Exercices de Intégrales impropres en maths Spé (prépa) (page 3)

82. $Limite et équivalent de G (x, y) en y \to + \infty$

Q1-(a) Justifier que

G (x, y) = \int_{0}^{y} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t ( t + x )} d t

est définie sur

(R_{+}^{*})^{2}

Q2-(b) Montrer que

G (x, y)

tend vers une limite

G (x)

quand

y

tend vers

+ \infty

Q3-(c) Montrer que

\forall n \in N^{*}, G (n, y) = \frac{1}{n} (\int_{0}^{n} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t} d t - \int_{y}^{y + n} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t} d t)

Q4-(d) On note

H (n) = n G (n)

; montrer que la série de terme général

H (n) - H (n - 1) - \frac{1}{2 n}

converge et en déduire un équivalent de

G (n)

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83. $Équivalent de \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t$

Déterminer un équivalent quand

x \to + \infty

\int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t

84. $DA à trois termes de \int_{1}^{x} \frac{e ^{t}}{t} d t$

Déterminer un développement asymptotique à trois termes quand

x \to + \infty

\int_{1}^{x} \frac{e ^{t}}{t} d t

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85. $Limite de \int_{a x}^{b x} \frac{f ( t )}{t} d t en 0^{+}$

Soit

f : [0; + \infty [\to R

une fonction continue. Pour

0 < a < b

, déterminer

x \to 0^{+} lim \int_{a x}^{b x} \frac{f ( t )}{t} d t

86. $Comparaison de f à sa primitive$

Soit

f : [0; + \infty [\to R_{+}^{*}

de classe

C^{1}

et non intégrable. On suppose

f^{'} (x) x \to + \infty = o (f (x))

. Montrer

f (x) x \to + \infty = o (\int_{0}^{x} f (t) d t)

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87. $Cesàro et un produit de sinus$

Soit

f :] 0; 1 [\to R

continue par morceaux, monotone et intégrable sur

] 0; 1 [

Q1-(a) Étudier

n \to + \infty lim \frac{1}{n} (f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + \dots + f (\frac{n - 1}{n}))

Q2-(b) Application : Déterminer

n \to + \infty lim n sin (\frac{π}{2 n}) sin (\frac{2 π}{2 n}) \times \dots \times sin (\frac{( n - 1 ) π}{2 n})

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88. $Passage de \int \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{4}} d x à \int \frac{d x}{1 + x ^{4}}$

ccp

Calcul et intégrales impropres.

Q1-Calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{4}} d x

en effectuant notamment le changement de variable

x = e^{t}

89. $Substitution x = tan t et série de Dirichlet$

ccp

Intégrale trigonométrique et séries.

Q1-

a

désigne un réel strictement supérieur à

- 1

. En posant

x = tan t

, montrer

\int_{0}^{π /2} \frac{d t}{1 + a sin ^{2} ( t )} = \frac{π}{2 1 + a}

Q2-Donner en fonction de

α > 0

, la nature de la série

\sum \int_{0}^{π} \frac{d t}{1 + ( nπ ) ^{α} sin ^{2} ( t )}

Q3-Même question pour

\sum \int_{nπ}^{(n + 1) π} \frac{d t}{1 + t ^{α} sin ^{2} ( t )}

Q4-Donner la nature de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + t ^{α} sin ^{2} ( t )}

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90. $Intégrabilité d'un quotient en ln x$

ccp

On considère

f (x) = \frac{ln x}{( x - 1 ) x}

Q1-Étudier l'intégrabilité sur

] 1; + \infty [

f

Q2-Montrer

\int_{2}^{3} f (x) d x \leq \frac{ln 3}{2}

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91. $Wallis, Gauss et suite u_{n} = (n + 1) W_{n} W_{n + 1}$

ccp

Intégrale de Wallis et intégrale de Gauss.

Q1-Montrer que

\forall x \in R, e^{x} \geq 1 + x

. En déduire

\forall t \in R, 1 - t^{2} \leq e^{- t^{2}} \leq \frac{1}{1 + t ^{2}}

92. $Équivalent de I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} ln (1 - x) d x$

centrale

Déterminer un équivalent de

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} ln (1 - x) d x .

93. $Calcul de Dirichlet par récurrence$

centrale

Q1-Soit

f \in C^{1} ([a; b], R)

. Déterminer les limites des suites

(\int_{a}^{b} f (t) sin (n t) d t)_{n \in N}

(\int_{a}^{b} f (t) cos (n t) d t)_{n \in N}

Q2-Calculer, pour

n \in N^{*}

\int_{0}^{π /2} \frac{sin ( 2 n t ) cos t}{sin t} d t

(on procédera par récurrence).

Q3-En déduire

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

Q4-Étudier la limite puis un équivalent de

(\int_{0}^{π /2} ln (2 sin (t /2)) cos (n t) d t)_{n \in N}

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94. $La fonction \int_{0}^{x} sin (e^{t}) d t a-t-elle une limite ?$

centrale

La fonction

x \mapsto \int_{0}^{x} sin (e^{t}) d t

admet-elle une limite en

+ \infty

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95. $Régularité de f \cdot f^{'} pour f, f^{''} intégrables$

centrale

Soit

f \in C^{2} ([0; + \infty [, R)

. On suppose que

f

f^{''}

sont intégrables.

Q1-Montrer que

f^{'} (x) \to 0

quand

x \to + \infty

Q2-Montrer que

f \cdot f^{'}

est intégrable.

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96. $Existence et calcul de \int t^{⌊ 1/ t ⌋} d t$

centrale

Justifier l'existence et calculer

I = \int_{0}^{+ \infty} t^{⌊ 1/ t ⌋} d t .

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97. $Fresnel : convergence complexe$

mines

Convergence de

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t^{2}} d t .

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98. $Calcul de \int_{0}^{+ \infty} \frac{l n t}{t ^{2} + a ^{2}} d t$

mines

Calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{ln t}{t ^{2} + a ^{2}} d t

où

a > 0

99. $Dérivée de la queue de Dirichlet f (x)$

mines

On pose pour tout réel

x

f (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t .

Q1-Donner la nature de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R

et exprimer sa dérivée.

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100. $Exemple intégrable et non borné$

mines

Donner un exemple de

f \in C^{0} (R_{+}, R_{+})

intégrable et non bornée.

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101. $Existence et calcul de \int tan θ d θ$

mines

Existence et calcul de

\int_{0}^{π /2} tan θ d θ .

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102. $Calcul complexe de \int \frac{d t}{1 + ( t + ib ) ^{2}}$

mines

Existence et calcul éventuel de

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + ( t + ib ) ^{2}} d t .

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103. $Cinq primitives classiques par IPP$

Calculer les intégrales suivantes.

Q1-

\int x arctan^{2} (x) d x

Q2-

\int e^{x} sin^{2} (x) d x

Q3-

\int cos (ln x) d x

en posant

u = ln x

Q4-

\int \frac{x d x}{1 + x}

en posant

u = 1 + x

Q5-

\int \frac{d x}{ch x}

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104. $Symétrie de S et C, puis calcul de S + C$

On pose

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin t}{sin t + cos t} d t

C = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{cos t}{sin t + cos t} d t

Q1-Justifier que

S

C

sont bien définies.

Q2-Montrer que

S = C

par changement de variable.

Q3-Que vaut

S + C

? En déduire

S

C

Q4-En déduire

I = \int_{0}^{1} \frac{d t}{t + 1 - t ^{2}}

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105. $Règles de Bioche$

Calculer les intégrales suivantes.

Q1-

\int_{0}^{π} \frac{sin t d t}{4 - cos ^{2} t}

en posant

u = cos t

Q2-

\int_{\frac{π}{2}}^{x} \frac{d t}{sin t}

pour

x \in] 0, π [

en posant

u = cos t

Q3-

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{d t}{cos ^{3} t}

en posant

u = sin t

Q4-

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d t}{sin t + cos t}

en posant

u = tan \frac{t}{2}

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106. $Intégrales de Wallis$

On pose pour tout

n \geq 0

I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} (x) d x .

Q1-Calculer

I_{0}

I_{1}

Q2-En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entre

I_{n}

I_{n + 2}

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107. $Limite et DA de u_{n}$

On pose pour

n \in N

u_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{n}}

Q1-Montrer que

(u_{n})

converge et donner sa limite.

Q2-À l'aide d'une intégration par parties, donner un développement asymptotique à deux termes de

u_{n}

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108. $Vers la série harmonique alternée$

On considère la suite de terme général

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 + t} d t

Q1-Déterminer la limite de

(I_{n})

Q2-Déterminer une relation de récurrence entre

I_{n}

I_{n + 1}

Q3-On pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k}

. Exprimer

S_{n}

en fonction de

I_{n}

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109. $Quatre intégrales par IPP$

Calculer les intégrales suivantes.

I = \int_{0}^{π} x sin (x) d x J = \int_{1}^{2} x^{2} ln (x) d x

K = \int_{0}^{π} e^{2 x} sin (3 x) d x L = \int_{0}^{\frac{1}{2}} arccos x d x

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110. $Quatre primitives par IPP$

Calculer les primitives suivantes.

Q1-

\int x^{2} e^{3 x} d x

Q2-

\int arctan (x) d x

Q3-

\int e^{2 x} sin x d x

Q4-

\int arcsin (x) d x

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111. $Équivalent de u_{n} = \int \frac{d x}{1 + x ^{4} s i n ^{2} x}$

On pose

u_{n} = \int_{nπ}^{(n + 1) π} \frac{d x}{1 + x ^{4} sin ^{2} x}

pour

n \in N

112. $Mines MP 2016$

Soit

P \in R [X]

de degré supérieur ou égal à 2.

Q1-Déterminer la nature de l'intégrale

I = \int_{0}^{+ \infty} cos (P (x)) d x

Q2-Déterminer la nature de l'intégrale

J = \int_{0}^{+ \infty} ∣ cos (P (x)) ∣ d x

Q3-Déterminer le signe de

I

lorsque

P = X^{2}

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113. $Nature de sept intégrales impropres$

Les intégrales suivantes convergent-elles ?

Q1-

\int_{0}^{1} ln t d t

Q2-

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t

Q3-

\int_{0}^{+ \infty} x sin (x) e^{- x} d x

Q4-

\int_{0}^{+ \infty} ln (t) e^{- t} d t

Q5-

\int_{0}^{1} \frac{d t}{( 1 - t ) t}

Q6-

\int_{0}^{+ \infty} \frac{ln ( t )}{t ^{2} + 1} d t

Q7-

\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln x}{( x - 1 ) x} d x

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114. $Intégrales de Bertrand$

Q1-Pour quelles valeurs des réels

α

β

l'intégrale

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α} ( ln t ) ^{β}}

converge-t-elle ?

Q2-Même question pour l'intégrale

\int_{0}^{1/ e} \frac{d t}{t ^{α} ∣ ln t ∣ ^{β}}

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115. $Centrale-Supélec MP 2021$

On considère

I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} ln x d x

Q1-Montrer l'existence de

I

Q2-Montrer

I < 0

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116. $Semi-convergence de \int \frac{s i n x}{x} d x$

Q1-Montrer que

\int_{1}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x

converge.

117. $Convergence de \int \frac{s i n t}{t ^{α}} d t$

Pour quelles valeurs du réel

α

l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t ^{α}} d t

converge-t-elle ?

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118. $X-ESPCI PC 2013$

Soit

f : [1, + \infty [\to R

de classe

C^{1}

telle que

(f^{'})^{2}

est intégrable sur

[1, + \infty [

. Montrer qu'il en est de même pour

g : t \mapsto (\frac{f ( t )}{t})^{2}

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119. $Non convergence absolue de l'intégrale de Dirichlet$

Montrer que

t \mapsto \frac{sin t}{t}

n'est pas intégrable sur

R_{+}^{*}

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120. $E3A PSI 2020$

Soient

a

un réel strictement positif et

f

une fonction continue sur

R

.
Pour tout réel

λ

, on pose

I (λ) = \int_{a}^{+ \infty} \frac{λ - f ( t )}{t} d t

, lorsque cela existe.

Q1-Justifier qu'il existe au plus un réel

λ

tel que

I (λ)

converge.

Q2-Pour

H_{λ} (x) = \int_{a}^{x} (λ - f (t)) d t

, démontrer que si

H_{λ}

est bornée, alors

I (λ) = \int_{a}^{+ \infty} \frac{H _{λ} ( t )}{t ^{2}} d t

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81.

82.Limite et équivalent de G(x,y) en y→+∞

83.Équivalent de ∫x+∞​te−t​dt

84.DA à trois termes de ∫1x​tet​dt

85.Limite de ∫axbx​tf(t)​dt en 0+

86.Comparaison de f à sa primitive

87.Cesàro et un produit de sinus

88.Passage de ∫1+x41+x2​dx à ∫1+x4dx​

89.Substitution x=tant et série de Dirichlet

90.Intégrabilité d'un quotient en lnx

91.Wallis, Gauss et suite un​=(n+1)Wn​Wn+1​

92.Équivalent de In​=∫01​xn+1ln(1−x)dx

93.Calcul de Dirichlet par récurrence

94.La fonction ∫0x​sin(et)dt a-t-elle une limite ?

95.Régularité de f⋅f′ pour f,f′′ intégrables

96.Existence et calcul de ∫t⌊1/t⌋dt

97.Fresnel : convergence complexe

98.Calcul de ∫0+∞​t2+a2lnt​dt

99.Dérivée de la queue de Dirichlet f(x)

100.Exemple intégrable et non borné

101.Existence et calcul de ∫tanθ​dθ

102.Calcul complexe de ∫1+(t+ib)2dt​

103.Cinq primitives classiques par IPP

104.Symétrie de S et C, puis calcul de S+C

105.Règles de Bioche

106.Intégrales de Wallis

107.Limite et DA de un​

108.Vers la série harmonique alternée

109.Quatre intégrales par IPP

110.Quatre primitives par IPP

111.Équivalent de un​=∫1+x4sin2xdx​

112.Mines MP 2016

113.Nature de sept intégrales impropres

114.Intégrales de Bertrand

115.Centrale-Supélec MP 2021

116.Semi-convergence de ∫x​sinx​dx

117.Convergence de ∫tαsint​dt

118.X-ESPCI PC 2013

119.Non convergence absolue de l'intégrale de Dirichlet

120.E3A PSI 2020

82. $Limite et équivalent de G (x, y) en y \to + \infty$

83. $Équivalent de \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t$

84. $DA à trois termes de \int_{1}^{x} \frac{e ^{t}}{t} d t$

85. $Limite de \int_{a x}^{b x} \frac{f ( t )}{t} d t en 0^{+}$

86. $Comparaison de f à sa primitive$

87. $Cesàro et un produit de sinus$

88. $Passage de \int \frac{1 + x ^{2}}{1 + x ^{4}} d x à \int \frac{d x}{1 + x ^{4}}$

89. $Substitution x = tan t et série de Dirichlet$

90. $Intégrabilité d'un quotient en ln x$

91. $Wallis, Gauss et suite u_{n} = (n + 1) W_{n} W_{n + 1}$

92. $Équivalent de I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} ln (1 - x) d x$

93. $Calcul de Dirichlet par récurrence$

94. $La fonction \int_{0}^{x} sin (e^{t}) d t a-t-elle une limite ?$

95. $Régularité de f \cdot f^{'} pour f, f^{''} intégrables$

96. $Existence et calcul de \int t^{⌊ 1/ t ⌋} d t$

97. $Fresnel : convergence complexe$

98. $Calcul de \int_{0}^{+ \infty} \frac{l n t}{t ^{2} + a ^{2}} d t$

99. $Dérivée de la queue de Dirichlet f (x)$

100. $Exemple intégrable et non borné$

101. $Existence et calcul de \int tan θ d θ$

102. $Calcul complexe de \int \frac{d t}{1 + ( t + ib ) ^{2}}$

103. $Cinq primitives classiques par IPP$

104. $Symétrie de S et C, puis calcul de S + C$

105. $Règles de Bioche$

106. $Intégrales de Wallis$

107. $Limite et DA de u_{n}$

108. $Vers la série harmonique alternée$

109. $Quatre intégrales par IPP$

110. $Quatre primitives par IPP$

111. $Équivalent de u_{n} = \int \frac{d x}{1 + x ^{4} s i n ^{2} x}$

112. $Mines MP 2016$

113. $Nature de sept intégrales impropres$

114. $Intégrales de Bertrand$

115. $Centrale-Supélec MP 2021$

116. $Semi-convergence de \int \frac{s i n x}{x} d x$

117. $Convergence de \int \frac{s i n t}{t ^{α}} d t$

118. $X-ESPCI PC 2013$

119. $Non convergence absolue de l'intégrale de Dirichlet$

120. $E3A PSI 2020$