Exercices de Intégrales impropres en maths Spé (prépa) (page 4)

122. $Mines-Ponts MP 2025$

Soit

α > 1

Q1-Montrer que l'équation

x^{α} = sin x

admet une unique solution sur

R_{+}^{*}

. On note

a

cette solution.

Q2-Étudier la convergence de l'intégrale

\int_{a}^{+ \infty} \frac{cos x d x}{x ^{α} - sin x}

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123. $Limite nulle sous convergence de \int f$

Q1-Soit

f

continue par morceaux de

R_{+}

dans

R

admettant une limite

ℓ

+ \infty

et telle que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

converge. Montrer que

ℓ = 0

Q2-Soit

f

uniformément continue de

R_{+}

dans

R

telle que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

converge. Montrer que

+ \infty lim f = 0

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124. $Limite nulle pour f lipschitzienne$

Soit

f : R_{+} \to R

lipschitzienne telle que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

converge. Montrer que

t \to + \infty lim f (t) = 0

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125. $Inégalité de Landau-Kolmogorov$

Soit

f : R \to R

de classe

C^{2}

telle que

f

f^{''}

sont de carré intégrable sur

R

Q1-Montrer que

f^{'}

est également de carré intégrable sur

R

Q2-Montrer que

(\int_{R} f^{'2})^{2} \leq (\int_{R} f^{2}) (\int_{R} f^{''2})

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126. $Banque Mines-Ponts PSI 2021$

Soit

f : R_{+} \to R

continue telle que

x \to + \infty lim f (x) = 0

Q1-Prouver que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

converge si et seulement si

n \mapsto \int_{0}^{n} f (t) d t

converge.

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127. $Mines-Télécom MP 2017$

Soit

f : R_{+} \to R

continue, décroissante et intégrable sur

R_{+}

Q1-Montrer que

f

est de limite nulle en

+ \infty

Q2-Montrer que

f (x) x \to + \infty = o (\frac{1}{x})

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128. $Saint-Cyr MP 2024$

Soit

f : R_{+} \to R_{+}

continue et intégrable telle que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = 1

\int_{0}^{+ \infty} t f (t) d t

converge. On pose

g : x \mapsto \int_{x}^{+ \infty} f (t) d t

Q1-Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} g (t) d t

converge et que

\int_{0}^{+ \infty} g (t) d t = \int_{0}^{+ \infty} t f (t) d t

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129. $Calcul d'une intégrale gaussienne$

Convergence et calcul de

\int_{0}^{+ \infty} e^{- a^{2} t^{2} - \frac{b ^{2}}{t ^{2}}} d t

où

a, b > 0

. On admettra que

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = 2 π

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130. $Étude de I_{n} (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} d x}{( 1 - x ) ( 1 + α x )}$

n

désigne un entier naturel et

α

un réel strictement supérieur à

- 1

. On pose

I_{n} (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} d x}{( 1 - x ) ( 1 + α x )}

131. $Convergence et calcul de \int ln (1 + 1/ t^{2}) d t$

Convergence et calcul de

I = \int_{0}^{+ \infty} ln (1 + \frac{1}{t ^{2}}) d t

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132. $X MP 2010$

Déterminer

x > 0 sup \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln t}{x ^{2} + t ^{2}} d t

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133. $Convergence de I (a) = \int \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ( 1 + t ^{a} )}$

Q1-Pour quelles valeurs de

a \in R

l'intégrale

I (a) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ( 1 + t ^{a} )}

converge-t-elle ?

134. $CCP MP$

Q1-Déterminer le domaine de définition de

F : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln t}{x ^{2} + t ^{2}} d t

Q2-Calculer

F (1)

Q3-Calculer

F (x)

pour tout

x

dans le domaine de définition.

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135. $Intégrale de Dirichlet$

Q1-À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

converge.

Q2-On pose pour

n \in N

u_{n} = \int_{0}^{π /2} \frac{sin (( 2 n + 1 ) t )}{sin ( t )} d t

v_{n} = \int_{0}^{π /2} \frac{sin (( 2 n + 1 ) t )}{t} d t

. Justifier que

u_{n}

v_{n}

sont bien définies.

Q3-En calculant

u_{n + 1} - u_{n}

, montrer que

(u_{n})

est constante et préciser sa valeur.

Q4-Soit

φ

de classe

C^{1}

sur

[a, b]

. Montrer que

λ \to + \infty lim \int_{a}^{b} h (t) sin (λ t) d t = 0

Q5-Montrer que

h : t \mapsto \frac{1}{t} - \frac{1}{sin t}

est prolongeable en une fonction de classe

C^{1}

sur

[0, \frac{π}{2}]

Q6-Calculer la limite de

(u_{n} - v_{n})

puis celle de

(v_{n})

Q7-En déduire la valeur de

I

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136. $TPE-EIVP PSI 2017$

Soit

a > 1

. Soit

f

une fonction continue sur

[1, + \infty [

admettant une limite finie

ℓ

+ \infty

Q1-Montrer que

\int_{1}^{x} \frac{f ( a t ) - f ( t )}{t} d t = \int_{x}^{a x} \frac{f ( t )}{t} d t - \int_{1}^{a} \frac{f ( t )}{t} d t

Q2-En déduire que

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f ( a t ) - f ( t )}{t} d t

converge et la calculer.

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137. $Calcul de I = \int_{0}^{π /2} ln (sin t) d t$

On pose

I = \int_{0}^{π /2} ln (sin t) d t

Q1-Justifier que l'intégrale définissant

I

converge.

Q2-Montrer que

I = \int_{0}^{π /2} ln (cos t) d t

Q3-Montrer que

2 I = \int_{0}^{π} ln (sin t) d t

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138. $Intégrale de Frullani \int \frac{e ^{- a t} - e ^{- b t}}{t} d t$

Soient

a

b

deux réels strictement positifs. Convergence et calcul de

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- a t} - e ^{- b t}}{t} d t

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139. $Existence et calcul de \int \frac{d x}{x ^{3} + 1}$

Existence et calcul de

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3} + 1}

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140. $Trigonométrie$

Soit

a \in R_{+}^{*}

. Justifier la convergence et calculer

I = \int_{0}^{+ \infty} cos (t) e^{- a t} d t et J = \int_{0}^{+ \infty} sin (t) e^{- a t} d t

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141. $Nature et calcul de huit intégrales$

Déterminer la nature des intégrales suivantes et calculer leurs valeurs le cas échéant.

Q1-

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{4 + t ^{2}} d t

Q2-

J = \int_{0}^{2} \frac{1}{4 - t ^{2}} d t

Q3-

K = \int_{0}^{+ \infty} sin (t) d t

Q4-

L = \int_{0}^{1} ln (t) d t

Q5-

M = \int_{0}^{+ \infty} e^{- a t} d t

avec

a \in R_{+}^{*}

Q6-

N = \int_{0}^{1/3} \frac{1}{1 - 9 t ^{2}} d t

Q7-

O = \int_{3}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2} - 3 t + 2}

Q8-

P = \int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t ln t}

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142. $E3A MP Maths1 2015$

Q1-Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x

converge. On admet alors que

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = \frac{π}{2}

Q2-Dans la suite,

α > 0

x \in R

.
a. Montrer que

t \mapsto \frac{1 - cos ( α t )}{t ^{2}} e^{- i t x}

est prolongeable par continuité en 0.
b. Montrer que cette application est intégrable sur

R

Q3-On pose

I = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1 - cos ( α t )}{t ^{2}} e^{- i t x} d t

.
a. Montrer que

I

est réelle.
b. Montrer que

\int_{A}^{+ \infty} \frac{cos ( B x )}{x ^{2}} d x = \frac{cos ( A B )}{A} - B \int_{A B}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

.
c. En déduire

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - cos ( B x )}{x ^{2}} d x = \frac{∣ B ∣ π}{2}

.
d. En déduire la valeur de

I

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143. $Centrale PSI$

Soit

f

continue sur

R_{+}

. On pose

\forall x \in R_{+}, φ (x) = f (x) + \int_{0}^{x} f (t) d t

. On suppose que

φ

admet une limite finie en

+ \infty

. Montrer que

f

admet pour limite 0 en

+ \infty

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144. $Mines-Ponts MP 2016$

Q1-Soient

a \in C

tel que

Re (a) > 0

f

de classe

C^{1}

sur

R_{+}

telle que

+ \infty lim f^{'} + a f = 0

. Montrer que

+ \infty lim f = 0

Q2-Soit

f

de classe

C^{2}

sur

R_{+}

telle que

+ \infty lim f^{''} + f^{'} + f = 0

. Montrer que

+ \infty lim f = 0

Q3-Généraliser.

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145. $Centrale MP 2018$

Soit

f : R_{+} \to R

continue de carré intégrable sur

R_{+}

. On pose

g : x \in R_{+}^{*} \mapsto \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t

Q1-Déterminer la limite de

g

en 0.

Q2-Déterminer la limite de

g

+ \infty

Q3-Montrer que

g

est de carré intégrable sur

R_{+}

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146. $Équivalent de F (x) = \int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t$

Déterminer un équivalent simple de

F : x \mapsto \int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t

au voisinage de

+ \infty

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147. $Intégrabilité et équivalent de \int_{x}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$

Q1-Montrer que

f : t \mapsto e^{- t^{2}}

est intégrable sur

R_{+}

Q2-Déterminer un équivalent de

g : x \mapsto \int_{x}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t

au voisinage de

+ \infty

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148. $Limite nulle de f si f + f^{'} \to 0$

Soit

f

de classe

C^{1}

sur

R

telle que

x \to + \infty lim f (x) + f^{'} (x) = 0

. Montrer que

x \to + \infty lim f (x) = 0

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149. $Banque Mines-Ponts PSI 2021$

Soit

f (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t

Q1-Montrer que

f

est définie sur

I =] 0, + \infty [

Q2-Montrer que

f

est dérivable sur

I

et déterminer

f^{'}

Q3-Déterminer un équivalent de

f

en 0 et en

+ \infty

Q4-Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

est définie et la calculer.

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150. $Mines-Télécom MP 2017$

On pose pour tout

x

non nul,

F (x) = \int_{x}^{7 x} \frac{1 - e ^{- t}}{t ^{2}} d t

Déterminer

x \to 0^{+} lim F (x)

x \to + \infty lim F (x)

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151. $Équivalents de quatre intégrales$

Déterminer des équivalents de

Q1-

\int_{1}^{x} \frac{arctan t}{t} d t

lorsque

x \to + \infty

Q2-

\int_{x}^{+ \infty} \frac{th t}{t ^{2}} d t

lorsque

x \to + \infty

Q3-

\int_{x}^{1} \frac{e ^{t}}{t ^{3}} d t

lorsque

x \to 0^{+}

Q4-

\int_{0}^{x} \frac{sin t}{t ^{3/2}} d t

lorsque

x \to 0^{+}

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152. $Étude complète de f (x) = \int_{x}^{2 x} \frac{ch t}{t} d t$

On considère la fonction

f : x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{ch t}{t} d t

Q1-Justifier que

f

est définie sur

R^{*}

153. $CCINP MP 2021$

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

, il existe un unique

u_{n} \in] 0, 1]

tel que

\int_{u_{n}}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t = n

Q2-Étudier la monotonie de

(u_{n})

et sa limite.

Q3-On pose

v_{n} = n + ln u_{n}

. Montrer que

(v_{n})

converge et exprimer sa limite sous forme d'une intégrale.

Q4-Quelle est la nature de la série

\sum u_{n}

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154. $Centrale-Supélec MP 2022$

Q1-Énoncer et démontrer la formule de Taylor avec reste intégral.

Q2-Donner la nature de l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} d t

Q3-Donner la nature de la série

n \geq 1 \sum \frac{sin ( n )}{n}

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155. $Mines-Ponts MP 2016$

Q1-Soient

a \in C

tel que

Re (a) > 0

f

de classe

C^{1}

sur

R_{+}

à valeurs dans

C

telle que

+ \infty lim f^{'} + a f = 0

. Montrer que

+ \infty lim f = 0

Q2-Soit

f

de classe

C^{2}

sur

R_{+}

à valeurs dans

C

telle que

+ \infty lim f^{''} + f^{'} + f = 0

. Montrer que

+ \infty lim f = 0

Q3-Généraliser.

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156. $Centrale MP 2018$

Soit

f : R_{+} \to R

continue de carré intégrable sur

R_{+}

. On pose

g : x \in R_{+}^{*} \mapsto \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t

Q1-Déterminer la limite de

g

0

Q2-Déterminer la limite de

g

+ \infty

Q3-Montrer que

g

est de carré intégrable sur

R_{+}

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157. $Banque Mines-Ponts PSI 2021$

Soit

f (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t

Q1-Montrer que

f

est définie sur

I =] 0, + \infty [

Q2-Montrer que

f

est dérivable sur

I

et déterminer

f^{'}

Q3-Déterminer un équivalent de

f

0

et en

+ \infty

Q4-Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

est définie et la calculer.

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158. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2017$

On pose pour tout

x

non nul,

F (x) = \int_{x}^{7 x} \frac{1 - e ^{- t}}{t ^{2}} d t

Déterminer

x \to 0^{+} lim F (x)

x \to + \infty lim F (x)

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159. $CCP MP$

Q1-Déterminer le domaine de définition

F : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln t}{x ^{2} + t ^{2}} d t

Q2-Calculer

F (1)

Q3-Calculer

F (x)

pour tout

x

dans le domaine de définition de

F

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160. $TPE-EIVP PSI 2017$

Soit

a > 1

. Soit

f

une fonction continue sur

[1, + \infty [

admettant une limite finie

ℓ

+ \infty

Q1-Montrer que pour tout

x

dans

[1, + \infty [

\int_{1}^{x} \frac{f ( a t ) - f ( t )}{t} d t = \int_{x}^{a x} \frac{f ( t )}{t} d t - \int_{1}^{a} \frac{f ( t )}{t} d t

Q2-En déduire que

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f ( a t ) - f ( t )}{t} d t

converge et la calculer en fonction de

\int_{1}^{a} \frac{f ( t )}{t} d t

et de

ℓ

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121.

122.Mines-Ponts MP 2025

123.Limite nulle sous convergence de ∫f

124.Limite nulle pour f lipschitzienne

125.Inégalité de Landau-Kolmogorov

126.Banque Mines-Ponts PSI 2021

127.Mines-Télécom MP 2017

128.Saint-Cyr MP 2024

129.Calcul d'une intégrale gaussienne

130.Étude de In​(α)=∫01​(1−x)(1+αx)​xndx​

131.Convergence et calcul de ∫ln(1+1/t2)dt

132.X MP 2010

133.Convergence de I(a)=∫(1+t2)(1+ta)dt​

134.CCP MP

135.Intégrale de Dirichlet

136.TPE-EIVP PSI 2017

137.Calcul de I=∫0π/2​ln(sint)dt

138.Intégrale de Frullani ∫te−at−e−bt​dt

139.Existence et calcul de ∫x3+1dx​

140.Trigonométrie

141.Nature et calcul de huit intégrales

142.E3A MP Maths1 2015

143.Centrale PSI

144.Mines-Ponts MP 2016

145.Centrale MP 2018

146.Équivalent de F(x)=∫1x​et2dt

147.Intégrabilité et équivalent de ∫x+∞​e−t2dt

148.Limite nulle de f si f+f′→0

149.Banque Mines-Ponts PSI 2021

150.Mines-Télécom MP 2017

151.Équivalents de quatre intégrales

152.Étude complète de f(x)=∫x2x​tcht​dt

153.CCINP MP 2021

154.Centrale-Supélec MP 2022

155.Mines-Ponts MP 2016

156.Centrale MP 2018

157.Banque Mines-Ponts PSI 2021

158.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2017

159.CCP MP

160.TPE-EIVP PSI 2017

122. $Mines-Ponts MP 2025$

123. $Limite nulle sous convergence de \int f$

124. $Limite nulle pour f lipschitzienne$

125. $Inégalité de Landau-Kolmogorov$

126. $Banque Mines-Ponts PSI 2021$

127. $Mines-Télécom MP 2017$

128. $Saint-Cyr MP 2024$

129. $Calcul d'une intégrale gaussienne$

130. $Étude de I_{n} (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} d x}{( 1 - x ) ( 1 + α x )}$

131. $Convergence et calcul de \int ln (1 + 1/ t^{2}) d t$

132. $X MP 2010$

133. $Convergence de I (a) = \int \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ( 1 + t ^{a} )}$

134. $CCP MP$

135. $Intégrale de Dirichlet$

136. $TPE-EIVP PSI 2017$

137. $Calcul de I = \int_{0}^{π /2} ln (sin t) d t$

138. $Intégrale de Frullani \int \frac{e ^{- a t} - e ^{- b t}}{t} d t$

139. $Existence et calcul de \int \frac{d x}{x ^{3} + 1}$

140. $Trigonométrie$

141. $Nature et calcul de huit intégrales$

142. $E3A MP Maths1 2015$

143. $Centrale PSI$

144. $Mines-Ponts MP 2016$

145. $Centrale MP 2018$

146. $Équivalent de F (x) = \int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t$

147. $Intégrabilité et équivalent de \int_{x}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$

148. $Limite nulle de f si f + f^{'} \to 0$

149. $Banque Mines-Ponts PSI 2021$

150. $Mines-Télécom MP 2017$

151. $Équivalents de quatre intégrales$

152. $Étude complète de f (x) = \int_{x}^{2 x} \frac{ch t}{t} d t$

153. $CCINP MP 2021$

154. $Centrale-Supélec MP 2022$

155. $Mines-Ponts MP 2016$

156. $Centrale MP 2018$

157. $Banque Mines-Ponts PSI 2021$

158. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2017$

159. $CCP MP$

160. $TPE-EIVP PSI 2017$