Exercices de Statistique à deux variables en maths Terminale (page 3) | The Maths Tailor
Exercices de Statistique à deux variables, Terminale (page 3)
108 exercices de Statistique à deux variables pour les maths Terminale, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Série statistique à deux variables, Ajustement affine, Ajustement par changement de variable.
Comparaison de deux modèles d'usure par leurs coefficients de corrélation
On mesure l'usure radiale u (en micromètres, notés μm) d'un coussinet de palier mécanique en fonction du nombre d'heures de rotation t (en centaines d'heures) :Dureˊe tiUsure ui1641191616212526Un technicien étudie deux modélisations concurrentes : - Modèle 1 (linéaire direct) : régression de u en t, dont le coefficient de corrélation linéaire vaut r1≈0,981 ; - Modèle 2 (changement de variable parabolique) : on pose xi=ti et on ajuste u en fonction de x.
Q1-Calculer les valeurs de xi=ti pour les cinq mesures.
72.Analyse critique d'une corrélation trompeuse entre ventes de glaces et interventions en mer
Sur une station balnéaire, les services municipaux recensent chaque semaine d'été le nombre de glaces vendues x (en milliers) et le nombre d'interventions de secours en mer auprès des baigneurs y. L'analyse statistique sur l'ensemble de la saison révèle un coefficient de corrélation linéaire très élevé : r=0,96. Un membre du conseil municipal propose alors d'interdire la vente ambulante de glaces sur les plages afin de faire baisser le nombre de noyades et d'accidents de baignade.
Q1-Expliquer pourquoi le raisonnement de cet élu repose sur une confusion méthodologique majeure entre corrélation et causalité.
Q2-Identifier une variable explicative sous-jacente (ou variable de confusion) susceptible d'influencer simultanément les deux grandeurs observées.
Q3-Proposer un protocole d'observation permettant de tester rigoureusement l'impact réel de cette variable explicative commune.
73.Analyse comparative de la vitesse de reboisement sur deux parcelles forestières
L'Office National des Forêts suit la hauteur moyenne y (en mètres, notés m) de jeunes chênes sessiles plantés sur deux parcelles expérimentales au cours des cinq premières années (x=1 à x=5) : - Parcelle A (sol préparé par sous-solage profond) :Anneˊe xiHauteur yA,i11,121,932,643,554,4- Parcelle B (sol témoin sans préparation) :Anneˊe xiHauteur yB,i10,921,432,042,553,1
Q1-Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine par les moindres carrés pour la parcelle A, puis pour la parcelle B.
Q2-Interpréter concrètement les coefficients directeurs obtenus en termes de vitesse de croissance annuelle.
Q3-Selon ces ajustements, prévoir la différence de hauteur entre les arbres des deux parcelles au bout de 10 ans (x=10).
74.Démonstration que la droite des moindres carrés passe par le point moyen
Soit un nuage de n points (xi;yi) associé à une série statistique bivariée (n⩾2), de moyennes respectives xˉ et yˉ. On recherche une droite d'ajustement affine d'équation y=ax+b. À coefficient directeur a fixé, on définit la somme des carrés des écarts verticaux par :S(b)=i=1∑n(yi−axi−b)2
Q1-Développer l'expression de (yi−axi−b)2 en isolant les termes en b.
Q2-En déduire que S(b) s'écrit sous la forme d'un trinôme du second degré en b :S(b)=αb2+βb+γoù l'on exprimera α et β en fonction de n, xˉ, yˉ et a.
75.Démonstration générale de la transformation affine de la moyenne et de la variance
Soit une série statistique de valeurs réelles x1,x2,…,xn d'effectif n (n⩾2), de moyenne xˉ et de variance V(x). Pour deux réels fixés a et b, on définit la série transformée par yi=axi+b pour tout i∈{1;…;n}.
Q1-Démontrer que la moyenne de la série transformée vérifie yˉ=axˉ+b.
Q2-Exprimer l'écart yi−yˉ en fonction de l'écart xi−xˉ.
76.Démonstration du coefficient directeur optimal des moindres carrés
Soit une série bivariée (xi;yi)1⩽i⩽n dont les valeurs de x ne sont pas toutes égales (V(x)>0). On sait que la droite optimale des moindres carrés passe par le point moyen G(xˉ;yˉ). Son équation s'écrit donc y−yˉ=a(x−xˉ). Pour déterminer la pente optimale a, on pose ui=xi−xˉ et vi=yi−yˉ, et on cherche à minimiser la quantité :S(a)=i=1∑n(vi−aui)2
Q1-Développer (vi−aui)2 et montrer que S(a) s'écrit sous la forme d'un trinôme en a :S(a)=Aa2−2Ba+Coù l'on exprimera A, B et C à l'aide de sommes sur les ui et vi.
77.Démonstration de l'équivalence entre régression logarithmique et modèle à taux constant
Soit une série statistique bivariée (xi;yi) où la variable réponse yi est strictement positive (yi>0). On applique le changement de variable zi=ln(yi). On suppose que la droite d'ajustement affine de z en x admet pour équation z=ax+b.
Q1-Démontrer que la relation équivalente reliant y à x s'écrit sous la forme exponentielle y=keax, où k est une constante strictement positive que l'on précisera en fonction de b.
Q2-On pose f(x)=keax. Exprimer le rapport f(x)f(x+1) en fonction de a.
78.Démonstration de la propriété barycentrique de la droite de Mayer
Soit une série bivariée comportant un nombre pair de données N=2p avec p∈N∗, notée (xi;yi)1⩽i⩽2p. On applique la méthode de Mayer en scindant la série en deux sous-groupes de même effectif p : - Le premier groupe rassemble les points d'indices 1 à p, de point moyen G1(xˉ1;yˉ1) ; - Le second groupe rassemble les points d'indices p+1 à 2p, de point moyen G2(xˉ2;yˉ2). Soit G(xˉ;yˉ) le point moyen de la série complète des 2p points.
Q1-Exprimer la somme globale i=1∑2pxi en fonction des moyennes partielles xˉ1 et xˉ2.
79.Coefficient directeur de la droite des moindres carrés par minimisation d'un trinôme
Lors de l'étalonnage d'un capteur de force, on dispose d'une série de mesures (xi;yi)1⩽i⩽n dont les valeurs xi ne sont pas toutes égales. On note G(xˉ;yˉ) le point moyen du nuage. On admet que la droite des moindres carrés passe par G : son équation est donc de la forme y−yˉ=a(x−xˉ), où la pente a est la seule inconnue. On cherche la valeur de a qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux :E(a)=i=1∑n[(yi−yˉ)−a(xi−xˉ)]2
Q1-On pose Xi=xi−xˉ et Yi=yi−yˉ. Écrire E(a) sous la forme d'un trinôme du second degré en a : E(a)=αa2−2βa+γ, où l'on exprimera α et β à l'aide de sommes faisant intervenir Xi et Yi.
80.Configuration graphique d'un nuage de points et choix des unités
Le tableau ci-dessous présente la superficie yi (en hectares) d'un massif forestier reboisé au fil des années d'aménagement xi :xiyi112218325431538
Q1-Préciser le nombre de points qui composent le nuage de points associé à cette série statistique.
Q2-Pour représenter ce nuage dans un repère orthogonal sur une feuille quadrillée disposant d'une largeur utile de 10 cm en abscisse et d'une hauteur utile de 12 cm en ordonnée, proposer une graduation adaptée sur chaque axe.
Q3-Décrire l'allure générale de la disposition des points et indiquer si la mise en place d'un ajustement affine est plausible.
81.Calcul des coordonnées du point moyen d'une série biologique
Lors d'un suivi ornithologique, des chercheurs mesurent l'envergure moyenne yi (en centimètres) de jeunes faucons en fonction de leur âge xi (en semaines) :xiyi2284416558681078
Q1-Calculer l'âge moyen xˉ des individus de cet échantillon.
Q2-Calculer l'envergure moyenne yˉ.
Q3-En déduire les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé.
82.Équation de régression affine d'un capteur et interpolation
Pour étalonner un capteur de force piézoélectrique, on mesure la tension électrique de sortie yi (en volts) en fonction de la force appliquée xi (en newtons) :xiyi43,285,1127,3169,02011,2
Q1-À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
Q2-Utiliser cet ajustement pour estimer la tension mesurée lorsque la force appliquée est égale à 14 N. Arrondir le résultat au centième de volt.
83.Caractérisation d'une corrélation linéaire en écologie urbaine
Une étude sur la qualité de l'air urbain mesure la densité d'arbres d'alignement x (en arbres par hectare) et la concentration moyenne en particules fines y (en microgrammes par mètre cube) dans six secteurs d'une métropole. L'analyse statistique fournit une droite de régression d'équation y=−0,65x+38,2 et un coefficient de corrélation linéaire r=−0,974.
Q1-Quel est le signe du coefficient de corrélation linéaire r ? Qu'indique ce signe sur le sens d'évolution conjoint des deux variables ?
Q2-Qualifier la force de la corrélation linéaire entre la densité arborée et la concentration en particules fines. L'ajustement affine est-il justifié ?
84.Estimation de puissance par extrapolation linéaire
Le raccordement cumulé d'installations photovoltaïques citoyennes dans une communauté de communes a été suivi de l'année 1 à l'année 6. La droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés admet pour équation :y=14,5x+28où x représente le rang de l'année et y la puissance totale raccordée en kilowatts-crête (kWc).
Q1-Selon ce modèle, calculer la puissance raccordée prévisible pour la neuvième année (x=9).
Q2-Préciser pourquoi ce calcul relève d'une extrapolation et non d'une interpolation.
85.Transformation de variable par logarithme népérien
On observe en laboratoire le refroidissement d'un bloc de céramique en relevant sa surtempérature yi (en degrés Celsius par rapport à la température de la pièce) au cours du temps xi (en minutes) :xiyi2148482645825On pose zi=ln(yi) pour chaque mesure.
Q1-Calculer les valeurs transformées zi pour i∈{1;2;3;4}, en arrondissant au centième.
Q2-Présenter le tableau des données transformées associant xi et zi.
86.Calcul algébrique des coefficients de régression sur un essai de traction
Lors d'un essai de traction sur une éprouvette d'alliage métallique, on relève l'effort appliqué xi (en kilonewtons) et l'allongement mesuré yi (en dixièmes de millimètre) :xiyi132538410
Q1-Calculer les moyennes arithmétiques xˉ et yˉ.
Q2-Calculer la variance V(x)=41i=1∑4(xi−xˉ)2 et la covariance Cov(x,y)=41i=1∑4(xi−xˉ)(yi−yˉ).
87.Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer sur une cohorte
On suit l'évolution du nombre d'adhérents yi d'un club nautique au cours des six premières années d'exercice xi :xiyi131023253340435553706385Pour ajuster ce nuage, on applique la méthode de Mayer en scindant la série en deux sous-groupes de trois points : le groupe 1 pour x∈{1;2;3} et le groupe 2 pour x∈{4;5;6}.
Q1-Calculer les coordonnées du point moyen G1 du premier groupe et celles du point moyen G2 du second groupe.
Q2-Déterminer l'équation réduite de la droite (G1G2), dite droite de Mayer.
88.Confrontation entre droite de Mayer et droite des moindres carrés sur une série thermique
On relève la consommation d'énergie de chauffage yi (en mégawattheures) d'un ensemble de bâtiments en fonction du nombre de jours de grand froid xi au cours de quatre hivers d'observation :xiyi211419626836
Q1-Déterminer les coordonnées du point moyen global G(xˉ;yˉ).
Q2-En partageant les données en deux sous-groupes de deux points, déterminer l'équation de la droite de Mayer (G1G2).
89.Régression linéaire après transformation logarithmique sur une réaction enzymatique
L'activité résiduelle yi (en pourcents de l'activité initiale) d'une préparation enzymatique maintenue à température corporelle au cours du temps d'incubation xi (en heures) est relevée ci-dessous :xiyi0100174255341430On pose zi=ln(yi) pour chaque mesure.
Q1-Calculer les valeurs zi arrondies au millième.
Q2-Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de z en x sous la forme z=ax+b par la méthode des moindres carrés (arrondir a et b au millième).
90.Reconstruction d'un modèle exponentiel de trafic réseau
Un opérateur de télécommunications analyse l'augmentation du trafic mensuel de données y (en pétaoctets) en fonction du rang du trimestre x. Après avoir posé z=ln(y), l'ajustement affine obtenu par la méthode des moindres carrés s'écrit :z=0,18x+1,60
Q1-Exprimer y en fonction de x sous la forme y=C×ekx, en précisant la valeur exacte de k et la valeur approchée de C arrondie au centième.
Q2-Réécrire la relation sous la forme y=C×qx, avec q=ek arrondi au millième.
Q3-En déduire le taux de croissance trimestriel moyen prédit par ce modèle, exprimé en pourcentage.
91.Interprétation physique des paramètres d'une droite de régression
Dans une expérience d'électrocinétique, un élève mesure la tension électrique U (en volts) aux bornes d'un générateur en fonction de l'intensité I (en ampères) du courant qu'il débite dans un circuit :IiUi0,104,350,254,120,403,910,553,680,703,45La droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés s'écrit U=−1,49I+4,50 (coefficients arrondis au centième).
Q1-La loi physique du dipôle s'écrit U=E−rI, où E est la force électromotrice du générateur et r sa résistance interne. Identifier les valeurs numériques de E et de r, en précisant leurs unités respectives.
Q2-Déterminer la tension à vide délivrée par ce générateur lorsque le circuit est ouvert (I=0 A).
92.Limites physiques d'une extrapolation affine et effet de saturation
Dans une station d'épuration, on dose l'adjonction d'un réactif coagulant x (en mg/L) et on mesure le pourcentage d'élimination y des particules en suspension, pour des concentrations comprises entre 2 et 8 mg/L. La droite d'ajustement obtenue sur cette plage expérimentale est :y=8,5x+32
Q1-Calculer le taux d'élimination prévu par ce modèle pour une dose x=10 mg/L.
Q2-Calculer le taux d'élimination prévu par ce modèle pour une dose x=15 mg/L.
Q3-Commenter le résultat obtenu pour x=15 mg/L et expliquer pourquoi un modèle affine ne peut pas être prolongé au-delà d'un certain seuil dans un tel contexte.
93.Sélection argumentée entre deux transformations de linéarisation
Un laboratoire de photométrie étudie l'éclairement lumineux E (en lux) produit par une source ponctuelle sur un écran situé à une distance d (en mètres) :diEi1100225311,146,2554,0Pour modéliser cette décroissance rapide, un étudiant hésite entre deux transformations de variable : - Modèle 1 : poser z=ln(E) et ajuster z en fonction de d. - Modèle 2 : poser t=d21 et ajuster E en fonction de t. La calculatrice indique un coefficient de corrélation linéaire r1≈−0,973 pour le modèle 1 et r2≈0,9999 pour le modèle 2 ; pour ce dernier, la droite de régression de E en t a pour équation E≈100,00t−0,003.
Q1-Comparer les valeurs absolues des deux coefficients de corrélation.
Q2-Déterminer quel est le modèle qui réalise le meilleur ajustement linéaire.
Q3-En déduire la nature de la relation mathématique reliant l'éclairement E à la distance d.
94.Problème complet d'ajustement affine sur la dilatation thermique d'un rail
Un laboratoire de génie civil étudie la dilatation thermique linéaire d'un coupon de rail en acier ferritique. On mesure l'allongement ΔLi (en millimètres) en fonction de l'élévation de température θi (en degrés Celsius par rapport à 0∘C) :θiΔLi102,3204,8307,1409,55011,8
Q1-Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série bivariée.
Q2-Déterminer, à l'aide de la calculatrice ou des formules de régression, l'équation de la droite d'ajustement de ΔL en θ par la méthode des moindres carrés (arrondir le coefficient directeur au millième et l'ordonnée à l'origine au centième).
Q3-Vérifier que la droite obtenue passe par le point moyen G.
Q4-Estimer l'allongement prévisible pour une élévation de température de 35∘C (interpolation).
95.Décroissance d'un radioélément et détermination de la période radioactive
On suit l'activité radioactive résiduelle Ai (en mégabecquerels, MBq) d'un isotope médical au fil du temps ti (en jours) :tiAi08002490430061858115
Q1-Poser zi=ln(Ai) et calculer les valeurs zi arrondies au centième.
Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression de z en t par la méthode des moindres carrés sous la forme z=−λt+b, en utilisant les valeurs exactes de ln(Ai) (non arrondies) et en arrondissant λ et b au millième.
96.Ajustement quadratique de la distance de freinage sur sol mouillé
Sur une piste d'essai mouillée, on relève la distance de freinage d'urgence di (en mètres) d'une berline en fonction de sa vitesse initiale vi (en kilomètres par heure) :vidi40146031805610088Pour tenir compte de l'énergie cinétique, on pose ti=vi2.
Q1-Calculer les valeurs ti associées aux vitesses expérimentales.
Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression de d en t sous la forme d=at+b par la méthode des moindres carrés (arrondir a à 10−5 et b au dixième).
97.Effet d'une conversion d'unités affines sur la moyenne et la variance
Une station météorologique d'altitude relève pendant cinq jours consécutifs la température matinale xi (en degrés Celsius) :x1=−5,x2=−2,x3=0,x4=3,x5=4Pour communiquer ces relevés à un partenaire international, on convertit chaque température en degrés Fahrenheit au moyen de la formule affine :yi=1,8xi+32
Q1-Calculer la moyenne xˉ et la variance V(x) de la série initiale (xi).
Q2-Déterminer les valeurs yi pour i∈{1;…;5}, puis calculer directement la moyenne yˉ et la variance V(y).
98.Confrontation entre ajustement linéaire et ajustement exponentiel sur la diffusion d'un podcast
Le nombre cumulé d'écoutes yi (en milliers) d'une nouvelle émission scientifique diffusée en ligne est consigné au fil des cinq premières semaines xi :xiyi14,227,5313,8424,6544,5
Q1-Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine direct de y en x et le coefficient de corrélation associé r1 (arrondir au millième).
Q2-On effectue la transformation zi=ln(yi). Donner les valeurs de zi au centième, puis déterminer l'équation de régression de z en x et le coefficient de corrélation r2.
99.Sélection de modèle de coût unitaire par comparaison des coefficients de corrélation
Une PME spécialisée dans l'injection plastique étudie le coût unitaire de revient yi (en euros par pièce) selon la taille de la série fabriquée xi (en milliers de pièces) :xiyi124,8214,949,858,8106,8Trois transformations sont testées par le contrôleur de gestion : - Modèle 1 (affine direct) : régression de y en x, coefficient r1≈−0,795. - Modèle 2 (exponentiel) : régression de z=ln(y) en x, coefficient r2≈−0,881. - Modèle 3 (inverse) : régression de y en u=x1, coefficient r3≈0,99998.
Q1-Comparer les performances des trois modèles à l'aide de leurs coefficients de corrélation linéaire et justifier la sélection du modèle 3.
Q2-La droite de régression du modèle 3 a pour équation y=20,02u+4,81. Exprimer le coût unitaire y en fonction de la taille de série x.
Q3-Estimer le coût unitaire de fabrication pour une série de 8000 pieˋces (x=8).
100.Analyse critique d'une corrélation fallacieuse entre ventes de parasols et noyades
Une étude statistique portant sur dix zones balnéaires durant la saison estivale met en évidence une corrélation linéaire positive très forte (r=0,94) entre le nombre quotidien de parasols loués sur la plage (x) et le nombre d'interventions des secours en mer pour début de noyade (y). Un commentateur conclut : « Pour réduire les noyades, il faut impérativement restreindre la location des parasols ».
Q1-Expliquer pourquoi la conclusion de ce commentateur constitue une erreur logique d'interprétation.
Q2-Proposer un tiers facteur (ou variable confondante) expliquant rationnellement la corrélation observée entre ces deux grandeurs.
Q3-Formuler la différence conceptuelle essentielle entre une corrélation statistique et un lien de causalité.
101.Comparaison de deux tendances d'installation solaire par régressions linéaires croisées
On analyse le développement de l'énergie photovoltaïque dans deux régions voisines A et B. Les séries de puissance totale raccordée yA et yB (en mégawatts, MW) selon le rang de l'année x (x=1 en 2020 jusqu'à x=3 en 2022) conduisent aux droites d'ajustement suivantes :Reˊgion A:yA=4,2x+18,0Reˊgion B:yB=6,5x+9,0
Q1-Interpréter la valeur des coefficients directeurs 4,2 et 6,5 dans le contexte de la transition énergétique locale.
Q2-Selon ce modèle, déterminer par le calcul le rang de l'année à partir duquel la puissance totale raccordée dans la région B dépassera celle de la région A, et préciser l'année calendaire correspondante.
Q3-Quelles réserves convient-il d'émettre quant à la fiabilité de cette conclusion prospective ?
102.Démonstration de l'alignement du point moyen avec la droite optimale
Soit une série statistique de n points (xi;yi) avec n⩾2. On cherche une droite d'ajustement affine d'équation y=ax+b. Pour un coefficient directeur a fixé, la méthode des moindres carrés détermine l'ordonnée à l'origine b qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux :S(b)=i=1∑n(yi−axi−b)2
Q1-En écrivant (yi−axi−b)2=((yi−axi)−b)2, développer cette expression et montrer que S(b) s'écrit sous la forme d'un trinôme du second degré en b :S(b)=nb2−2(i=1∑n(yi−axi))b+i=1∑n(yi−axi)2
103.Propriétés théoriques du changement de variable affine sur les paramètres de position et dispersion
Soit une série statistique quantitative (x1,x2,…,xn) d'effectif n⩾2, de moyenne xˉ et de variance :V(x)=n1i=1∑n(xi−xˉ)2Soient a et b deux réels. On définit la série transformée (y1,y2,…,yn) par yi=axi+b pour tout i∈{1,…,n}.
Q1-Démontrer que la moyenne de la série transformée est yˉ=axˉ+b.
Q2-Établir que pour tout i∈{1,…,n}, on a l'égalité yi−yˉ=a(xi−xˉ).
104.Minimisation quadratique et formule analytique de la pente de régression
On considère une série bivariée (xi;yi)1⩽i⩽n avec n⩾2. Sachant que la droite des moindres carrés passe par le point moyen G(xˉ;yˉ), son ordonnée à l'origine vérifie b=yˉ−axˉ. La somme des carrés des écarts verticaux devient alors une fonction de la seule variable a :S(a)=i=1∑n((yi−yˉ)−a(xi−xˉ))2On suppose que les valeurs xi ne sont pas toutes identiques.
Q1-Développer l'expression sous la somme et écrire S(a) sous la forme d'un trinôme en a :S(a)=αa2−2βa+γoù l'on exprimera α, β et γ à l'aide de sommes portant sur (xi−xˉ) et (yi−yˉ).
105.Lien formel entre ajustement semi-logarithmique et évolution à taux relatif constant
Soit une série bivariée (xi;yi) dont toutes les ordonnées sont strictement positives (yi>0). On pose zi=ln(yi) et on suppose que la série transformée admet un ajustement affine donné par z=ax+b avec a=0.
Q1-Démontrer que la relation z=ax+b équivaut à y=keax, où k est une constante strictement positive dont on précisera l'expression en fonction de b.
Q2-On considère la fonction continue f définie sur R par f(x)=keax. Démontrer que pour tout réel x, le quotient f(x)f(x+1) est constant et égal à ea.
Déterminer l'équation exacte de la droite reliant u à x, et calculer son coefficient de corrélation linéaire r2.
Q3-Conclure sur le modèle à privilégier et estimer l'usure au bout de 36 centaines d'heures (3600h).
Q3-Déterminer la valeur b∗ qui minimise la fonction S(b) et en déduire que le point moyen G(xˉ;yˉ) appartient nécessairement à la droite optimale.
Q3-En déduire que la variance vérifie V(y)=a2V(x) et que l'écart-type vérifie σy=∣a∣σx.
Q4-Qu'en conclut-on pour une translation pure (a=1) ?
Q2-Justifier que A>0 et exprimer A et B en fonction de n, V(x) et Cov(x,y).
Q3-En déduire la valeur optimale a∗ minimisant S(a) et retrouver la formule officielle a∗=V(x)Cov(x,y).
Q3-En déduire que le taux d'évolution relatif de y lorsque x augmente d'une unité est constant et vaut τ=ea−1.
Q4-Dans le cas où ∣a∣≪1 (c'est-à-dire pour a proche de 0), quelle approximation usuelle de τ retrouve-t-on grâce au nombre dérivé de l'exponentielle en 0 ?
Q2-En déduire que xˉ=2xˉ1+xˉ2.
Q3-Établir de même que yˉ=2yˉ1+yˉ2.
Q4-En déduire que G est le milieu du segment [G1G2] et qu'il appartient toujours à la droite d'ajustement de Mayer.
Q2-Justifier que α>0, déterminer la pente a∗ qui minimise E(a), puis montrer que a∗=V(x)Cov(x,y).
Q3-Application : un capteur fournit les mesures (1;2,1), (2;3,9) et (3;6,0). Calculer les coordonnées de G, la pente a∗, puis l'équation réduite de la droite des moindres carrés.
Q3-En déduire les coefficients a=V(x)Cov(x,y) et b=yˉ−axˉ de la droite d'ajustement des moindres carrés y=ax+b.
Q3-Estimer le nombre d'adhérents à prévoir pour l'année de rang x=8 selon cet ajustement.
Q3-Sachant que la variance de x vaut V(x)=5 et que la covariance vaut Cov(x,y)=20,5, donner l'équation de la droite des moindres carrés.
Q4-Vérifier si le point moyen global G appartient à la droite de Mayer et à la droite des moindres carrés, puis comparer les pentes obtenues.
Expliquer pourquoi cette transformation logarithmique est appropriée pour modéliser une cinétique de décroissance d'allure exponentielle.
Calculer l'intensité théorique du courant de court-circuit, correspondant à une tension nulle entre les bornes (U=0 V).
Q3-En déduire l'expression modélisée de l'activité sous la forme A(t)=A0e−λt où A0 est arrondi à l'unité.
Q4-Calculer la demi-vie (ou période radioactive) T1/2 de cet isotope, définie par T1/2=λln2, arrondie au dixième de jour.
Q5-Extrapoler l'activité résiduelle au bout de 14 jours.
Q3-En déduire l'expression de la distance de freinage d en fonction de la vitesse v.
Q4-Estimer la distance de freinage pour une vitesse de 110 km/h.
Q3-Vérifier que yˉ=1,8xˉ+32 et que V(y)=1,82×V(x).
Q4-Quelle est la conséquence de la constante 32 sur l'écart-type de la série ?
Q3-Confronter la pertinence des deux ajustements au vu des coefficients de corrélation et de l'allure des données.
Q4-Prévoir le nombre d'écoutes cumulées pour la sixième semaine (x=6) à l'aide du modèle retenu.
Q2-Justifier que la fonction b↦S(b) admet un minimum strict en une unique valeur b0.
Q3-Exprimer b0 à l'aide des moyennes xˉ=n1i=1∑nxi et yˉ=n1i=1∑nyi, et démontrer que b0=yˉ−axˉ.
Q4-En déduire que la droite d'ajustement des moindres carrés passe obligatoirement par le point moyen G(xˉ;yˉ).
Q3-En déduire que la variance vérifie V(y)=a2V(x) et que l'écart-type vérifie σ(y)=∣a∣σ(x).
Q4-Expliquer géométriquement et statistiquement pourquoi la constante b décale la moyenne sans influencer la dispersion.
Q2-Justifier que α>0 et en déduire que la fonction a↦S(a) admet un minimum strict pour une unique valeur a0.
Q3-Exprimer a0 en fonction de α et β.
Q4-Relier α à la variance V(x)=n1i=1∑n(xi−xˉ)2 et β à la covariance Cov(x,y)=n1i=1∑n(xi−xˉ)(yi−yˉ), puis en déduire la formule officielle a0=V(x)Cov(x,y).
Q3-En déduire que le taux d'évolution relatif d'une unité à la suivante, défini par t=f(x)f(x+1)−f(x), est constant et vaut ea−1.
Q4-À l'aide de l'approximation affine eu≈1+u pour u proche de 0, justifier pourquoi le coefficient a s'interprète directement comme le taux d'évolution relatif lorsque ∣a∣ est très petit.
