Exercices de Vecteurs, droites et plans de l'espace en maths Terminale (page 3)

70. $Plans parallèles dépendant d'un paramètre$

ABCD est un tétraèdre. Pour un réel

m

de l'intervalle

] 0; 1]

, on note

M

N

P

les points des segments

[A B]

[A C]

[A D]

tels que

A M = m A B

A N = m A C

A P = m A D

. Démontrer que, pour toute valeur de

m

, le plan

(M N P)

est parallèle au plan

(B C D)

. Que se passe-t-il lorsque

m = 1

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71. $Vérifier la figure par le calcul dans un pavé droit$

ABCDEFGH est un pavé droit. Sur une perspective cavalière du solide, la diagonale

(E G)

de la face supérieure semble parallèle à la diagonale

(A C)

de la face inférieure, et les deux diagonales de la face supérieure semblent se couper en leur milieu.

Q1-a) Démontrer que

E G = A C

et en déduire la nature du quadrilatère

A C GE

Q2-b) Démontrer que les droites

(E G)

(F H)

ne sont pas parallèles.

Q3-c) Démontrer que les segments

[E G]

[F H]

se coupent en leur milieu commun

O

et exprimer

A O

dans la base

(A B, A D, A E)

Q4-d) Pourquoi la figure seule ne suffisait-elle pas à conclure ?

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72. $Trois vecteurs et un paramètre : base ou pas$

L'espace est rapporté à une base

(i, j, k)

. Pour un réel

m

, on pose

u = i + j

v = j + k

w = i + m k

. a) Montrer que, pour

m = - 1

, les vecteurs

u

v

w

sont coplanaires. b) Démontrer que, pour toute autre valeur de

m

, ces trois vecteurs forment au contraire une base de l'espace.

Q1-a) Montrer que, pour

m = - 1

, les vecteurs

u

v

w

sont coplanaires.

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73. $Toit de kiosque en pyramide$

Un kiosque est couvert d'un toit en pyramide

S A B C D

, dont la base

A B C D

est un carré et dont le sommet est

S

. Une girouette doit être fixée au point

T

du segment

[S O]

, où

O

est le centre du carré

A B C D

, tel que

S T = \frac{3}{4} S O

. Une antenne doit ensuite relier le point

A

au point

M

, milieu de

[S C]

Q1-a) Justifier que

(S A, S B, S C)

est une base de l'espace.

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74. $Barre reliant deux coulisseaux sur des rails$

Une structure de stockage a la forme d'un cube ABCDEFGH, dont les arêtes

[A B]

[D C]

portent deux rails horizontaux opposés. Un chariot

M

glisse sur le rail

[A B]

et un chariot

N

glisse sur le rail

[D C]

; les deux chariots sont pilotés pour vérifier à chaque instant

A M = m A B

D N = m D C

, où

m

est un réel de

] 0; 1]

, le même pour les deux chariots.

Q1-a) Exprimer

A M

D N

dans la base et les comparer.

Q2-b) Démontrer que, pour toute valeur de

m

M N = A D

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75. $Configuration du cube dans un repère$

ABCDEFGH est un cube. L'espace est muni du repère

(A; A B, A D, A E)

. On note

I

le milieu de

[E H]

J

le point de

[GC]

tel que

G J = \frac{1}{3} GC

Q1-a) Déterminer les coordonnées des points

I

J

Q2-b) Les points

A

I

J

sont-ils alignés ? Justifier.

Q3-c) Déterminer la position relative de la droite

(F B)

et du plan

(A I J)

Q4-d) Déterminer la position relative des droites

(A I)

(F B)

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76. $Relation de Chasles dans un prisme triangulaire$

Soit

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

un prisme droit dont les bases triangulaires sont

A B C

A^{'} B^{'} C^{'}

. Exprimer les vecteurs

A B^{'}

B^{'} C

à l'aide des vecteurs

A B

A C

A A^{'}

. En déduire une expression simplifiée du vecteur

A C + B^{'} A

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77. $Identification d'un vecteur directeur dans un tétraèdre$

Soit

A B C D

un tétraèdre. On considère les points

I

J

définis par

A I = \frac{1}{3} A B

A J = \frac{1}{3} A C

. Démontrer que le vecteur

B C

est un vecteur directeur de la droite

(I J)

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78. $Test de base de l'espace dans une pyramide$

Soit

S A B C D

une pyramide dont la base

A B C D

est un parallélogramme de centre

O

. Justifier si chacun des deux triplets de vecteurs suivants constitue une base de l'espace :

Q1-Justifier si le triplet

(O A, O B, O S)

forme une base de l'espace.

Q2-Justifier si le triplet

(O A, O B, O C)

forme une base de l'espace.

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79. $Calcul de coordonnées d'un vecteur et d'un milieu$

Dans un repère

(O; i, j, k)

de l'espace, on donne les points

P (3; - 2; 5)

Q (- 1; 4; 1)

R (5; 0; - 3)

Q1-Déterminer les coordonnées du vecteur

P Q

Q2-Déterminer les coordonnées du milieu

M

du segment

[P R]

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80. $Positions relatives de droites dans un prisme droit$

Soit

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

un prisme droit à base triangulaire. Déterminer la position relative de chacune des paires de droites suivantes, en justifiant par les propriétés du solide :

Q1-Déterminer la position relative des droites

(A B)

(A^{'} B^{'})

Q2-Déterminer la position relative des droites

(B B^{'})

(A C)

Q3-Déterminer la position relative des droites

(A B)

(B^{'} C^{'})

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81. $Décomposition vectorielle sur les arêtes d'un parallélépipède$

Soit

A B C D E F G H

un parallélépipède. On munit l'espace de la base

(A B, A D, A E)

. Soit

K

le milieu de l'arête

[G H]

L

le centre de la face

B C GF

Q1-Décomposer le vecteur

A K

dans la base

(A B, A D, A E)

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82. $Colinéarité de deux vecteurs de l'espace par coordonnées$

Dans une base

(i, j, k)

de l'espace, on donne les vecteurs

u (6; - 9; 15)

v (- 4; 6; - 10)

w (2; - 3; 4)

Q1-Déterminer si les vecteurs

u

v

sont colinéaires.

Q2-Déterminer si les vecteurs

u

w

sont colinéaires.

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83. $Décomposition vectorielle liée à l'isobarycentre d'un tétraèdre$

Soit

A B C D

un tétraèdre. On considère le point

G

défini par la relation vectorielle :

G A + GB + GC + G D = 0

.
Exprimer le vecteur

A G

en fonction des trois vecteurs

A B

A C

A D

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84. $Parallélisme de droites par les vecteurs dans un prisme$

Soit

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

un prisme droit dont les bases sont

A B C

A^{'} B^{'} C^{'}

. On désigne par

I, J, I^{'}, J^{'}

les milieux respectifs des segments

[A B], [A C], [A^{'} B^{'}], [A^{'} C^{'}]

Q1-Démontrer que

I J = I^{'} J^{'}

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85. $Parallélisme de deux plans par deux couples de vecteurs directeurs$

Soit

A B C D

un tétraèdre. On définit les points

E, F, G

par :

A E = \frac{2}{3} A B

A F = \frac{2}{3} A C

A G = \frac{2}{3} A D

Q1-Exprimer les vecteurs

E F

E G

en fonction des vecteurs

B C

B D

(arêtes de la face

B C D

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86. $Alignement de trois points par décomposition dans une base$

Soit un tétraèdre

O A B C

. On pose

u = O A

v = O B

w = O C

. On définit les points

M, N, P

par :

O M = u + 2 v

O N = 2 u + 4 v + w

, et

O P = 3 u + 6 v + 2 w

Q1-Exprimer les vecteurs

M N

M P

dans la base

(u, v, w)

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87. $Test d'appartenance d'un point à une droite par colinéarité$

Dans un repère de l'espace, on considère la droite

d

passant par le point

A (1; - 2; 4)

et dirigée par le vecteur

u (3; - 1; 2)

Q1-Déterminer si le point

B (7; - 4; 8)

appartient à la droite

d

Q2-Déterminer si le point

C (- 5; 0; 1)

appartient à la droite

d

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88. $Point sur une médiane et décomposition vectorielle$

Soit

A B C D

un tétraèdre. Le centre de gravité

A^{'}

du triangle

B C D

est défini par

A^{'} B + A^{'} C + A^{'} D = 0

Q1-Exprimer le vecteur

A A^{'}

en fonction des vecteurs

A B

A C

A D

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89. $Coplanarité de trois vecteurs par résolution de système$

Dans une base

(i, j, k)

de l'espace, on donne les vecteurs

u (2; 1; - 1)

v (1; - 1; 3)

w (5; 1; 3)

. Déterminer si les vecteurs

u

v

w

sont coplanaires en cherchant des réels

x

y

vérifiant

w = x u + y v

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90. $Vérification de la coplanarité de trois vecteurs par combinaison linéaire$

Dans une base

(i, j, k)

de l'espace, on considère les vecteurs

u (1; 2; - 1)

v (3; - 1; 2)

w (7; 7; - 2)

. Démontrer que les vecteurs

u

v

w

sont coplanaires et déterminer les coefficients de la combinaison linéaire.

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91. $Direction d'une droite et direction d'un plan$

Soit

P

le plan passant par le point

A (1; 0; 2)

et dirigé par les vecteurs

u (2; 1; 0)

v (0; 1; 3)

. Soit

d

la droite passant par le point

B (3; 2; 5)

et de vecteur directeur

w (4; 3; 3)

Q1-Justifier que

u

v

définissent bien la direction d'un plan.

Q2-Démontrer que le vecteur

w

appartient à la direction de

P

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92. $Nature d'un quadrilatère dans l'espace par les vecteurs$

Dans un repère de l'espace, on donne les quatre points

A (2; - 1; 3)

B (5; 1; 2)

C (4; 4; - 1)

D (1; 2; 0)

Q1-Démontrer que le quadrilatère

A B C D

est un parallélogramme non aplati.

Q2-Déterminer les coordonnées de son centre

Ω

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93. $Coplanarité de quatre points par résolution de système$

Dans un repère de l'espace, on donne les quatre points

A (1; 2; - 1)

B (3; 1; 1)

C (0; 4; - 2)

D (5; - 1; 6)

Q1-Déterminer les coordonnées des vecteurs

A B

A C

A D

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94. $Configuration de parallélogramme par fractions de segments dans un tétraèdre$

Soit

A B C D

un tétraèdre. On définit les points

E, F, G, H

par :

A E = \frac{1}{4} A B

A F = \frac{1}{4} A C

D G = \frac{1}{4} D B

D H = \frac{1}{4} D C

Q1-Exprimer le vecteur

E F

en fonction de

B C

Q2-Exprimer le vecteur

G H

en fonction de

B C

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95. $Parallélisme de deux plans par vérification des directions$

Dans un repère de l'espace, on considère le plan

P_{1}

passant par le point

A (0; 1; 3)

et dirigé par les vecteurs

u_{1} (1; 2; - 1)

v_{1} (2; 0; 4)

. On considère également le plan

P_{2}

passant par le point

B (2; - 1; 1)

et dirigé par les vecteurs

u_{2} (3; 2; 3)

v_{2} (1; - 2; 5)

Q1-Démontrer que le vecteur

u_{2}

appartient à la direction de

P_{1}

Q2-Démontrer que le vecteur

v_{2}

appartient à la direction de

P_{1}

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96. $Inclusion d'une droite dans un plan par le point et la direction$

On considère le plan

P

passant par le point

A (1; 1; 0)

et dirigé par les vecteurs

u (1; - 1; 2)

v (2; 1; 1)

. On considère la droite

d

passant par le point

B (4; 1; 3)

et de vecteur directeur

w (5; 1; 4)

Q1-Démontrer que le vecteur

w

appartient à la direction du plan

P

Q2-Démontrer que le point

B

appartient au plan

P

Q3-En déduire la position relative exacte de la droite

d

et du plan

P

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97. $Base vectorielle et décompositions dans une pyramide à base carrée$

Soit

S A B C D

une pyramide dont la base

A B C D

est un carré de centre

O

Q1-Justifier que le triplet

(A B, A D, A S)

constitue une base de l'espace.

Q2-Décomposer le vecteur

A O

dans cette base.

Q3-Soit

I

le milieu de l'arête

[S C]

. Décomposer les vecteurs

A I

puis

O I

dans cette base. Que peut-on en déduire pour la droite

(O I)

et la droite

(S A)

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98. $Étude d'une nouvelle famille de trois vecteurs à coefficients$

Soit

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

une base de l'espace. On définit les trois vecteurs :

u = e_{1} + e_{2}

v = e_{2} + e_{3}

, et

w = e_{1} + e_{3}

Q1-Exprimer chacun des vecteurs

e_{1}, e_{2}, e_{3}

en fonction de

u, v, w

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99. $Étude complète de la position relative de deux droites de l'espace$

Soit

d_{1}

la droite passant par

A (2; 0; 1)

et de vecteur directeur

u (1; 2; - 1)

, et

d_{2}

la droite passant par

B (1; 3; 2)

et de vecteur directeur

v (2; - 1; 1)

Q1-Justifier que les droites

d_{1}

d_{2}

ne sont pas parallèles.

Q2-Déterminer si les droites

d_{1}

d_{2}

sont sécantes ou non coplanaires.

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100. $Intersection de deux droites sécantes de l'espace$

Soit la droite

d_{1}

passant par le point

A (1; - 1; 2)

et de vecteur directeur

u (2; 1; - 1)

, et la droite

d_{2}

passant par le point

B (6; - 1; - 1)

et de vecteur directeur

v (- 1; 2; 1)

Q1-Démontrer que les droites

d_{1}

d_{2}

ne sont pas parallèles.

Q2-Démontrer que les droites

d_{1}

d_{2}

sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection

K

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101. $Modélisation vectorielle d'un auvent triangulaire$

On modélise l'ossature d'un abri par un prisme droit

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

dont la base

A B C

est horizontale. Dans un repère de l'espace adapté, les sommets ont pour coordonnées :

A (0; 0; 0)

B (4; 0; 0)

C (0; 3; 0)

, et les montants verticaux ont pour vecteur

w_{v} (0; 0; 2)

, d'où

A^{'} (0; 0; 2)

B^{'} (4; 0; 2)

C^{'} (0; 3; 2)

.
Un tirant métallique relie le milieu

I

[B C^{'}]

au point

J

situé sur le montant

[A A^{'}]

défini par

A J = \frac{1}{3} A A^{'}

Q1-Déterminer les coordonnées des points

I

J

Q2-Déterminer les coordonnées du vecteur

J I

Q3-Une poutre de renfort

(D)

passe par l'origine

A

et admet pour vecteur directeur

u_{r} (6; 4, 5; 1)

. La droite du tirant

(J I)

et la droite

(D)

sont-elles parallèles ?

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102. $Parallélogramme et droites non coplanaires dans un cube$

Soit

A B C D E F G H

un cube. On considère les points

M, N, P

définis par :

A M = \frac{1}{3} A B

D N = \frac{1}{3} D C

E P = \frac{1}{3} E F

Q1-Démontrer que

M N = A D

Q2-Exprimer le vecteur

M P

en fonction du vecteur

A E

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Exercices de Vecteurs, droites et plans de l'espace, Terminale (page 3)

69. $Première partie type bac dans un pavé droit repéré$

70. $Plans parallèles dépendant d'un paramètre$

71. $Vérifier la figure par le calcul dans un pavé droit$

72. $Trois vecteurs et un paramètre : base ou pas$

73. $Toit de kiosque en pyramide$

74. $Barre reliant deux coulisseaux sur des rails$

75. $Configuration du cube dans un repère$

76. $Relation de Chasles dans un prisme triangulaire$

77. $Identification d'un vecteur directeur dans un tétraèdre$

78. $Test de base de l'espace dans une pyramide$

79. $Calcul de coordonnées d'un vecteur et d'un milieu$

80. $Positions relatives de droites dans un prisme droit$

81. $Décomposition vectorielle sur les arêtes d'un parallélépipède$

82. $Colinéarité de deux vecteurs de l'espace par coordonnées$

83. $Décomposition vectorielle liée à l'isobarycentre d'un tétraèdre$

84. $Parallélisme de droites par les vecteurs dans un prisme$

85. $Parallélisme de deux plans par deux couples de vecteurs directeurs$

86. $Alignement de trois points par décomposition dans une base$

87. $Test d'appartenance d'un point à une droite par colinéarité$

88. $Point sur une médiane et décomposition vectorielle$

89. $Coplanarité de trois vecteurs par résolution de système$

90. $Vérification de la coplanarité de trois vecteurs par combinaison linéaire$

91. $Direction d'une droite et direction d'un plan$

92. $Nature d'un quadrilatère dans l'espace par les vecteurs$

93. $Coplanarité de quatre points par résolution de système$

94. $Configuration de parallélogramme par fractions de segments dans un tétraèdre$

95. $Parallélisme de deux plans par vérification des directions$

96. $Inclusion d'une droite dans un plan par le point et la direction$

97. $Base vectorielle et décompositions dans une pyramide à base carrée$

98. $Étude d'une nouvelle famille de trois vecteurs à coefficients$

99. $Étude complète de la position relative de deux droites de l'espace$

100. $Intersection de deux droites sécantes de l'espace$

101. $Modélisation vectorielle d'un auvent triangulaire$

102. $Parallélogramme et droites non coplanaires dans un cube$

69.Première partie type bac dans un pavé droit repéré

70.Plans parallèles dépendant d'un paramètre

71.Vérifier la figure par le calcul dans un pavé droit

72.Trois vecteurs et un paramètre : base ou pas

73.Toit de kiosque en pyramide

74.Barre reliant deux coulisseaux sur des rails

75.Configuration du cube dans un repère

76.Relation de Chasles dans un prisme triangulaire

77.Identification d'un vecteur directeur dans un tétraèdre

78.Test de base de l'espace dans une pyramide

79.Calcul de coordonnées d'un vecteur et d'un milieu

80.Positions relatives de droites dans un prisme droit

81.Décomposition vectorielle sur les arêtes d'un parallélépipède

82.Colinéarité de deux vecteurs de l'espace par coordonnées

83.Décomposition vectorielle liée à l'isobarycentre d'un tétraèdre

84.Parallélisme de droites par les vecteurs dans un prisme

85.Parallélisme de deux plans par deux couples de vecteurs directeurs

86.Alignement de trois points par décomposition dans une base

87.Test d'appartenance d'un point à une droite par colinéarité

88.Point sur une médiane et décomposition vectorielle

89.Coplanarité de trois vecteurs par résolution de système

90.Vérification de la coplanarité de trois vecteurs par combinaison linéaire

91.Direction d'une droite et direction d'un plan

92.Nature d'un quadrilatère dans l'espace par les vecteurs

93.Coplanarité de quatre points par résolution de système

94.Configuration de parallélogramme par fractions de segments dans un tétraèdre

95.Parallélisme de deux plans par vérification des directions

96.Inclusion d'une droite dans un plan par le point et la direction

97.Base vectorielle et décompositions dans une pyramide à base carrée

98.Étude d'une nouvelle famille de trois vecteurs à coefficients

99.Étude complète de la position relative de deux droites de l'espace

100.Intersection de deux droites sécantes de l'espace

101.Modélisation vectorielle d'un auvent triangulaire

102.Parallélogramme et droites non coplanaires dans un cube

69. $Première partie type bac dans un pavé droit repéré$

70. $Plans parallèles dépendant d'un paramètre$

71. $Vérifier la figure par le calcul dans un pavé droit$

72. $Trois vecteurs et un paramètre : base ou pas$

73. $Toit de kiosque en pyramide$

74. $Barre reliant deux coulisseaux sur des rails$

75. $Configuration du cube dans un repère$

76. $Relation de Chasles dans un prisme triangulaire$

77. $Identification d'un vecteur directeur dans un tétraèdre$

78. $Test de base de l'espace dans une pyramide$

79. $Calcul de coordonnées d'un vecteur et d'un milieu$

80. $Positions relatives de droites dans un prisme droit$

81. $Décomposition vectorielle sur les arêtes d'un parallélépipède$

82. $Colinéarité de deux vecteurs de l'espace par coordonnées$

83. $Décomposition vectorielle liée à l'isobarycentre d'un tétraèdre$

84. $Parallélisme de droites par les vecteurs dans un prisme$

85. $Parallélisme de deux plans par deux couples de vecteurs directeurs$

86. $Alignement de trois points par décomposition dans une base$

87. $Test d'appartenance d'un point à une droite par colinéarité$

88. $Point sur une médiane et décomposition vectorielle$

89. $Coplanarité de trois vecteurs par résolution de système$

90. $Vérification de la coplanarité de trois vecteurs par combinaison linéaire$

91. $Direction d'une droite et direction d'un plan$

92. $Nature d'un quadrilatère dans l'espace par les vecteurs$

93. $Coplanarité de quatre points par résolution de système$

94. $Configuration de parallélogramme par fractions de segments dans un tétraèdre$

95. $Parallélisme de deux plans par vérification des directions$

96. $Inclusion d'une droite dans un plan par le point et la direction$

97. $Base vectorielle et décompositions dans une pyramide à base carrée$

98. $Étude d'une nouvelle famille de trois vecteurs à coefficients$

99. $Étude complète de la position relative de deux droites de l'espace$

100. $Intersection de deux droites sécantes de l'espace$

101. $Modélisation vectorielle d'un auvent triangulaire$

102. $Parallélogramme et droites non coplanaires dans un cube$