Exercices de Intégrales impropres, Spé (prépa) (page 5)

163 exercices de Intégrales impropres pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Introduction, Convergence d'intégrales, Intégrabilité, Calcul d'intégrales.

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Exercices 161 à 163 sur 163 · page 5 sur 5

161. $CCP MP 2018$

Soit

f : R_{+} \to R

continue et

π

-périodique vérifiant

\int_{0}^{π} f (t) d t = 0

Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = \int_{0}^{π} f (t) e^{- t / n} d t v_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- t / n} d t

Q1-Justifier que

u_{n}

et

v_{n}

sont bien définis pour tout

n \in N^{*}

.

Q2-Justifier qu'il existe une suite

(a_{n})

, que l'on précisera, telle que

v_{n} = a_{n} u_{n}

pour tout

n \in N^{*}

.

Q3-Montrer que

a_{n} n \to + \infty \sim \frac{n}{π}

.

Q4-Montrer que

(u_{n})

converge vers

0

. Montrer que

(v_{n})

converge et préciser sa limite.

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162. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

Pour tout

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{1} (t ln (t))^{n} d t

. Montrer que cette intégrale converge. Donner sa valeur.

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163. $Banque Mines-Ponts MP 2023$

Soit

f \in C^{0} (R_{+}, R_{+})

décroissante. Montrer que si

f

est intégrable sur

R_{+}

, alors

x \to + \infty lim x f (x) = 0

.

La réciproque est-elle vraie ?

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161.CCP MP 2018

162.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

163.Banque Mines-Ponts MP 2023

161. $CCP MP 2018$

162. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

163. $Banque Mines-Ponts MP 2023$