance domicile-travail (en km) et la durée quotidienne de trajet (en min). Le logiciel affiche

r_{A} = 0, 96

.
- Enquête B : étude de la liaison entre le numéro de département de naissance d'un individu et son score à un test de logique. Le logiciel affiche

r_{B} = - 0, 05

Q1-Pour chacune de ces deux enquêtes, qualifier la force du lien linéaire existant entre les deux grandeurs.

Q2-Dans quelle enquête un ajustement affine est-il pertinent ? Préciser le sens de variation conjoint des variables pour cette enquête.

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13. $Extrapolation simple à l'aide d'une droite de régression$

Le nombre d'abonnés à une revue culturelle en ligne, noté

y

(en milliers), a été modélisé entre 2018 (

x_{1} = 1

) et 2023 (

x_{6} = 6

) par la droite de régression linéaire suivante :

y = 2, 8 x + 15, 4

Q1-Donner une estimation du nombre d'abonnés pour l'année 2026 en faisant l'hypothèse que la tendance constatée se poursuive à l'identique.

Q2-Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation, et indiquer la réserve méthodologique qui s'impose.

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14. $Transformation de données par le logarithme népérien$

On étudie l'élimination d'une substance médicamenteuse dans le sang au cours du temps. La concentration sanguine résiduelle

C_{i}

(en mg/L) est mesurée toutes les heures

t_{i}

(en heures) :

| Temps

t_{i}

(h) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Concentration

C_{i}

(mg/L) | 84 | 46 | 25 | 14 |

Pour linéariser cette évolution, on pose pour chaque indice

i

z_{i} = ln (C_{i})

Q1-Calculer les valeurs

z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}

en arrondissant les résultats au centième.

Q2-

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15. $Estimation de température par une droite d'ajustement affine$

Lors d'un vol de ballon sonde dans la basse atmosphère, on enregistre la température

T

(en degrés Celsius,

^{\circ} C

) en fonction de l'altitude

h

(en centaines de mètres), pour

h

variant de

2

25

.
La droite d'ajustement de

T

h

obtenue à la calculatrice est :

T = - 0, 65 h + 21, 5

Q1-Estimer la température attendue à une altitude de

1200 m \overset{e}{ˋ} tres

(soit

h = 12

Q2-Déterminer l'altitude théorique, arrondie à la dizaine de mètres près, à laquelle la température atteint

0^{\circ} C

(isotherme zéro degré).

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16. $Calcul manuel complet d'une droite de régression des moindres carrés$

On considère la série statistique bivariée définie par les quatre couples de données suivants :

|

x_{i}

| 1 | 2 | 3 | 4 |
|

y_{i}

| 3 | 5 | 6 | 10 |

Q1-Calculer les moyennes

\overset{x}{ˉ}

\overset{y}{ˉ}

Q2-Calculer la variance

V (x)

et la covariance

Cov (x, y)

de cette série.

Q3-En déduire, par le calcul et sans utiliser les fonctions statistiques de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de

y

x

sous la forme

y = a x + b

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17. $Détermination par le calcul des coefficients de régression linéaire$

On relève cinq couples de mesures expérimentales

(x_{i}; y_{i})

:

|

x_{i}

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|

y_{i}

| 2 | 4 | 5 | 7 | 12 |

Q1-Déterminer les coordonnées du point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

Q2-Établir que la variance de la variable

x

vaut

V (x) = 2

et que la covariance vérifie

Cov (x, y) = 4, 6

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18. $Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer$

On donne la série statistique suivante comprenant six observations ordonnées selon les valeurs croissantes de

x

:

|

x_{i}

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|

y_{i}

| 12 | 15 | 18 | 21 | 26 | 28 |

On applique la méthode de Mayer en partageant cette série en deux sous-groupes de même effectif :
- Groupe 1 : les trois premiers points, pour

x \in {1; 2; 3}

.
- Groupe 2 : les trois derniers points, pour

x \in {4; 5; 6}

Q1-Calculer les coordonnées des points moyens

G_{1}

G_{2}

de chacun de ces deux groupes.

Q2-Déterminer l'équation réduite de la droite

(G_{1} G_{2})

, appelée droite d'ajustement de Mayer.

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19. $Comparaison de la droite de Mayer et de la droite des moindres carrés$

On considère la série statistique à quatre points suivante :

|

x_{i}

| 1 | 2 | 3 | 4 |
|

y_{i}

| 4 | 7 | 8 | 13 |

Q1-Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de Mayer

(D_{M})

obtenue en séparant la série en deux groupes de deux points :

G_{1}

pour

x \in {1; 2}

G_{2}

pour

x \in {3; 4}

Q2-Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

(D_{M C})

y

x

Q3-Calculer les coordonnées du point moyen global

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

de l'ensemble de la série et vérifier qu'il appartient aux deux droites

(D_{M})

(D_{M C})

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20. $Ajustement exponentiel et droite de régression en variable logarithmique$

On observe la prolifération d'une culture bactérienne. Le nombre de bactéries

N_{i}

(en milliers) au cours du temps

t_{i}

(en heures) est le suivant :

| Temps

t_{i}

(h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Effectif

N_{i}

(milliers) | 50 | 82 | 135 | 220 | 365 |

Q1-Pour chaque valeur de

i

, on pose

z_{i} = ln (N_{i})

. Calculer les valeurs

z_{i}

en arrondissant au millième.

Q2-Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de

z

t

sous la forme

z = a t + b

en arrondissant

a

b

au millième.

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21. $Retour à la variable initiale après un ajustement logarithmique$

Pour modéliser la croissance d'un capital investi sur un placement à intérêts composés variables, on a posé

z = ln y

, où

y

désigne la valeur du capital (en milliers d'euros) et

x

le nombre d'années écoulées.
L'ajustement affine obtenu sur la variable transformée est :

z = 0, 08 x + 2, 30

Q1-Exprimer

y

sous la forme

y = k e^{a x}

, où

k

a

sont deux réels (

k

arrondi au centième).

Q2-Réécrire la relation sous la forme

y = k \times q^{x}

, où

q

est un réel arrondi au millième. Interpréter

q

comme un coefficient multiplicateur annuel.

Q3-Estimer le capital atteint au bout de

10 ans

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22. $Interprétation physique de la droite de régression et loi d'Ohm$

Lors d'une séance de travaux pratiques, des élèves relèvent la tension

U

(en volts, V) aux bornes d'un conducteur ohmique pour différentes valeurs de l'intensité du courant

I

(en ampères, A) :

| Intensité

I_{i}

(A) | 0{,}05 | 0{,}10 | 0{,}15 | 0{,}20 |
| Tension

U_{i}

(V) | 1{,}65 | 3{,}28 | 4{,}98 | 6{,}55 |

La droite de régression des moindres carrés de

U

I

a pour équation

U = a I + b

Q1-Déterminer les valeurs de

a

et de

b

à l'aide de la calculatrice.

Q2-En s'appuyant sur la loi d'Ohm

U = R I

, interpréter la grandeur physique représentée par le coefficient directeur

a

et préciser son unité.

Q3-Que penser de la valeur obtenue pour l'ordonnée à l'origine

b

au regard de la théorie physique ?

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23. $Regard critique sur une extrapolation linéaire et saturation$

Le taux d'équipement des ménages d'une région en tablettes tactiles, noté

y

(en pourcentage), a été mesuré entre 2012 (

x_{0} = 0

) et 2020 (

x_{8} = 8

).
Sur cette période d'observation, les données sont modélisées par la droite d'ajustement suivante :

y = 4, 5 x + 35

Q1-Estimer le taux d'équipement prévisible en 2024.

Q2-Estimer le taux d'équipement prévisible en 2030 d'après ce même modèle.

Q3-Porter un regard critique sur la pertinence à long terme d'un modèle d'ajustement affine pour une grandeur de ce type.

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24. $Choix argumenté entre deux transformations de variables$

On étudie l'évolution de la concentration d'un réactif chimique

y

au cours du temps

x

. Pour tenter de linéariser le nuage de points, un chimiste teste deux transformations différentes sur la variable

y

:
- Transformation 1 :

z_{1} = ln y

. Le coefficient de corrélation linéaire calculé entre

x

z_{1}

vaut

r_{1} = - 0, 85

.
- Transformation 2 :

z_{2} = \frac{1}{y}

. Le coefficient de corrélation linéaire calculé entre

x

z_{2}

vaut

r_{2} = 0, 997

Q1-Indiquer, en justifiant précisément, laquelle de ces deux transformations fournit le meilleur ajustement linéaire.

Q2-La droite de régression des moindres carrés de

z_{2}

x

est

z_{2} = 0, 25 x + 0, 50

. En déduire l'expression de

y

en fonction de

x

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25. $Modèle de refroidissement thermique et changement de variable logarithmique$

On mesure l'écart de température

θ

(en degrés Celsius,

^{\circ} C

) entre une pièce métallique chaude et l'air ambiant d'un laboratoire en fonction de la durée de refroidissement

t

(en minutes) :

| Durée

t_{i}

(min) | 0 | 5 | 10 | 15 |
| Écart

θ_{i}

(

^{\circ} C

) | 80 | 48 | 29 | 17 |

Q1-On pose

z_{i} = ln (θ_{i})

. Calculer les valeurs

z_{i}

en arrondissant au centième.

Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression de

z

t

sous la forme

z = a t + b

(

a

b

arrondis au millième).

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26. $Étalonnage d'un capteur de pression et sensibilité de mesure$

On étudie l'étalonnage d'un capteur de pression piézorésistif. On applique différentes pressions

P

(en bars) et on mesure la tension électrique de sortie

V

(en volts) :

| Pression

P_{i}

(bars) | 0{,}5 | 1{,}0 | 1{,}5 | 2{,}0 | 2{,}5 |
| Tension

V_{i}

(V) | 1{,}32 | 2{,}24 | 3{,}18 | 4{,}10 | 5{,}02 |

Q1-Déterminer l'équation de la droite de régression de

V

P

sous la forme

V = a P + b

(arrondir

a

b

au centième).

Q2-Donner la signification physique du coefficient directeur

a

(nommé sensibilité du capteur) et préciser son unité.

Q3-Interpréter l'ordonnée à l'origine

b

, appelée tension de décalage à l'origine (ou offset).

Q4-Déterminer la pression mesurée lorsque le voltmètre affiche une tension de

3, 65 V

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27. $Problème complet d'ajustement affine sur un rendement agricole$

Une station agronomique étudie le rendement moyen d'une variété de blé

y

(en quintaux par hectare, q/ha) en fonction de l'apport d'engrais azoté

x

(en kg/ha) sur cinq parcelles expérimentales :

| Apport

x_{i}

(kg/ha) | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
| Rendement

y_{i}

(q/ha) | 52 | 61 | 69 | 78 | 85 |

Q1-Calculer les coordonnées du point moyen

G

du nuage.

Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression des moindres carrés de

y

x

par le calcul détaillé de la variance

V (x)

et de la covariance

Cov (x, y)

Q3-Estimer, par interpolation, le rendement attendu pour un apport de

90 kg/ha

Q4-Déterminer la dose d'azote théorique permettant d'atteindre un rendement objectif de

75 q/ha

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28. $Modélisation de la désintégration radioactive et calcul de la demi-vie$

L'activité radioactive

A

(en becquerels, Bq) d'un échantillon médical contenant un isotope de courte durée est mesurée toutes les deux heures

t

(en heures) :

| Temps

t_{i}

(h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| Activité

A_{i}

(Bq) | 1000 | 707 | 500 | 354 | 250 |

Q1-On effectue le changement de variable

z_{i} = ln (A_{i})

. Recopier et compléter le tableau avec les valeurs de

z_{i}

arrondies au millième.

Q2-Déterminer la droite de régression de

z

t

sous la forme

z = - λ t + b

Q3-En déduire l'expression de l'activité

A (t)

sous la forme

A (t) = A_{0} e^{- λ t}

Q4-Déterminer la période radioactive (ou demi-vie) de cet isotope, c'est-à-dire la durée au bout de laquelle l'activité initiale est divisée par 2.

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29. $Distance de freinage et changement de variable quadratique$

Sur une piste d'essai automobile par temps sec, on mesure la distance de freinage

d

(en mètres) d'une berline en fonction de sa vitesse initiale

v

(en km/h) :

| Vitesse

v_{i}

(km/h) | 30 | 50 | 70 | 90 |
| Distance

d_{i}

(m) | 4{,}5 | 12{,}5 | 24{,}5 | 40{,}5 |

Q1-Montrer que le nuage de points

(v_{i}; d_{i})

ne relève pas d'un ajustement affine direct.

Q2-On pose

u_{i} = v_{i}^{2}

. Calculer les valeurs de

u_{i}

associées.

Q3-Déterminer la droite de régression de

d

u

sous la forme

d = a u + b

Q4-En déduire une modélisation de la distance de freinage

d

en fonction de

v

, puis estimer la distance de freinage à

110 km/h

et à

130 km/h

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30. $Modèle de coût moyen unitaire par changement de variable inverse$

Une usine fabrique des pièces métalliques de haute précision. Le coût moyen de fabrication

C

(en euros par pièce) a été relevé pour différents volumes de production

q

(en milliers de pièces) :

| Quantité

q_{i}

(milliers) | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 |
| Coût moyen

C_{i}

(€) | 25 | 15 | 10 | 9 | 7 |

Q1-Pour tenir compte de l'amortissement des coûts fixes, on effectue le changement de variable

t_{i} = \frac{1}{q _{i}}

. Calculer les valeurs

t_{i}

Q2-Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés de

C

t

sous la forme

C = a t + b

Q3-En déduire l'expression du coût moyen

C (q)

en fonction de la quantité

q

Q4-Calculer la limite de

C (q)

lorsque

q

tend vers

+ \infty

et interpréter économiquement la constante

b

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31. $Impact d'une transformation affine de variable sur la moyenne et la variance$

Une filiale européenne transmet à sa maison mère américaine les relevés de température

x_{i}

(en degrés Celsius,

^{\circ} C

) d'un réacteur chimique sur quatre phases opératoires :

x_{1} = 10, x_{2} = 20, x_{3} = 30, x_{4} = 40

Pour le rapport américain, ces températures doivent être converties en degrés Fahrenheit (

^{\circ} F

) par la relation affine :

y_{i} = 1, 8 x_{i} + 32

Q1-Calculer la moyenne

\overset{x}{ˉ}

et la variance

V (x)

de la série en degrés Celsius.

Q2-Déterminer les valeurs

y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}

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32. $Confrontation entre modèle affine et modèle exponentiel$

On suit l'audience cumulée hebdomadaire

y

(en milliers d'auditeurs) d'un podcast au cours des cinq premières semaines suivant son lancement (

x

en semaines) :

| Semaine

x_{i}

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Audience

y_{i}

(milliers) | 2{,}0 | 3{,}2 | 5{,}1 | 8{,}2 | 13{,}1 |

Q1-Calculer les rapports d'accroissement hebdomadaires

\frac{y _{2}}{y _{1}}, \frac{y _{3}}{y _{2}}, \frac{y _{4}}{y _{3}}, \frac{y _{5}}{y _{4}}

. Que suggèrent-ils ?

Q2-Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine direct de

y

x

, puis calculer l'audience estimée pour la semaine 6 d'après ce modèle.

Q3-On pose

z = ln y

. Déterminer l'ajustement affine de

z

x

sous la forme

z = a x + b

(arrondir au millième), puis en déduire le modèle exponentiel

y = k e^{a x}

Q4-Comparer les prévisions des deux modèles pour la semaine 6 et argumenter sur le modèle le plus pertinent.

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33. $Sélection de modèle par comparaison des coefficients de corrélation$

On étudie l'usure surfacique

U

(en micromètres,

μ m

) d'un outil d'usinage en fonction de sa durée d'utilisation continue

t

(en heures). Les mesures sont les suivantes :

| Durée

t_{i}

(h) | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
| Usure

U_{i}

(

μ m

) | 4{,}1 | 6{,}2 | 8{,}1 | 10{,}0 | 12{,}2 |

On hésite entre deux modélisations mathématiques :
- Modèle 1 : ajustement affine direct de

U

t

.
- Modèle 2 : ajustement affine de

U

X = t

Q1-Déterminer le coefficient de corrélation linéaire

r_{1}

associé au modèle 1.

Q2-Calculer les valeurs

X_{i} = t_{i}

, puis déterminer le coefficient de corrélation linéaire

r_{2}

associé au modèle 2.

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34. $Analyse critique d'une corrélation fallacieuse et notion de causalité$

Dans une station balnéaire de la côte atlantique, les services municipaux ont relevé chaque semaine durant deux étés consécutifs :
- Le nombre

x

de glaces artisanales vendues sur le front de mer (en milliers d'unités).
- Le nombre

y

d'interventions des pompiers pour des insolations et coups de chaleur.

L'analyse statistique de ces deux variables donne un coefficient de corrélation linéaire égal à

r = 0, 94

.
Un conseiller municipal propose alors d'interdire la vente de glaces les après-midis pour faire chuter le nombre d'insolations.

Q1-Que signifie mathématiquement la valeur

r = 0, 94

concernant le lien statistique entre les deux grandeurs ?

Q2-Expliquer l'erreur de raisonnement commise par le conseiller municipal en distinguant soigneusement les notions de corrélation et de causalité.

Q3-Identifier le facteur explicatif sous-jacent (ou variable confondante) qui explique la forte corrélation observée.

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35. $Comparaison de deux tendances d'évolution par régressions linéaires croisées$

Dans une communauté d'agglomération, on étudie l'évolution des modes de transport domicile-travail entre 2017 (

x = 1

) et 2023 (

x = 7

). On relève :
- Le nombre

y_{A}

d'usagers quotidiens du vélo (en centaines).
- Le nombre

y_{B}

d'usagers quotidiens de l'automobile en autosolisme (en centaines).

Les droites d'ajustement obtenues par la méthode des moindres carrés sont les suivantes :

V \overset{e}{ˊ} lo (A) : y_{A} = 12 x + 85

Voiture (B) : y_{B} = - 8 x + 245

Q1-Interpréter le sens et la valeur des coefficients directeurs

a_{A} = 12

a_{B} = - 8

dans le contexte de l'étude.

Q2-Déterminer par le calcul l'année à partir de laquelle le nombre d'usagers quotidiens du vélo dépassera celui des automobilistes en solo si ces tendances se maintiennent.

Q3-Calculer le nombre commun d'usagers estimé à ce point de croisement.

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Année	1980	1981	...	1997	1998	...	2015
Rang $x_{i}$	1	2	...	18	19	...	36
Prop. $y_{i}$ (%)	26	26	...	62	63	...	77

1.Nuage de points

2.Point moyen

3.Ajustement affine

4.Prévision

5.Nuage de points

6.Changement de variable

7.Extrapolation

8.Représentation graphique d'un nuage de points et choix d'échelle

9.Calcul des coordonnées du point moyen d'une série bivariée

10.Point moyen d'une série chronologique de chiffre d'affaires

11.Interpolation à partir d'une droite d'ajustement affine

12.Lecture et interprétation du coefficient de corrélation linéaire

13.Extrapolation simple à l'aide d'une droite de régression

14.Transformation de données par le logarithme népérien

15.Estimation de température par une droite d'ajustement affine

16.Calcul manuel complet d'une droite de régression des moindres carrés

17.Détermination par le calcul des coefficients de régression linéaire

18.Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer

19.Comparaison de la droite de Mayer et de la droite des moindres carrés

20.Ajustement exponentiel et droite de régression en variable logarithmique

21.Retour à la variable initiale après un ajustement logarithmique

22.Interprétation physique de la droite de régression et loi d'Ohm

23.Regard critique sur une extrapolation linéaire et saturation

24.Choix argumenté entre deux transformations de variables

25.Modèle de refroidissement thermique et changement de variable logarithmique

26.Étalonnage d'un capteur de pression et sensibilité de mesure

27.Problème complet d'ajustement affine sur un rendement agricole

28.Modélisation de la désintégration radioactive et calcul de la demi-vie

29.Distance de freinage et changement de variable quadratique

30.Modèle de coût moyen unitaire par changement de variable inverse

31.Impact d'une transformation affine de variable sur la moyenne et la variance

32.Confrontation entre modèle affine et modèle exponentiel

33.Sélection de modèle par comparaison des coefficients de corrélation

34.Analyse critique d'une corrélation fallacieuse et notion de causalité

35.Comparaison de deux tendances d'évolution par régressions linéaires croisées

1. $Nuage de points$

2. $Point moyen$

3. $Ajustement affine$

4. $Prévision$

5. $Nuage de points$

6. $Changement de variable$

7. $Extrapolation$

8. $Représentation graphique d'un nuage de points et choix d'échelle$

9. $Calcul des coordonnées du point moyen d'une série bivariée$

10. $Point moyen d'une série chronologique de chiffre d'affaires$

11. $Interpolation à partir d'une droite d'ajustement affine$

12. $Lecture et interprétation du coefficient de corrélation linéaire$

13. $Extrapolation simple à l'aide d'une droite de régression$

14. $Transformation de données par le logarithme népérien$

15. $Estimation de température par une droite d'ajustement affine$

16. $Calcul manuel complet d'une droite de régression des moindres carrés$

17. $Détermination par le calcul des coefficients de régression linéaire$

18. $Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer$

19. $Comparaison de la droite de Mayer et de la droite des moindres carrés$

20. $Ajustement exponentiel et droite de régression en variable logarithmique$

21. $Retour à la variable initiale après un ajustement logarithmique$

22. $Interprétation physique de la droite de régression et loi d'Ohm$

23. $Regard critique sur une extrapolation linéaire et saturation$

24. $Choix argumenté entre deux transformations de variables$

25. $Modèle de refroidissement thermique et changement de variable logarithmique$

26. $Étalonnage d'un capteur de pression et sensibilité de mesure$

27. $Problème complet d'ajustement affine sur un rendement agricole$

28. $Modélisation de la désintégration radioactive et calcul de la demi-vie$

29. $Distance de freinage et changement de variable quadratique$

30. $Modèle de coût moyen unitaire par changement de variable inverse$

31. $Impact d'une transformation affine de variable sur la moyenne et la variance$

32. $Confrontation entre modèle affine et modèle exponentiel$

33. $Sélection de modèle par comparaison des coefficients de corrélation$

34. $Analyse critique d'une corrélation fallacieuse et notion de causalité$

35. $Comparaison de deux tendances d'évolution par régressions linéaires croisées$