Exercices de Statistique à deux variables en maths Terminale (page 2)

37. $Ajustement affine de la consommation de carburant selon la charge$

On teste la consommation moyenne

C

(en litres aux 100 kilomètres, L/100 km) d'un utilitaire de livraison selon la charge utile

m

transportée (en centaines de kilogrammes) :

| Charge

m_{i}

(centaines de kg) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| Consommation

C_{i}

(L/100 km) | 6{,}8 | 7{,}5 | 8{,}1 | 8{,}8 | 9{,}4 |

Q1-Déterminer par le calcul les coordonnées du point moyen

G

Q2-Calculer la variance

V (m)

et la covariance

Cov (m, C)

. En déduire l'équation de la droite des moindres carrés de

C

m

Q3-Donner la signification de l'ordonnée à l'origine dans ce contexte.

Q4-Estimer la consommation prévisible pour une charge de

1200 kg

(soit

m = 12

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38. $Démonstration du passage de la droite des moindres carrés par le point moyen$

Soit

(x_{i}; y_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n}

une série statistique à deux variables quantitatives, de point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

.
On cherche à ajuster ce nuage par une droite d'équation

y = a x + b

.
Pour un coefficient directeur

a

fixé quelconque, la qualité de l'ajustement est mesurée par la somme des carrés des résidus verticaux, définie par :

S (b) = i = 1 \sum n (y_{i} - a x_{i} - b)^{2}

Q1-En posant pour tout

i \in {1, \dots, n}

u_{i} = y_{i} - a x_{i}

, développer le terme

(u_{i} - b)^{2}

et exprimer

S (b)

sous la forme d'un polynôme du second degré en

b

S (b) = A b^{2} + B b + C

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39. $Démonstration générale de l'effet d'une transformation affine sur la moyenne et la variance$

Soit

(x_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n}

une série statistique quantitative de moyenne

\overset{x}{ˉ}

et de variance

V (x)

.
Pour deux réels

a

b

fixés, on définit pour tout

i \in {1, \dots, n}

la série transformée par :

y_{i} = a x_{i} + b

Q1-Démontrer que la moyenne de la série transformée vérifie

\overset{y}{ˉ} = a \overset{x}{ˉ} + b

Q2-Établir que pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on a l'égalité :

y_{i} - \overset{y}{ˉ} = a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})

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40. $Démonstration de la formule du coefficient directeur de la droite des moindres carrés$

On considère une série statistique

(x_{i}; y_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n}

dont les valeurs

x_{i}

ne sont pas toutes égales (

V (x) > 0

).
On sait que la droite optimale des moindres carrés passe par le point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

, ce qui impose la relation

b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}

.
L'écart vertical pour chaque point s'écrit alors

(y_{i} - \overset{y}{ˉ}) - a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})

.
La somme des carrés des résidus ne dépend donc plus que de la pente

a

S (a) = i = 1 \sum n [(y_{i} - \overset{y}{ˉ}) - a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})]^{2}

Q1-Développer l'expression entre crochets et montrer que

S (a)

s'écrit sous la forme d'un trinôme en

a

S (a) = A a^{2} - 2 B a + C

où l'on exprimera

A

B

C

à l'aide de sommes faisant intervenir

(x_{i} - \overset{x}{ˉ})

(y_{i} - \overset{y}{ˉ})

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41. $Démonstration du lien entre régression logarithmique et taux de croissance géométrique$

On considère une série statistique

(x_{i}; y_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n}

où toutes les valeurs de

y_{i}

sont strictement positives.
On pose

z = ln y

et on suppose qu'un ajustement affine

z = a x + b

est adapté.

Q1-Démontrer que la grandeur

y

s'exprime en fonction de

x

sous la forme

y = k e^{a x}

, où

k

est une constante strictement positive que l'on précisera en fonction de

b

Q2-Démontrer que pour tout réel

x

, le rapport

\frac{y ( x + 1 )}{y ( x )}

est indépendant de

x

et vaut

e^{a}

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42. $Démonstration de la propriété du point moyen dans la méthode de Mayer$

On considère une série statistique bivariée de

2 p

points

(x_{i}; y_{i})_{1 ⩽ i ⩽ 2 p}

.
Dans la méthode de Mayer, on scinde cette série en deux sous-groupes de même effectif

p

:
- Groupe 1 : constitué des

p

premiers points, pour

i \in {1, \dots, p}

, de point moyen noté

G_{1} (\overset{x}{ˉ}_{1}; \overset{y}{ˉ}_{1})

.
- Groupe 2 : constitué des

p

points suivants, pour

i \in {p + 1, \dots, 2 p}

, de point moyen noté

G_{2} (\overset{x}{ˉ}_{2}; \overset{y}{ˉ}_{2})

.
Le point moyen de l'ensemble des

2 p

points de la série globale est noté

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

Q1-Exprimer

\overset{x}{ˉ}_{1}

\overset{x}{ˉ}_{2}

à l'aide des symboles de sommation.

Q2-Démontrer que

\overset{x}{ˉ} = \frac{x ˉ _{1} + x ˉ _{2}}{2}

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43. $Minimisation des moindres carrés pour une droite d'ajustement passant par l'origine$

Dans certaines lois physiques (loi de Hooke pour un ressort, loi d'Ohm, loi de Beer-Lambert), une grandeur

y

est théoriquement proportionnelle à

x

sans terme constant (

y = a x

). La droite d'ajustement est donc contrainte de passer par l'origine

(0; 0)

.
On dispose d'une série de mesures

(x_{i}; y_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n}

où au moins l'une des valeurs

x_{i}

est non nulle.
On cherche la valeur du coefficient directeur

a

qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux :

S (a) = i = 1 \sum n (y_{i} - a x_{i})^{2}

Q1-Développer le terme

(y_{i} - a x_{i})^{2}

et exprimer

S (a)

sous la forme d'une fonction trinôme de

a

S (a) = α a^{2} - 2 β a + γ

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1. Développons le carré sous la somme pour chaque indice

i

(y_{i} - a x_{i})^{2} = a^{2} x_{i}^{2} - 2 a x_{i} y_{i} + y_{i}^{2}

En sommant de

i = 1

n

S (a) = (i = 1 \sum n x_{i}^{2}) a^{2} - 2 (i = 1 \sum n x_{i} y_{i}) a + i = 1 \sum n y_{i}^{2}

Il s'agit bien d'une fonction polynôme du second degré en

a

de la forme

S (a) = α a^{2} - 2 β a + γ

, avec :
-

α = i = 1 \sum n x_{i}^{2}

β = i = 1 \sum n x_{i} y_{i}

γ = i = 1 \sum n y_{i}^{2}

2. Les nombres

x_{i}^{2}

sont tous positifs ou nuls. Comme au moins une des valeurs

x_{i}

est non nulle, leur somme est strictement positive :

α = i = 1 \sum n x_{i}^{2} > 0

.
Le coefficient du terme de degré 2 étant strictement positif, la parabole représentant

S

est tournée vers le haut :

S

admet un unique minimum absolu sur

R

.

3. Le minimum d'un trinôme de la forme

α a^{2} - 2 β a + γ

avec

α > 0

est atteint au sommet de la parabole, pour :

a = - \frac{- 2 β}{2 α} = \frac{β}{α}

En remplaçant

α

β

par leurs sommes respectives, on obtient :

a = \frac{\sum _{i = 1}^{n} x _{i} y _{i}}{\sum _{i = 1}^{n} x _{i}^{2}}

4. Comparaison avec la droite des moindres carrés ordinaire :
- Pour la régression ordinaire à deux paramètres (

y = a_{ord} x + b

), la pente vaut

a_{ord} = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}

. Les grandeurs sont centrées par rapport aux moyennes

\overset{x}{ˉ}

\overset{y}{ˉ}

, et la droite passe obligatoirement par le point moyen

G

.
- Dans le cas présent, la droite est forcée de passer par l'origine

(0; 0)

, ce qui supprime le degré de liberté sur

b

(

b = 0

). Les grandeurs de la formule de

a

ne sont pas centrées mais calculées par rapport à l'origine.
Par conséquent, la droite contrainte

y = a x

ne passe pas en général par le point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

, sauf si

\overset{y}{ˉ} = a \overset{x}{ˉ}

. Cette égalité n'exige pas que le nuage soit aligné avec l'origine : elle a lieu dès que la droite des moindres carrés ordinaire passe elle-même par l'origine, les deux droites étant alors confondues (la droite ordinaire, la meilleure de toutes, est alors aussi la meilleure parmi celles qui passent par l'origine). Par exemple, pour les points non alignés

(1; 1)

(2; 0)

(3; 2)

, on trouve

a = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}

, la droite ordinaire est

y = \frac{1}{2} x

, et

a \overset{x}{ˉ} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 = \overset{y}{ˉ}

44. $Placement de points et graduation pour un suivi de production hydroélectrique$

Un exploitant de centrale hydroélectrique relève le débit moyen

x

d'un cours d'eau (en

m^{3} /s

) et la puissance électrique produite

y

(en mégawatts, notés

MW

) sur cinq journées types :

D \overset{e}{ˊ} bit x_{i} (en m^{3} /s) Puissance y_{i} (en MW) 12361545185322642572

Q1-Donner les coordonnées de chacun des cinq points du nuage associé à cette série statistique.

Q2-Déterminer une échelle appropriée sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées pour représenter ce nuage dans un repère orthogonal de dimensions

10 cm \times 10 cm

Q3-Décrire l'allure générale du nuage de points et préciser si un ajustement affine semble envisageable.

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45. $Coordonnées du point moyen d'une série de mesures acoustiques$

Un technicien en acoustique mesure le niveau sonore résiduel

y

(en décibels, notés

dB

) émis par un compresseur en fonction de la distance

x

(en mètres, notés

m

) séparant le récepteur de la machine.

Distance x_{i} (en m) Niveau sonore y_{i} (en dB) 2784726678631060

Calculer les coordonnées du point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

de ce nuage de points.

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46. $Point moyen d'un relevé agronomique de biomasse$

Dans le cadre d'un essai agronomique, une coopérative mesure le rendement en matière sèche

y

(en quintaux par hectare, notés

q/ha

) d'une variété de céréale selon l'apport d'engrais potassique

x

(en kilogrammes par hectare, notés

kg/ha

) sur six parcelles d'essai :

Apport x_{i} (en kg/ha) Rendement y_{i} (en q/ha) 20444052605880661007012076

Déterminer les coordonnées exactes du point moyen

G

de ce nuage de points.

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47. $Interpolation de la consommation électrique d'un atelier$

Dans un atelier de fabrication, on modélise la puissance électrique globale appelée

y

(en kilowatts, notés

kW

) en fonction du nombre

x

de machines-outils en fonctionnement simultané (

5 ⩽ x ⩽ 25

).
La droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation :

y = 1, 85 x + 14, 2

Q1-Donner la signification concrète des coefficients

1, 85

14, 2

dans le cadre de cet atelier.

Q2-Estimer la puissance totale consommée lorsque

16

machines fonctionnent en même temps.

Q3-Préciser si cette estimation relève d'une interpolation ou d'une extrapolation.

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48. $Qualification de la corrélation entre la masse et la taille de jeunes plants$

Un institut horticole étudie un échantillon de

30

jeunes plants de tournesol. Pour chaque plant, on mesure la hauteur de la tige

x

(en centimètres) et la masse sèche totale

y

(en grammes).
Le logiciel de traitement statistique indique un coefficient de corrélation linéaire égal à

r = 0, 94

Q1-Préciser la signification du signe du coefficient

r

Q2-Qualifier l'intensité de la corrélation linéaire entre la hauteur et la masse sèche.

Q3-Un ajustement affine de la masse sèche en fonction de la hauteur est-il justifié ?

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49. $Interprétation d'un coefficient de corrélation négatif en aérodynamique$

Lors d'un essai en soufflerie, des capteurs mesurent la vitesse d'écoulement de l'air

v

(en mètres par seconde, notés

m/s

) le long de l'extrados d'un profil aérodynamique et la pression statique locale correspondante

p

(en hectopascals, notés

hPa

).
Le calcul statistique sur l'ensemble des mesures fournit un coefficient de corrélation linéaire

r = - 0, 92

Q1-Que traduit le signe négatif du coefficient

r

quant à l'évolution conjointe de la vitesse et de la pression ?

Q2-Qualifier la force du lien linéaire entre ces deux variables.

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50. $Extrapolation simple de la fréquentation d'une médiathèque$

Le service culturel d'une agglomération recense le nombre annuel d'usagers inscrits

y

(en milliers) au sein de son réseau de médiathèques. Le rang

x = 1

correspond à l'année 2018 et le rang

x = 6

correspond à l'année 2023.
La droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés s'écrit :

y = 3, 4 x + 18, 5

Q1-Déterminer le rang

x

associé à l'année 2026.

Q2-Estimer, selon ce modèle, le nombre d'usagers inscrits en 2026.

Q3-Indiquer s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.

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51. $Changement de variable logarithmique sur une série de viscosité$

On mesure en laboratoire la viscosité dynamique

y

(en millipascals-secondes, notés

mPa \cdot s

) d'une huile synthétique en fonction de sa température

x

(en degrés Celsius, notés

^{\circ} C

) :

Temp \overset{e}{ˊ} rature x_{i} (en^{\circ} C) Viscosit \overset{e}{ˊ} y_{i} (en mPa \cdot s) 1085204230214010

On applique le changement de variable

z_{i} = ln (y_{i})

Q1-Recopier et compléter le tableau avec les valeurs de

z_{i}

arrondies au centième.

Q2-Justifier succinctement pourquoi un ajustement affine direct de

y

x

n'est pas adapté.

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52. $Détermination manuelle d'une droite de régression par les variances et covariances$

Dans une expérience de chimie, on suit la quantité d'un précipité

y

(en grammes) formée au bout d'une durée

x

(en minutes) :

Dur \overset{e}{ˊ} e x_{i} Masse y_{i} 132538412

Q1-Calculer les moyennes

\overset{x}{ˉ}

\overset{y}{ˉ}

Q2-Calculer la variance

V (x)

et la covariance

Cov (x, y)

Q3-En déduire les coefficients

a

b

de la droite de régression de

y

x

sous la forme

y = a x + b

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53. $Calcul pas à pas des coefficients de régression sur une série mécanique$

Sur un banc d'essai mécanique, on applique une force de traction

x

(en kilonewtons, notés

kN

) et on relève l'élongation élastique

y

(en dixièmes de millimètre) d'une éprouvette métallique :

Force x_{i} \overset{ˊ}{E} longation y_{i} 274116148181020

Q1-Calculer les coordonnées du point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

Q2-Montrer que

V (x) = 8

et que

Cov (x, y) = 13, 2

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54. $Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer sur un suivi de turbidité$

On mesure la turbidité

y

(en unités néphélométriques,

NFU

) d'un bassin de décantation en fonction de la concentration en particules

x

(en

mg/L

) :

x_{i} y_{i} 254961381810221226

On utilise la méthode de Mayer en séparant la série en deux sous-groupes de trois points :
- Groupe 1 : pour les indices

i \in {1; 2; 3}

;
- Groupe 2 : pour les indices

i \in {4; 5; 6}

Q1-Déterminer les coordonnées des points moyens

G_{1}

G_{2}

de chaque groupe.

Q2-Déterminer l'équation de la droite de Mayer

(G_{1} G_{2})

sous la forme

y = a x + b

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55. $Confrontation entre la droite de Mayer et la droite des moindres carrés$

Une série d'essais sur un vérin hydraulique fournit six mesures du débit de fuite

y

(en centilitres par minute) en fonction de la pression de consigne

x

(en bars) :

x_{i} y_{i} 142639411514616

La méthode des moindres carrés donne pour droite de régression :

y = \frac{86}{35} x + 1, 4

(soit environ

y \approx 2, 46 x + 1, 40

Q1-Déterminer l'équation exacte de la droite de Mayer en scindant la série en deux groupes de trois points.

Q2-Comparer les pentes et ordonnées à l'origine des deux droites d'ajustement.

Q3-Quelle propriété géométrique fondamentale ces deux droites partagent-elles vis-à-vis du point moyen global

G

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56. $Régression linéaire après transformation logarithmique sur une culture de levures$

On dénombre la population

y

(en millions d'individus) d'une culture de levures au cours du temps

x

(en heures) :

Temps x_{i} Population y_{i} 015125241367

On applique le changement de variable

z_{i} = ln (y_{i})

Q1-Calculer les valeurs

z_{i}

arrondies au millième.

Q2-Déterminer, à l'aide des moyennes et variances des données transformées, l'équation de la droite de régression de

z

x

sous la forme

z = a x + b

(arrondir

a

b

au centième).

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57. $Restitution d'un modèle exponentiel après ajustement logarithmique$

Lors de l'étude d'un processus biologique en milieu renouvelé, la régression linéaire sur la variable transformée

z = ln (y)

a conduit à la droite d'ajustement :

z = 0, 35 x + 1, 60

Q1-Exprimer

y

en fonction de

x

sous la forme

y = k e^{a x}

, où

k

est une constante arrondie au centième.

Q2-En déduire une expression de

y

sous la forme

y = k \times q^{x}

, avec

q

arrondi au millième.

Q3-Interpréter concrètement la valeur de

q

en termes de taux de croissance par unité de temps.

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58. $Détermination de la résistance interne d'un générateur par ajustement affine$

Pour caractériser une pile électrochimique, un élève mesure la tension

U

à ses bornes (en volts, notés

V

) pour différentes intensités de courant

I

débité (en ampères, notés

A

) :

Intensit \overset{e}{ˊ} I_{i} Tension U_{i} 0, 2 4, 32 0, 4 4, 14 0, 6 3, 96 0, 8 3, 78 1, 0 3, 60

La loi physique d'un générateur réel s'écrit

U = E - r I

, où

E

est la force électromotrice à vide et

r

la résistance interne.

Q1-Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine reliant

U

I

Q2-En déduire la valeur expérimentale de la force électromotrice

E

(en

V

) et celle de la résistance interne

r

(en ohms, notés

Ω

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59. $Estimation de la capacité thermique par modélisation affine de l'énergie absorbée$

On chauffe un bloc d'aluminium à l'aide d'une résistance électrique et on consigne l'énergie thermique fournie

Q

(en kilojoules, notés

kJ

) en fonction de l'élévation de température observée

Δ T

(en degrés Celsius, notés

^{\circ} C

) :

\overset{ˊ}{E} l \overset{e}{ˊ} vation x_{i} = Δ T \overset{ˊ}{E} nergie y_{i} = Q 5 21, 5 10 42, 8 15 64, 0 20 85, 1 25 106, 4

Le modèle thermique théorique s'écrit

Q = C Δ T + Q_{0}

, où

C

est la capacité thermique du bloc et

Q_{0}

l'énergie dissipée au démarrage.

Q1-Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

y = a x + b

(arrondir les coefficients au centième).

Q2-Donner la valeur estimée de la capacité thermique

C

en précisant son unité.

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60. $Limites physiques d'une extrapolation linéaire pour le taux d'humidité d'un matériau$

Lors du séchage industriel de madriers de chêne, on suit le taux d'humidité massique

y

(en pourcentage, noté

%

) en fonction de la durée de séjour sous séchoir

x

(en semaines) pour

x \in [1; 8]

.
L'ajustement affine obtenu par les moindres carrés donne l'équation :

y = - 2, 1 x + 28

Q1-Calculer le taux d'humidité estimé au bout de

4

semaines de séchage.

Q2-Estimer le taux d'humidité au bout de

15

semaines selon ce modèle. Que constate-t-on ?

Q3-Expliquer pourquoi l'ajustement affine cesse d'être pertinent pour de grandes durées de séchage.

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61. $Choix entre ajustement affine et changement de variable inverse pour la vitesse d'écoulement$

On mesure le temps de vidange

T

(en secondes) d'un réservoir d'huile à travers un orifice circulaire selon le diamètre

d

de l'orifice (en centimètres) :

Diam \overset{e}{ˋ} tre d_{i} Temps T_{i} 1100225 4 6, 2 5 4, 0

On propose deux transformations de la variable

d

:
- Modèle A : ajustement direct

T = a d + b

;
- Modèle B : changement de variable

u = \frac{1}{d ^{2}}

, puis ajustement

T = a u + b

Q1-Calculer les valeurs de

u_{i} = \frac{1}{d _{i}^{2}}

associées aux quatre mesures.

Q2-Observer l'évolution de

T

en fonction de

u

et justifier que le modèle B est nettement plus cohérent avec la physique du système.

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62. $Sélection d'une transformation de variable pour l'atténuation d'un signal optique$

La puissance

P

(en milliwatts, notés

mW

) d'un faisceau laser diminue lors de la traversée d'une cuve de solution absorbante de longueur

x

(en centimètres) :

\overset{ˊ}{E} paisseur x_{i} Puissance P_{i} 1 60, 6 2 36, 8 3 22, 3 4 13, 5

Un chercheur hésite entre deux changements de variable pour modéliser cette atténuation :
- Choix 1 :

z = P

;
- Choix 2 :

z = ln (P)

Q1-Calculer les valeurs de

z

pour le choix 1, puis pour le choix 2 (arrondir au centième).

Q2-En examinant les écarts successifs

Δ z = z_{i + 1} - z_{i}

, déterminer quel choix linéarise le mieux la série et citer la loi physique associée.

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63. $Problème complet d'ajustement affine sur la résistance mécanique d'un béton$

Un laboratoire de génie civil teste la résistance à la compression

y

(en mégapascals, notés

MPa

) d'un béton après 28 jours de cure selon le dosage en ciment

x

(en kilogrammes par mètre cube de béton, notés

kg/ m^{3}

) :

Dosage x_{i} R \overset{e}{ˊ} sistance y_{i} 250223002735031400374504150046

Q1-Calculer les coordonnées du point moyen

G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

Q2-Déterminer la variance

V (x)

ainsi que la covariance

Cov (x, y)

Q3-En déduire l'équation de la droite d'ajustement de

y

x

sous la forme

y = a x + b

par la méthode des moindres carrés (arrondir

a

au millième et

b

au dixième).

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64. $Modélisation globale de l'effort de coupe d'une machine-outil$

Lors d'une opération de tournage industriel, on enregistre l'effort de coupe tangentiel

F

(en newtons, notés

N

) exercé sur l'outil en fonction de l'avance par tour

f

(en millimètres par tour, notés

mm/tr

) :

Avance x_{i} = f Effort y_{i} = F 0, 10 320 0, 15 460 0, 20 610 0, 25 750 0, 30 890

Q1-Calculer les coordonnées du point moyen

G

Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression de

y

x

par la méthode des moindres carrés.

Q3-Estimer l'effort de coupe pour une avance de réglage intermédiaire

f = 0, 22 mm/tr

Q4-La broche de la machine tolère un effort maximal de

1100 N

. Déterminer l'avance maximale autorisée.

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65. $Étude complète de la décharge d'un condensateur par transformation exponentielle$

On étudie la tension

U

(en volts, notés

V

) aux bornes d'un condensateur se déchargeant à travers un dipôle ohmique au cours du temps

t

(en millisecondes, notées

ms

) :

Temps t_{i} Tension U_{i} 2 9, 05 4 7, 40 6 6, 05 8 4, 95 10 4, 05

La théorie prédit une décharge sous la forme

U (t) = U_{0} e^{- t / τ}

, où

τ

est la constante de temps du circuit.

Q1-On pose

z_{i} = ln (U_{i})

. Donner les valeurs de

z_{i}

arrondies au millième.

Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression de

z

t

sous la forme

z = a t + b

(arrondir

a

au millième et

b

au centième).

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66. $Cinétique d'une réaction chimique d'ordre 1 et extrapolation$

Lors du suivi cinétique d'une réaction chimique en phase liquide, on relève la concentration résiduelle

C

d'un réactif (en millimoles par litre, notées

mmol/L

) en fonction du temps

t

(en minutes) :

Temps t_{i} Concentration C_{i} 5 41, 2 10 28, 3 15 19, 5 20 13, 4 25 9, 2

Pour une réaction d'ordre 1, la loi cinétique s'écrit

ln (C) = - k t + ln (C_{0})

, où

k

est la constante de vitesse.

Q1-Poser

y_{i} = ln (C_{i})

et calculer les valeurs correspondantes au centième.

Q2-Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine reliant

y

t

Q3-En déduire la valeur de la constante de vitesse

k

(en

mi n^{- 1}

) et la concentration initiale théorique

C_{0}

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67. $Modélisation de la puissance éolienne par changement de variable cubique$

La puissance électrique

P

(en kilowatts, notés

kW

) fournie par une éolienne dépend de la vitesse du vent incident

v

(en mètres par seconde, notés

m/s

) :

Vitesse v_{i} Puissance P_{i} 41953866571038154

La mécanique des fluides indique que la puissance cinétique du vent est proportionnelle au cube de sa vitesse. On effectue le changement de variable

t_{i} = v_{i}^{3}

Q1-Calculer les valeurs

t_{i} = v_{i}^{3}

pour chaque mesure.

Q2-Déterminer l'équation de la droite de régression des moindres carrés de

P

t

sous la forme

P = a t + b

(arrondir

a

au millième et

b

à l'unité).

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68. $Ajustement de la période d'un pendule simple par changement de variable racine carrée$

On mesure la période d'oscillation

T

(en secondes, notées

s

) d'un pendule simple de masse ponctuelle en faisant varier la longueur du fil

L

(en mètres, notés

m

) :

Longueur L_{i} P \overset{e}{ˊ} riode T_{i} 0, 25 1, 00 0, 49 1, 40 0, 81 1, 81 1, 00 2, 01 1, 44 2, 41

La formule théorique pour les petites oscillations est

T = 2 π \frac{L}{g}

. On pose

u_{i} = L_{i}

Q1-Calculer les valeurs exactes de

u_{i} = L_{i}

Q2-Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

T = a u + b

(arrondir

a

au centième et

b

au millième).

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69. $Effet d'un changement d'échelle de température sur la moyenne et l'écart-type$

Une station météorologique d'altitude a enregistré les températures quotidiennes minimales

x_{i}

(en degrés Celsius, notés

^{\circ} C

) sur un mois de 30 jours. L'analyse statistique donne :
- Moyenne :

\overset{x}{ˉ} = 5^{\circ} C

;
- Variance :

V (x) = 16 (^{\circ} C)^{2}

;
- Écart-type :

σ_{x} = 4^{\circ} C

.

Pour un échange avec un laboratoire américain, on convertit toutes les températures en degrés Fahrenheit (notés

^{\circ} F

) par la relation affine

y_{i} = 1, 8 x_{i} + 32

Q1-Démontrer que la moyenne de la série convertie vérifie

\overset{y}{ˉ} = 1, 8 \overset{x}{ˉ} + 32

et calculer sa valeur numérique.

Q2-Exprimer la variance

V (y)

en fonction de

V (x)

et calculer sa valeur.

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70. $Arbitrage argumenté entre modèle linéaire et modèle exponentiel pour une croissance d'algues$

On suit la surface

S

(en centimètres carrés, notés

c m^{2}

) couverte par une colonie de micro-algues en boîte de Petri pendant six jours consécutifs :

Jour t_{i} Surface S_{i} 1 3, 2 2 5, 1 3 8, 2 4 13, 1 5 21, 0 6 33, 6

On hésite entre un ajustement affine direct

S = a t + b

et un ajustement exponentiel via

z = ln (S)

Q1-Calculer les accroissements journaliers successifs

S_{i + 1} - S_{i}

, puis les quotients

\frac{S _{i + 1}}{S _{i}}

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Exercices de Statistique à deux variables, Terminale (page 2)

36.

37. $Ajustement affine de la consommation de carburant selon la charge$

38. $Démonstration du passage de la droite des moindres carrés par le point moyen$

39. $Démonstration générale de l'effet d'une transformation affine sur la moyenne et la variance$

40. $Démonstration de la formule du coefficient directeur de la droite des moindres carrés$

41. $Démonstration du lien entre régression logarithmique et taux de croissance géométrique$

42. $Démonstration de la propriété du point moyen dans la méthode de Mayer$

43. $Minimisation des moindres carrés pour une droite d'ajustement passant par l'origine$

44. $Placement de points et graduation pour un suivi de production hydroélectrique$

45. $Coordonnées du point moyen d'une série de mesures acoustiques$

46. $Point moyen d'un relevé agronomique de biomasse$

47. $Interpolation de la consommation électrique d'un atelier$

48. $Qualification de la corrélation entre la masse et la taille de jeunes plants$

49. $Interprétation d'un coefficient de corrélation négatif en aérodynamique$

50. $Extrapolation simple de la fréquentation d'une médiathèque$

51. $Changement de variable logarithmique sur une série de viscosité$

52. $Détermination manuelle d'une droite de régression par les variances et covariances$

53. $Calcul pas à pas des coefficients de régression sur une série mécanique$

54. $Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer sur un suivi de turbidité$

55. $Confrontation entre la droite de Mayer et la droite des moindres carrés$

56. $Régression linéaire après transformation logarithmique sur une culture de levures$

57. $Restitution d'un modèle exponentiel après ajustement logarithmique$

58. $Détermination de la résistance interne d'un générateur par ajustement affine$

59. $Estimation de la capacité thermique par modélisation affine de l'énergie absorbée$

60. $Limites physiques d'une extrapolation linéaire pour le taux d'humidité d'un matériau$

61. $Choix entre ajustement affine et changement de variable inverse pour la vitesse d'écoulement$

62. $Sélection d'une transformation de variable pour l'atténuation d'un signal optique$

63. $Problème complet d'ajustement affine sur la résistance mécanique d'un béton$

64. $Modélisation globale de l'effort de coupe d'une machine-outil$

65. $Étude complète de la décharge d'un condensateur par transformation exponentielle$

66. $Cinétique d'une réaction chimique d'ordre 1 et extrapolation$

67. $Modélisation de la puissance éolienne par changement de variable cubique$

68. $Ajustement de la période d'un pendule simple par changement de variable racine carrée$

69. $Effet d'un changement d'échelle de température sur la moyenne et l'écart-type$

70. $Arbitrage argumenté entre modèle linéaire et modèle exponentiel pour une croissance d'algues$

36.

37.Ajustement affine de la consommation de carburant selon la charge

38.Démonstration du passage de la droite des moindres carrés par le point moyen

39.Démonstration générale de l'effet d'une transformation affine sur la moyenne et la variance

40.Démonstration de la formule du coefficient directeur de la droite des moindres carrés

41.Démonstration du lien entre régression logarithmique et taux de croissance géométrique

42.Démonstration de la propriété du point moyen dans la méthode de Mayer

43.Minimisation des moindres carrés pour une droite d'ajustement passant par l'origine

44.Placement de points et graduation pour un suivi de production hydroélectrique

45.Coordonnées du point moyen d'une série de mesures acoustiques

46.Point moyen d'un relevé agronomique de biomasse

47.Interpolation de la consommation électrique d'un atelier

48.Qualification de la corrélation entre la masse et la taille de jeunes plants

49.Interprétation d'un coefficient de corrélation négatif en aérodynamique

50.Extrapolation simple de la fréquentation d'une médiathèque

51.Changement de variable logarithmique sur une série de viscosité

52.Détermination manuelle d'une droite de régression par les variances et covariances

53.Calcul pas à pas des coefficients de régression sur une série mécanique

54.Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer sur un suivi de turbidité

55.Confrontation entre la droite de Mayer et la droite des moindres carrés

56.Régression linéaire après transformation logarithmique sur une culture de levures

57.Restitution d'un modèle exponentiel après ajustement logarithmique

58.Détermination de la résistance interne d'un générateur par ajustement affine

59.Estimation de la capacité thermique par modélisation affine de l'énergie absorbée

60.Limites physiques d'une extrapolation linéaire pour le taux d'humidité d'un matériau

61.Choix entre ajustement affine et changement de variable inverse pour la vitesse d'écoulement

62.Sélection d'une transformation de variable pour l'atténuation d'un signal optique

63.Problème complet d'ajustement affine sur la résistance mécanique d'un béton

64.Modélisation globale de l'effort de coupe d'une machine-outil

65.Étude complète de la décharge d'un condensateur par transformation exponentielle

66.Cinétique d'une réaction chimique d'ordre 1 et extrapolation

67.Modélisation de la puissance éolienne par changement de variable cubique

68.Ajustement de la période d'un pendule simple par changement de variable racine carrée

69.Effet d'un changement d'échelle de température sur la moyenne et l'écart-type

70.Arbitrage argumenté entre modèle linéaire et modèle exponentiel pour une croissance d'algues

37. $Ajustement affine de la consommation de carburant selon la charge$

38. $Démonstration du passage de la droite des moindres carrés par le point moyen$

39. $Démonstration générale de l'effet d'une transformation affine sur la moyenne et la variance$

40. $Démonstration de la formule du coefficient directeur de la droite des moindres carrés$

41. $Démonstration du lien entre régression logarithmique et taux de croissance géométrique$

42. $Démonstration de la propriété du point moyen dans la méthode de Mayer$

43. $Minimisation des moindres carrés pour une droite d'ajustement passant par l'origine$

44. $Placement de points et graduation pour un suivi de production hydroélectrique$

45. $Coordonnées du point moyen d'une série de mesures acoustiques$

46. $Point moyen d'un relevé agronomique de biomasse$

47. $Interpolation de la consommation électrique d'un atelier$

48. $Qualification de la corrélation entre la masse et la taille de jeunes plants$

49. $Interprétation d'un coefficient de corrélation négatif en aérodynamique$

50. $Extrapolation simple de la fréquentation d'une médiathèque$

51. $Changement de variable logarithmique sur une série de viscosité$

52. $Détermination manuelle d'une droite de régression par les variances et covariances$

53. $Calcul pas à pas des coefficients de régression sur une série mécanique$

54. $Ajustement par la méthode des points moyens de Mayer sur un suivi de turbidité$

55. $Confrontation entre la droite de Mayer et la droite des moindres carrés$

56. $Régression linéaire après transformation logarithmique sur une culture de levures$

57. $Restitution d'un modèle exponentiel après ajustement logarithmique$

58. $Détermination de la résistance interne d'un générateur par ajustement affine$

59. $Estimation de la capacité thermique par modélisation affine de l'énergie absorbée$

60. $Limites physiques d'une extrapolation linéaire pour le taux d'humidité d'un matériau$

61. $Choix entre ajustement affine et changement de variable inverse pour la vitesse d'écoulement$

62. $Sélection d'une transformation de variable pour l'atténuation d'un signal optique$

63. $Problème complet d'ajustement affine sur la résistance mécanique d'un béton$

64. $Modélisation globale de l'effort de coupe d'une machine-outil$

65. $Étude complète de la décharge d'un condensateur par transformation exponentielle$

66. $Cinétique d'une réaction chimique d'ordre 1 et extrapolation$

67. $Modélisation de la puissance éolienne par changement de variable cubique$

68. $Ajustement de la période d'un pendule simple par changement de variable racine carrée$

69. $Effet d'un changement d'échelle de température sur la moyenne et l'écart-type$

70. $Arbitrage argumenté entre modèle linéaire et modèle exponentiel pour une croissance d'algues$