Exercices de Intégrales impropres en maths Spé (prépa) | The Maths Tailor
Exercices de Intégrales impropres, Spé (prépa)
163 exercices de Intégrales impropres pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Introduction, Convergence d'intégrales, Intégrabilité, Calcul d'intégrales.
On notera f la fonction intégrée et I l'intervalle d'étude, à chaque fois f s'avère continue par morceaux sur I. 1. I=[0;+∞[, t2f(t)t→+∞0 donc f est intégrable et ∫0+∞1+t2te−tdt converge. 2. I=]0;1[, tf(t)t→0+0 et (1−t)3lntt=1−u=u3/2ln(1−u)∼u−1 donc f est intégrable et ∫01(1−t)3lntdt converge. 3. I=]0;+∞[, et−11t→0+∼t1 donc f n'est pas intégrable au voisinage de 0. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l'intégrale diverge. 4. I=]0;+∞[, f(t)t→0+0 et t2f(t)=e2lnt−(lnt)2=elnt(2−lnt)t→+∞0 donc f est intégrable et ∫0+∞e−(lnt)2dt converge. 5. I=[0;+∞[, t2f(t)=e2lnt−tarctantt→+∞0 donc f est intégrable et ∫0+∞e−tarctantdt converge. 6. I=[0;+∞[. Quand t→+∞, f(t)=t+2−t1+t4+t21=t+2−t(1+t2+2t21−t22+O(1/t3))∼2t3. f n'est pas intégrable en +∞. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l'intégrale diverge.
2.Intégrabilité de (x−1)xlnx
On étudie la fonction f:x↦(x−1)xlnx définie sur ]1;+∞[.
Soit f:[0;+∞[→R une fonction continue, positive et décroissante. On pose g:[0;+∞[→R donnée par g(x)=f(x)sinx. Montrer que les intégrabilités de f et de g sont équivalentes.
Soit f:[0;1]→R donnée par f(x)=x2cos(x21) si x∈]0;1] et f(0)=0. Montrer que f est dérivable sur [0;1] mais que sa dérivée f′ n'est pas intégrable sur ]0;1].
Soit f:R+→R une fonction continue, décroissante et intégrable sur R+.
Q1-(a) Montrer que f tend vers zéro en +∞.
Q2-(b) Montrer que xf(x) tend vers zéro quand x→+∞.
Q3-(c) Si on supprime l'hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction f continue et intégrable sur R+ telle que f ne tend pas vers zéro en +∞.
1. I=[0;+∞[, f(t)t→+∞∼t21, donc f est intégrable. ∫0+∞(t+1)(t+2)dt=∫0+∞(t+11−t+21)dt=[lnt+2t+1]0+∞=ln2. 2. I=[0;+∞[, t2f(t)t→+∞0, donc f est intégrable. ∫0+∞(et+1)(e−t+1)dtu=et=∫1+∞(u+1)2du=21. 3. I=]0;+∞[, tf(t)t→00 et f(t)t→+∞∼t21 donc f est intégrable. ∫0+∞ln(1+t21)dtIPP=[tln(1+1/t2)]0+∞+∫0+∞1+t22dt=π. 4. I=[0;+∞[, t2f(t)t→+∞0. ∫0+∞e−tdtu=t=∫0+∞2ue−uduIPP=[−2ue−u]0+∞+∫0+∞2e−udu=2. 5. I=]0;+∞[, tf(t)t→0+0 et t3/2f(t)t→+∞0. ∫0+∞(1+t)2lntdtu=1/t=∫0+∞(u+1)2−lnudu donc ∫0+∞(1+t)2lntdt=0.
Q1-(a) Justifier l'existence de I=∫0+∞t2sin3(t)dt. Pour x>0, on pose I(x)=∫x+∞t2sin3(t)dt. On rappelle sin(3a)=3sin(a)−4sin3(a). Établir que I(x)=43∫x3xt2sin(t)dt.
Soient (a,b)∈R2 avec a<b et f∈C0(R,R) admettant une limite finie ℓ en −∞ et telle que ∫0+∞f existe. Justifier l'existence, puis calculer : ∫−∞+∞(f(a+x)−f(b+x))dx.
Soit f:]0;1]→R continue, décroissante et positive. On pose pour n∈N∗, Sn=n1k=1∑nf(nk). Montrer que f est intégrable sur ]0;1] si, et seulement si, la suite (Sn) est convergente et que si tel est le cas ∫]0;1]f(t)dt=n→+∞limSn.
