Exercices de Vecteurs, droites et plans de l'espace en maths Terminale (page 4)

104. $Configuration dans un prisme droit sans repère orthonormé$

Soit

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

un prisme droit à base triangulaire quelconque. On munit l'espace du repère

(A; A B, A C, A A^{'})

. On considère les points

I, J, K

définis par :

I

est le milieu de

[B C^{'}]

A J = \frac{2}{3} A B

, et

K

est le point de coordonnées

(0; \frac{1}{3}; \frac{1}{2})

Q1-Déterminer les coordonnées des sommets

B

C^{'}

dans ce repère, puis en déduire les coordonnées de

I

et de

J

Q2-Démontrer que les points

I, J

K

ne sont pas alignés et définissent un unique plan

P

Q3-Démontrer que le sommet

C^{'}

n'appartient pas au plan

P

en étudiant la coplanarité des vecteurs

J I

J K

J C^{'}

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105. $Alignement dépendant d'un paramètre dans un tétraèdre$

Soit

A B C D

un tétraèdre. Pour tout réel

m

, on définit les points

M_{m}

N_{m}

par :

A M_{m} = m A B + (1 - m) A C

A N_{m} = \frac{m}{2} A B + \frac{1 - m}{2} A C

Q1-Démontrer que pour tout réel

m

, les points

A, M_{m}

N_{m}

sont alignés.

Q2-Démontrer que le point

M_{m}

appartient à la droite

(B C)

quelle que soit la valeur de

m

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106. $Point d'intersection de deux droites coplanaires par relation vectorielle$

Soit

A B C D

un tétraèdre. On définit les points

I

J

par

A I = \frac{1}{3} A D

B J = \frac{2}{3} B D

Q1-Justifier que les points

I

J

appartiennent au plan

(A B D)

, puis que les droites

(I J)

(A B)

sont coplanaires.

Q2-Démontrer que les droites

(I J)

(A B)

sont sécantes en un point

K

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107. $Condition d'existence d'une base avec paramètre par l'absurde$

Soit

(i, j, k)

une base de l'espace. Pour tout réel

a

, on considère les trois vecteurs :

u = i + j

v = j + k

, et

w_{a} = a i + k

Q1-Écrire le système linéaire traduisant la coplanarité des trois vecteurs

u, v

w_{a}

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108. $Étude vectorielle d'une passerelle haubanée entre deux falaises$

On modélise une passerelle rectiligne suspendue par le segment

[A B]

, reliant deux piles verticales

[A A^{'}]

[B B^{'}]

. Un mât vertical

[C C^{'}]

est implanté au milieu

C

[A B]

, avec

C C^{'} = A A^{'}

. Deux câbles de haubanage relient le sommet

C^{'}

aux points

M

N

de la passerelle définis par

A M = \frac{1}{4} A B

A N = \frac{3}{4} A B

.
On choisit la base

(A B, A D, A A^{'})

, où le vecteur

A D

est horizontal et orthogonal à la passerelle.

Q1-Décomposer les vecteurs

A C^{'}

A M

A N

dans cette base.

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Exercices de Vecteurs, droites et plans de l'espace, Terminale (page 4)

103. $Démonstration de l'unicité de la décomposition dans une base$

104. $Configuration dans un prisme droit sans repère orthonormé$

105. $Alignement dépendant d'un paramètre dans un tétraèdre$

106. $Point d'intersection de deux droites coplanaires par relation vectorielle$

107. $Condition d'existence d'une base avec paramètre par l'absurde$

108. $Étude vectorielle d'une passerelle haubanée entre deux falaises$

103.Démonstration de l'unicité de la décomposition dans une base

104.Configuration dans un prisme droit sans repère orthonormé

105.Alignement dépendant d'un paramètre dans un tétraèdre

106.Point d'intersection de deux droites coplanaires par relation vectorielle

107.Condition d'existence d'une base avec paramètre par l'absurde

108.Étude vectorielle d'une passerelle haubanée entre deux falaises

103. $Démonstration de l'unicité de la décomposition dans une base$

104. $Configuration dans un prisme droit sans repère orthonormé$

105. $Alignement dépendant d'un paramètre dans un tétraèdre$

106. $Point d'intersection de deux droites coplanaires par relation vectorielle$

107. $Condition d'existence d'une base avec paramètre par l'absurde$

108. $Étude vectorielle d'une passerelle haubanée entre deux falaises$