Exercices de Intégrales impropres en maths Spé (prépa) (page 2)

42. $Calcul de I (a, b) = \int \frac{d t}{( t ^{2} + a ^{2} ) ( t ^{2} + b ^{2} )}$

Pour

a, b > 0

, calculer

I (a, b) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d t}{( t ^{2} + a ^{2} ) ( t ^{2} + b ^{2} )}

43. $Intégrale de P / Q par éléments simples$

Soient

P

Q

dans

R [X]

, où

Q

ne s'annule pas sur

R

de g P \leq de g Q - 2

. Exprimer

\int_{R} P / Q

à l'aide des coefficients intervenant dans la décomposition en éléments simples de

P / Q

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44. $Type Frullani : \int \frac{f ( a t ) - f ( b t )}{t} d t$

Soit

f : [0; + \infty [\to R

continue telle que l'intégrale

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f ( t )}{t} d t

converge. On se donne deux réels

0 < a < b

Q1-(a) Établir que pour tout

x > 0

\int_{x}^{+ \infty} \frac{f ( a t ) - f ( b t )}{t} d t = \int_{a x}^{b x} \frac{f ( t )}{t} d t

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45. $Calcul de \int_{0}^{1} \frac{1 + t ^{2}}{1 + t ^{4}} d t via t = e^{- x}$

En opérant le changement de variable

t = e^{- x}

, calculer

I = \int_{0}^{1} \frac{1 + t ^{2}}{1 + t ^{4}} d t

46. $Calcul de \int \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{4}} d x via x = e^{t}$

Q1-(a) Calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{4}} d x

en effectuant notamment le changement de variable

x = e^{t}

47. $Calcul de \int \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} via u = 1/ t$

Existence et valeur de

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}

. On pourra exploiter le changement de variable

u = 1/ t

48. $Calcul de I = \int \frac{d x}{x ^{3} + 1}$

Q1-(a) Établir

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3} + 1} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{x ^{3} + 1} d x

Q2-(b) En déduire la valeur de

I

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49. $Calcul de \int_{0}^{π /2} tan θ d θ$

Existence et calcul de

\int_{0}^{π /2} tan θ d θ

50. $Calcul de \int \frac{d x}{x ( 1 - x )} et son dual$

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )}

\int_{0}^{1} x (1 - x) d x

51. $Calcul de I_{n} = \int_{0}^{1} (x ln x)^{n} d x$

Calculer pour

n \in N

I_{n} = \int_{0}^{1} (x ln x)^{n} d x

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52. $Calcul de I_{n} = \int \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}}$

Existence et calcul pour

n \in N

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}}

53. $Intégrabilité et calcul de \frac{l n t}{( 1 + t ) ^{2}}$

On considère

f : t \mapsto \frac{ln t}{( 1 + t ) ^{2}}

Q1-(a) Étudier l'intégrabilité de

f

sur

] 0; 1]

[1; + \infty [

Q2-(b) Calculer

\int_{0}^{1} \frac{ln t}{( 1 + t ) ^{2}} d t

\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln t}{( 1 + t ) ^{2}} d t

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54. $Calcul de \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 - x ^{2} )}{x ^{2}} d x$

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 - x ^{2} )}{x ^{2}} d x

55. $Égalité des intégrales de u (x) et v (x) = f (x) / x$

Soit

f : [1; + \infty [\to R

continue et intégrable. Montrer que les fonctions

u

v

suivantes sont intégrables sur

[1; + \infty [

et que leurs intégrales y sont égales :

u (x) = \frac{1}{x ^{2}} \int_{1}^{x} f (t) d t

v (x) = \frac{f ( x )}{x}

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56. $Inégalité intégrale avec f (0) = 0$

Soit

f : [0; + \infty [\to R

de classe

C^{1}

et vérifiant

f (0) = 0

. Établir

\forall x > 0, \int_{0}^{x} (\frac{f ( t )}{t})^{2} d t \leq 2 \int_{0}^{x} \frac{f ( t ) f ^{'} ( t )}{t} d t

en justifiant l'existence des intégrales écrites.

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57. $Inégalité de type Heisenberg pour u \in C^{1}$

Soit

u : R \to R

une fonction de classe

C^{1}

telle que

\int_{- \infty}^{+ \infty} ((1 + x^{2}) u (x)^{2} + u^{'} (x)^{2}) d x < + \infty

Q1-(a) Déterminer les limites de

x \mapsto xu (x)^{2}

\pm \infty

Q2-(b) Établir

\int_{- \infty}^{+ \infty} u^{'} (x)^{2} d x \cdot \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2} u (x)^{2} d x \geq \frac{1}{4} (\int_{- \infty}^{+ \infty} u (x)^{2} d x)^{2}

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58. $Calcul de I = \int ln (\frac{1 + t ^{2}}{t ^{2}}) d t$

Existence et calcul de

I = \int_{0}^{+ \infty} ln (\frac{1 + t ^{2}}{t ^{2}}) d t

59. $IPP pour \int \frac{e ^{- t} - e ^{- 2 t}}{t} d t$

En réalisant une intégration par parties, calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t} - e ^{- 2 t}}{t} d t

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60. $Calcul de I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t$

Pour

n \in N

, calculer

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t

61. $Développement asymptotique de \int \frac{d x}{1 + x ^{n}}$

On pose

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{n}}

pour

n \in N

n \geq 2

Q1-(a) Déterminer une suite de fonctions

(f_{n})

telle que

I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t

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62. $Récurrence et équivalent de \int \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{n + 1}}$

On pose

J_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{n + 1}}

Q1-(a) Calculer

J_{0}

Q2-(b) Former une relation de récurrence engageant

J_{n}

J_{n + 1}

Q3-(c) Établir qu'il existe

A > 0

tel que

J_{n} \sim \frac{A}{3 n}

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63. $Équivalent de u_{n} = \int \frac{t - ⌊ t ⌋}{t ( t + n )} d t$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t ( t + n )} d t

où

⌊ t ⌋

représente la partie entière de

t

Q1-(a) Justifier la bonne définition de la suite

(u_{n})_{n \geq 1}

Q2-(b) Montrer que pour tout

A > 0

\int_{0}^{A} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t ( t + n )} d t = \frac{1}{n} (\int_{0}^{n} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t} d t - \int_{A}^{A + n} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t} d t)

. En déduire une nouvelle expression intégrale de

u_{n}

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64. $Limites de \int f sin (n t) et \int f cos (n t)$

Q1-(a) Soit

f \in C^{1} ([a; b], R)

. Déterminer les limites des suites

(\int_{a}^{b} f (t) sin (n t) d t)

(\int_{a}^{b} f (t) cos (n t) d t)

Q2-(b) Calculer, pour

n \in N^{*}

\int_{0}^{π /2} \frac{sin ( 2 n t ) cos t}{sin t} d t

(on procédera par récurrence).

Q3-(c) En déduire

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

Q4-(d) Étudier la limite puis un équivalent de

(\int_{0}^{π /2} ln (2 sin (t /2)) cos (n t) d t)_{n \in N}

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65. $Convergence de \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n t}{t} d t$

(Intégrale de Dirichlet) Justifier la convergence de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

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66. $Critère de Dirichlet pour \int f (t) sin (t) d t$

Soit

f : [0; + \infty [\to R

une fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} f (t) sin (t) d t

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67. $Limite de \int_{0}^{x} sin (e^{t}) d t en + \infty$

La fonction

x \mapsto \int_{0}^{x} sin (e^{t}) d t

admet-elle une limite en

+ \infty

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68. $Convergence de \int e^{i t^{2}} d t$

Convergence de

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t^{2}} d t

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69. $Équivalent de f (λ) = \int_{0}^{1} e^{iλ x^{2}} d x$

Trouver un équivalent en

+ \infty

f (λ) = \int_{0}^{1} e^{iλ x^{2}} d x

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70. $Comportement de Fresnel en + \infty$

Pour

x > 0

, on pose

f (x) = \int_{0}^{x} e^{i t^{2}} d t = \int_{0}^{x} cos (t^{2}) d t + i \int_{0}^{x} sin (t^{2}) d t

Q1-(a) Montrer

f (x) = \frac{e ^{i x^{2}} - 1}{2 i x} + \frac{1}{2 i} \int_{0}^{x} \frac{e ^{i t^{2}} - 1}{t ^{2}} d t

. En déduire que

f

admet une limite notée

λ

+ \infty

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71. $Limite de \frac{1}{x} \int_{0}^{x} t f (t) d t$

Soit

f : [0; + \infty [\to R

continue. On suppose que l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

converge. Calculer

x \to + \infty lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} t f (t) d t

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72. $Convergence induite de \int \frac{f ( t )}{t} d t$

Soit

f : [1; + \infty [\to R

continue. Montrer

\int_{1}^{+ \infty} f (t) d t

converge

⟹

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f ( t )}{t} d t

converge.

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73. $Convergence induite de \int \frac{f ( t )}{1 + t ^{α}} d t$

Soit

f : [0; + \infty [\to R

continue et

α > 0

. Montrer

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

converge

⟹

\int_{0}^{+ \infty} \frac{f ( t )}{1 + t ^{α}} d t

converge.

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74. $Critère de Dirichlet pour \int f (t) g (t) d t$

Soit

f : [a; + \infty [\to R

avec

f

de classe

C^{1}

, décroissante et de limite nulle en

+ \infty

. Soit

g : [a; + \infty [\to R

continue telle qu'il existe

M \in R_{+}

vérifiant

\forall x \in [a; + \infty [, \int_{a}^{x} g (t) d t \leq M

. Montrer la convergence de

\int_{a}^{+ \infty} f (t) g (t) d t

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75. $Domaine et limite de f (a) = \int \frac{d t}{t ^{a} + 1}$

On pose

f (a) = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{a} + 1}

Q1-(a) Pour quelles valeurs de

a

, l'intégrale définissant

f (a)

existe-t-elle ?

Q2-(b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en

+ \infty

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76. $Fonction Γ : existence et récurrence$

(Fonction

Γ

d'Euler) Pour

x > 0

on note

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

Q1-(a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour tout

x > 0

Q2-(b) Justifier

\forall x > 1, Γ (x) = (x - 1) Γ (x - 1)

et calculer

Γ (n)

pour

n \in N^{*}

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77. $Étude de f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t$

Q1-(a) Pour quelles valeurs de

x

, l'intégrale

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t

est-elle définie ?

78. $Riemann-Lebesgue pour φ intégrable$

Soit

φ : R_{+} \to R

une fonction de classe

C^{1}

intégrable.

Q1-(a) Soit

A > 0

. Montrer

\int_{0}^{A} φ (t) cos (x t) d t x \to + \infty 0

Q2-(b) Montrer

\int_{0}^{+ \infty} φ (t) cos (x t) d t x \to + \infty 0

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79. $Étude de F (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t$

Pour

x > 0

, on pose

F (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t

80. $Queue de l'intégrale de Dirichlet$

Q1-(a) Donner la nature de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

. On pose pour tout réel

x

f (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

Q2-(b) Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R

et exprimer sa dérivée.

Q3-(c) Calculer

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

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41.

42.Calcul de I(a,b)=∫(t2+a2)(t2+b2)dt​

43.Intégrale de P/Q par éléments simples

44.Type Frullani : ∫tf(at)−f(bt)​dt

45.Calcul de ∫01​1+t41+t2​dt via t=e−x

46.Calcul de ∫1+x41+x2​dx via x=et

47.Calcul de ∫(1+t2)2dt​ via u=1/t

48.Calcul de I=∫x3+1dx​

49.Calcul de ∫0π/2​tanθ​dθ

50.Calcul de ∫x(1−x)​dx​ et son dual

51.Calcul de In​=∫01​(xlnx)ndx

52.Calcul de In​=∫(1+x2)n+1dx​

53.Intégrabilité et calcul de (1+t)2lnt​

54.Calcul de ∫01​x2ln(1−x2)​dx

55.Égalité des intégrales de u(x) et v(x)=f(x)/x

56.Inégalité intégrale avec f(0)=0

57.Inégalité de type Heisenberg pour u∈C1

58.Calcul de I=∫ln(t21+t2​)dt

59.IPP pour ∫te−t−e−2t​dt

60.Calcul de In​=∫01​1−t​tn​dt

61.Développement asymptotique de ∫1+xndx​

62.Récurrence et équivalent de ∫(1+x3)n+1dx​

63.Équivalent de un​=∫t(t+n)t−⌊t⌋​dt

64.Limites de ∫fsin(nt) et ∫fcos(nt)

65.Convergence de ∫0+∞​tsint​dt

66.Critère de Dirichlet pour ∫f(t)sin(t)dt

67.Limite de ∫0x​sin(et)dt en +∞

68.Convergence de ∫eit2dt

69.Équivalent de f(λ)=∫01​eiλx2dx

70.Comportement de Fresnel en +∞

71.Limite de x1​∫0x​tf(t)dt

72.Convergence induite de ∫tf(t)​dt

73.Convergence induite de ∫1+tαf(t)​dt

74.Critère de Dirichlet pour ∫f(t)g(t)dt

75.Domaine et limite de f(a)=∫ta+1dt​

76.Fonction Γ : existence et récurrence

77.Étude de f(x)=∫01​1+ttx−1​dt

78.Riemann-Lebesgue pour φ intégrable

79.Étude de F(x)=∫x+∞​te−t​dt

80.Queue de l'intégrale de Dirichlet

42. $Calcul de I (a, b) = \int \frac{d t}{( t ^{2} + a ^{2} ) ( t ^{2} + b ^{2} )}$

43. $Intégrale de P / Q par éléments simples$

44. $Type Frullani : \int \frac{f ( a t ) - f ( b t )}{t} d t$

45. $Calcul de \int_{0}^{1} \frac{1 + t ^{2}}{1 + t ^{4}} d t via t = e^{- x}$

46. $Calcul de \int \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{4}} d x via x = e^{t}$

47. $Calcul de \int \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} via u = 1/ t$

48. $Calcul de I = \int \frac{d x}{x ^{3} + 1}$

49. $Calcul de \int_{0}^{π /2} tan θ d θ$

50. $Calcul de \int \frac{d x}{x ( 1 - x )} et son dual$

51. $Calcul de I_{n} = \int_{0}^{1} (x ln x)^{n} d x$

52. $Calcul de I_{n} = \int \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}}$

53. $Intégrabilité et calcul de \frac{l n t}{( 1 + t ) ^{2}}$

54. $Calcul de \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 - x ^{2} )}{x ^{2}} d x$

55. $Égalité des intégrales de u (x) et v (x) = f (x) / x$

56. $Inégalité intégrale avec f (0) = 0$

57. $Inégalité de type Heisenberg pour u \in C^{1}$

58. $Calcul de I = \int ln (\frac{1 + t ^{2}}{t ^{2}}) d t$

59. $IPP pour \int \frac{e ^{- t} - e ^{- 2 t}}{t} d t$

60. $Calcul de I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 - t} d t$

61. $Développement asymptotique de \int \frac{d x}{1 + x ^{n}}$

62. $Récurrence et équivalent de \int \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{n + 1}}$

63. $Équivalent de u_{n} = \int \frac{t - ⌊ t ⌋}{t ( t + n )} d t$

64. $Limites de \int f sin (n t) et \int f cos (n t)$

65. $Convergence de \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n t}{t} d t$

66. $Critère de Dirichlet pour \int f (t) sin (t) d t$

67. $Limite de \int_{0}^{x} sin (e^{t}) d t en + \infty$

68. $Convergence de \int e^{i t^{2}} d t$

69. $Équivalent de f (λ) = \int_{0}^{1} e^{iλ x^{2}} d x$

70. $Comportement de Fresnel en + \infty$

71. $Limite de \frac{1}{x} \int_{0}^{x} t f (t) d t$

72. $Convergence induite de \int \frac{f ( t )}{t} d t$

73. $Convergence induite de \int \frac{f ( t )}{1 + t ^{α}} d t$

74. $Critère de Dirichlet pour \int f (t) g (t) d t$

75. $Domaine et limite de f (a) = \int \frac{d t}{t ^{a} + 1}$

76. $Fonction Γ : existence et récurrence$

77. $Étude de f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t$

78. $Riemann-Lebesgue pour φ intégrable$

79. $Étude de F (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t$

80. $Queue de l'intégrale de Dirichlet$