Exercices de Vecteurs, droites et plans de l'espace, Terminale (page 2)

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède. Pour tout réel $t\in [0;1]$, on considère le point $M_t$ sur le segment $[AB]$ tel que $\overrightarrow{A{M}_t}=t\overrightarrow{AB}$ et le point $N_t$ sur le segment $[GH]$ tel que $\overrightarrow{H{N}_t}=(1-t)\overrightarrow{HG}$. Soit $K$ le centre du parallélépipède, défini par $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE})$.

Soit $ABCD$ un tétraèdre. Soit $I$ le milieu de l'arête $[AB]$ et $J$ le milieu de l'arête $[AC]$. Soit $K$ un point de l'arête $[AD]$ distinct de $A$ et distinct du milieu de $[AD]$.

Soit $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ une base de l'espace (trois vecteurs non coplanaires). On définit les vecteurs :$${\vec{e}}_1=\vec{u}+\vec{v}$$$${\vec{e}}_2=\vec{v}+\vec{w}$$$${\vec{e}}_3=\vec{w}+\vec{u}$$Démontrer par l'absurde que le triplet $({\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3)$ forme une base de l'espace.

Soit $ABCDEFGH$ un cube. On munit l'espace du repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$. Soit $M$ le milieu de $[EF]$ et $N$ le centre de la face carrée $BCGF$.

ABCD est un tétraèdre. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. Démontrer que $\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Dans un repère de l'espace, on donne les points $A(2;-1;4)$ et $B(5;3;-2)$, ainsi que les vecteurs $\vec{u}(6;8;-12)$, $\vec{v}(3;4;6)$ et $\vec{w}\left(-\frac{3}{2};-2;3\right)$. Parmi $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, déterminer lesquels sont des vecteurs directeurs de la droite $(AB)$, en justifiant chaque réponse.

ABCDEFGH est un cube. On considère les triplets $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AG}\right)$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{EG}\right)$. En s'appuyant sur une figure du cube, déterminer lequel de ces deux triplets est une base de l'espace, en justifiant.

L'espace est muni d'un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On donne les points $P(-1;3;2)$ et $Q(5;0;-4)$. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{PQ}$, celles du milieu $M$ du segment $[PQ]$, puis celles du point $S$ symétrique de $P$ par rapport à $Q$.

ABCDEFGH est un cube. Pour chacune des paires de droites suivantes, indiquer leur position relative en justifiant par lecture de la figure : les droites $(DC)$ et $(EF)$ ; les droites $(EG)$ et $(HF)$ ; les droites $(AC)$ et $(FH)$ ; les droites $(BD)$ et $(HB)$.

ABCDEFGH est un cube et $O$ est son centre.

ABCDEFGH est un parallélépipède : $ABCD$ est un parallélogramme et $EFGH$ est son translaté dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AE}$.

L'espace est muni d'un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère la translation $t$ de vecteur $\vec{u}(3;-1;2)$. Déterminer les coordonnées de l'image $P^{\prime }$ du point $P(2;5;-3)$ par $t$, puis celles du point $Q$ dont l'image par $t$ est le point $Q^{\prime }(-1;7;-3)$.

ABCDEFGH est un pavé droit. On note $I$ le centre de la face $ABFE$. Démontrer que $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$, puis exprimer $\overrightarrow{EI}$ et $\overrightarrow{CI}$ dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

ABCD est un tétraèdre. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AD]$ ; les points $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[BC]$ et $[BD]$.

ABCDEFGH est un pavé droit. On note $P$ le centre de la face $BCGF$.

Dans un repère de l'espace, la droite $\Delta$ passe par le point $A(1;0;2)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$. Les points $M(5;-2;8)$, $N(3;-1;5)$ et $P(7;-3;9)$ appartiennent-ils à la droite $\Delta$ ?

ABCDEFGH est un cube. Le point $I$ est le milieu de $[BC]$ et le point $J$ est défini par $\overrightarrow{FJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FI}$.

Dans un repère de l'espace, on considère d'une part les vecteurs $\vec{u}(1;2;-1)$, $\vec{v}(3;0;2)$ et $\vec{w}(5;4;0)$, d'autre part les vecteurs $\vec{p}(1;1;0)$, $\vec{q}(0;1;1)$ et $\vec{r}(2;0;1)$. Dans chacun des deux cas, déterminer si les trois vecteurs sont coplanaires.

Dans un repère de l'espace, la droite $\Delta$ passe par le point $A(2;1;0)$ et admet le vecteur directeur $\vec{u}(1;1;2)$. Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $B(0;0;1)$ et est dirigé par les vecteurs $\vec{v}(3;-1;0)$ et $\vec{w}(1;1;1)$. Déterminer la position relative de la droite $\Delta$ et du plan $\mathcal{P}$.

Dans un repère de l'espace, le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $A(2;1;3)$ et est dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{v_1}(1;2;0)$ et $\overrightarrow{v_2}(0;1;1)$. Le plan $\mathcal{Q}$ passe par le point $B(5;4;-2)$ et est dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{w_1}(3;6;0)$ et $\overrightarrow{w_2}(1;3;1)$. Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont strictement parallèles.

ABCDEFGH est un cube. Déterminer, en justifiant, la position relative :

A, B, C et D sont quatre points de l'espace tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Dans un repère de l'espace, on considère les points $A(1;2;3)$, $B(4;-1;6)$, $C(2;6;1)$, $D(10;8;3)$ et $E(10;8;4)$.

SABCD est une pyramide dont la base $ABCD$ est un carré. Les points $I$, $J$, $K$ et $L$ appartiennent respectivement aux arêtes $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$ et $[SD]$ et vérifient $\overrightarrow{SI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}$ et $\overrightarrow{SL}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}$.

Dans un repère de l'espace, le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(1;2;-1)$ et est dirigé par $\overrightarrow{u_1}(2;4;-6)$ et $\overrightarrow{u_2}(1;-1;3)$. Le plan $\mathcal{Q}$ passe par $B(0;1;0)$ et est dirigé par $\overrightarrow{v_1}(-1;-2;3)$ et $\overrightarrow{v_2}(3;-6;9)$. Un élève affirme que, puisque $\overrightarrow{v_1}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u_1}$, les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont parallèles.

Dans un repère de l'espace, la droite $\Delta$ passe par le point $A(3;7;1)$ et admet le vecteur directeur $\vec{u}(1;1;2)$. Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $B(1;0;2)$ et est dirigé par les vecteurs $\vec{v}(1;2;1)$ et $\vec{w}(0;1;-1)$. Démontrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

ABCDEFGH est un parallélépipède : $ABCD$ est un parallélogramme et $EFGH$ est son translaté dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AE}$. On note $I$ le milieu de $[AE]$, $J$ le milieu de $[CG]$ et $K$ le centre de la face $EFGH$.

L'espace est rapporté à une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère d'une part les vecteurs $\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $\vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}$ et $\vec{w}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$, d'autre part les vecteurs $\vec{p}=\vec{i}+\vec{j}$, $\vec{q}=\vec{j}+\vec{k}$ et $\vec{r}=\vec{k}+\vec{i}$. Pour chacun de ces deux triplets, déterminer s'il est constitué de vecteurs coplanaires ou s'il forme une base de l'espace.

Dans un repère de l'espace, on considère la droite ${\Delta }_1$ passant par $A(1;0;2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$, la droite ${\Delta }_2$ passant par $B(3;-1;5)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(1;2;-1)$, et la droite ${\Delta }_3$ passant par $C(0;2;1)$ et de vecteur directeur $\vec{w}(1;1;1)$.

Un abri de stockage a la forme d'un prisme droit $ABCDEF$ : la base $ABC$ est un triangle posé au sol et les points $D$, $E$ et $F$ sont les sommets correspondants situés au-dessus de $A$, $B$ et $C$. Une lampe est suspendue à un câble tendu entre $I$, le milieu de $[AB]$, et $J$, le milieu de $[DE]$. Une poutre borde l'arête $[BC]$. a) Justifier que $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est une base de l'espace. b) Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ dans cette base et en déduire la position du câble par rapport aux arêtes verticales. c) Le câble peut-il rencontrer la poutre ? On étudiera la position relative des droites $(IJ)$ et $(BC)$.

ABCDEFGH est un cube.

ABCDEFGH est un cube. On note $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$ et $[CG]$.

Soit $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ une base de l'espace et $A$, $B$ deux points distincts. On note $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par le couple $(\vec{i},\vec{j})$, et $\Delta$ la droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec{k}$.