Exercices de Suites et séries de fonctions en maths Spé (prépa)

1. $Limite simple conserve la convexité$

Établir que la limite simple d'une suite de fonctions de

I

vers

R

convexes est convexe.

2. $Convergence uniforme de g \circ f_{n}$

Soient

(f_{n})

une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction

f

g

une fonction uniformément continue.
Montrer que la suite de fonctions

(g \circ f_{n})

converge uniformément.

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3. $Convergence uniforme du produit f_{n} g_{n}$

Soient

(f_{n})

(g_{n})

deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctions

f

g

supposées bornées.
Montrer que la suite de fonctions

(f_{n} g_{n})

converge uniformément vers

f g

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4. $Convergence uniforme de borne inf$

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions réelles continues et définies sur

[a; b]

. On suppose que

f_{n}

converge uniformément vers une fonction

f

.
Montrer

[a; b] in f f_{n} \to [a; b] in f f .

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5. $Convergence de f_{n} (x_{n}) vers f (x)$

On suppose qu'une suite de fonctions

(f_{n})

[a; b]

vers

R

converge uniformément vers

f : [a; b] \to R

continue et on considère une suite

(x_{n})

d'éléments de

[a; b]

convergeant vers

x

. Montrer

f_{n} (x_{n}) n \to + \infty f (x) .

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6. $Limite uniforme de polynômes$

Soit

(P_{n})

une suite de fonctions polynômes de

R

dans

R

. On suppose que cette suite converge uniformément vers une fonction

f

sur

R

. Montrer que la fonction

f

est polynomiale.

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7. $Convergence uniforme de x^{n} ln x$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} (x) = x^{n} ln x avec x \in] 0; 1] et u_{n} (0) = 0.

Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions

(u_{n})_{n \geq 1}

sur

[0; 1]

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8. $Convergence uniforme de \frac{x}{n ( 1 + x ^{n} )}$

Étudier la convergence uniforme de

f_{n} : [0; + \infty [\to R

définie par

f_{n} (x) = \frac{x}{n ( 1 + x ^{n} )} .

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9. $Convergence simple et uniforme de e^{- n x} sin (n x)$

On pose

u_{n} (x) = e^{- n x} sin (n x) avec x \in R^{+} .

Q1-Étudier la convergence simple de la suite de fonctions

(u_{n})

sur

[0; + \infty [

Q2-Étudier la convergence uniforme sur

[a; + \infty [

avec

a > 0

Q3-Étudier la convergence uniforme sur

[0; + \infty [

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10. $Convergence uniforme de n x^{2} e^{- n x}$

On pose

f_{n} (x) = n x^{2} e^{- n x} avec x \in R^{+} .

Étudier la convergence uniforme de

(f_{n})

sur

R^{+}

puis sur

[a; + \infty [

avec

a > 0

Voir le corrigé

On pose

f_{n} (x) = n x^{2} e^{- n x}

sur

R^{+}

.
1. Convergence simple :
- Pour

x = 0

f_{n} (0) = 0 \to 0

.
- Pour

x > 0

, par croissances comparées de l'exponentielle sur les puissances,

f_{n} (x) n \to + \infty 0

.
La suite

(f_{n})

converge simplement vers la fonction nulle

f = 0

sur

R^{+}

.
2. Convergence uniforme sur $R^{+}$ :
Pour évaluer la distance uniforme, on étudie les variations de la fonction

f_{n}

sur

R^{+}

f_{n}

est dérivable.

f_{n}^{'} (x) = n (2 x e^{- n x} - n x^{2} e^{- n x}) = n x e^{- n x} (2 - n x)

.
La dérivée s'annule en

x = 0

x = \frac{2}{n}

. Elle est positive sur

] 0, 2/ n [

et négative sur

] 2/ n, + \infty [

.
Le maximum de

f_{n}

sur

R^{+}

est donc atteint en

x_{n} = \frac{2}{n}

.
La valeur maximale est

R^{+} sup ∣ f_{n} ∣ = f_{n} (\frac{2}{n}) = n (\frac{2}{n})^{2} e^{- 2} = \frac{4}{n e ^{2}}

.
Quand

n \to + \infty

, on a

n \to + \infty lim \frac{4}{n e ^{2}} = 0

.
Puisque le supremum de

∣ f_{n} (x) - 0∣

sur

R^{+}

tend vers 0, la suite de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur

R^{+}

.
3. Convergence sur $[a, + \infty [$ :
Puisqu'il y a convergence uniforme sur

R^{+}

tout entier, la convergence est _a fortiori_ uniforme sur tout sous-ensemble de

R^{+}

, et en particulier sur tout intervalle de la forme

[a, + \infty [

avec

a > 0

11. $Convergence uniforme de (1 + x^{2})^{- n}$

On pose

f_{n} (x) = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} avec x \in R .

Étudier la convergence uniforme de

(f_{n})

sur

R

puis sur

] - \infty; - a] \cup [a; + \infty [

avec

a > 0

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12. $Convergence uniforme de x^{2} sin (1/ (n x))$

On pose

f_{n} (x) = x^{2} sin (\frac{1}{n x}) pour x \in R^{*} et f_{n} (0) = 0.

Q1-Étudier la convergence uniforme de

(f_{n})

sur

R

Q2-Étudier la convergence uniforme de

(f_{n})

sur

[- a; a]

avec

a > 0

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13. $Convergence de sin^{n} (x) cos (x) sur R$

Étudier la convergence simple et uniforme sur

R

de la suite de fonctions

(f_{n})

donnée par

f_{n} (x) = sin^{n} (x) cos (x) .

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14. $Étude de la suite \frac{n x ^{2} e ^{- n x}}{1 - e ^{- x^{2}}}$

Étudier la suite de fonctions

(f_{n})

définie par

f_{n} (x) = \frac{n x ^{2} e ^{- n x}}{1 - e ^{- x^{2}}} .

15. $Convergence de (1 + x)^{- 1 - 1/ p}$

On pose, pour

x \geq 0

f_{p} (x) = \frac{1}{( 1 + x ) ^{1 + 1/ p}} .

Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions

(f_{p})_{p \in N^{*}}

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16. $Convergence uniforme de \frac{2 ^{n} x}{1 + n 2 ^{n} x ^{2}}$

On pose

f_{n} (x) = \frac{2 ^{n} x}{1 + n 2 ^{n} x ^{2}} pour x \in R .

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ?

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17. $Convergence uniforme de 4^{n} (x^{2 n} - x^{2 n + 1})$

On pose

f_{n} (x) = 4^{n} (x^{2 n} - x^{2 n + 1}) pour x \in [0; 1] .

Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ?

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18. $Convergence uniforme de n^{α} x (1 - x)^{n}$

Soient

α \in R

f_{n} : [0; 1] \to R

définie par

f_{n} (x) = n^{α} x (1 - x)^{n} .

Q1-Étudier la limite simple de la suite

(f_{n})

Q2-Pour quels

α \in R

, y a-t-il convergence uniforme ?

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19. $Convergence de (1 - x / n)^{n} tronquée en n$

Soit, pour

n \in N

f_{n}

la fonction définie sur

R^{+}

par

f_{n} (x) = (1 - \frac{x}{n})^{n} si x \in [0; n [et f_{n} (x) = 0 si x \geq n .

Étudier le mode de convergence de

(f_{n})

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20. $Convergence uniforme de (1 + x / n)^{- n} sur R^{+}$

Soit

f_{n} : R^{+} \to R

définie par

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n})^{- n} .

Q1-Étudier la limite simple de

(f_{n})

et montrer que

\forall x \in R^{+}, f_{n} (x) \geq lim f_{n} (x)

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21. $Suite en pic sur [0; 1/ n] et intégrale$

Soit

f_{n} : [0; 1] \to R

définie par

f_{n} (x) = n^{2} x (1 - n x) si x \in [0; 1/ n] et f_{n} (x) = 0 sinon.

Q1-Étudier la limite simple de la suite

(f_{n})

Q2-Calculer

\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t

. Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonctions

(f_{n})

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22. $Convergence de n sin x cos^{n} x sur [0; π /2]$

Pour

x \in [0; π /2]

, on pose

f_{n} (x) = n sin x cos^{n} x

Q1-Déterminer la limite simple de la suite de fonctions

(f_{n})

Q2-Calculer

I_{n} = \int_{0}^{π /2} f_{n} (x) d x

. La suite

(f_{n})

converge-t-elle uniformément ?

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23. $Convergence uniforme de x (1 + n^{α} e^{- n x})$

Soit

α \in R

n \in N^{*}

. On définit sur

R^{+}

la suite de fonctions

f_{n} (x) = x (1 + n^{α} e^{- n x})

Q1-Montrer que la suite de fonctions

(f_{n})

converge simplement vers une fonction

f

à déterminer.

Q2-Déterminer les valeurs de

α

pour lesquelles il y a convergence uniforme.

Q3-Calculer

n \to + \infty lim \int_{0}^{1} x (1 + n e^{- n x}) d x

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24. $Suite récurrente f_{n + 1} = x / (2 + f_{n})$

Soit

(f_{n})

la suite de fonctions définie sur

R^{+}

par

f_{0} (x) = x et f_{n + 1} (x) = \frac{x}{2 + f _{n} ( x )} pour n \in N .

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite

(f_{n})_{n \geq 0}

sur

R^{+}

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25. $Point fixe de l'opérateur Φ (f) = \int_{0}^{x} f$

On note

E

l'ensemble des fonctions

f : [0; 1] \to R^{+}

continues.
On pose

Φ (f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

pour toute

f \in E

.
On pose

f_{0} = 1

puis

f_{n + 1} = Φ (f_{n})

pour tout

n \in N

26. $Limite uniforme de x^{2} + 1/ n pas C^{1}$

Soit

f_{n} : R \to R

définie par

f_{n} (x) = x^{2} + 1/ n

.
Montrer que chaque

f_{n}

est de classe

C^{1}

et que la suite

(f_{n})

converge uniformément sur

R

vers une fonction

f

qui n'est pas de classe

C^{1}

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27. $Convergence uniforme de n (f (x + 1/ n) - f (x)) vers f^{'}$

Soit

f : R \to R

une fonction deux fois dérivable de dérivée seconde bornée.
Montrer que la suite des fonctions

g_{n} : x \mapsto n (f (x + 1/ n) - f (x))

converge uniformément vers

f^{'}

Voir le corrigé

Soit

f : R \to R

une fonction deux fois dérivable telle que

f^{''}

soit bornée. On pose

g_{n} (x) = n (f (x + 1/ n) - f (x))

.
1. Application de la formule de Taylor-Lagrange :
Puisque

f

est deux fois dérivable, pour tout

x \in R

et tout

h \neq = 0

, on peut appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange (ou écrire l'égalité avec le reste de Lagrange) à l'ordre 1 entre

x

x + h

.
On a :

f (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) + \frac{h ^{2}}{2} f^{''} (c)

avec

c

compris entre

x

x + h

.
Par hypothèse,

f^{''}

est bornée. Posons

M = y \in R sup ∣ f^{''} (y) ∣

.
On en déduit l'inégalité :

∣ f (x + h) - f (x) - h f^{'} (x) ∣ \leq \frac{h ^{2}}{2} M

.
2. Majoration de l'écart uniforme :
Pour

h = 1/ n

, la fonction

g_{n} (x)

s'écrit

g_{n} (x) = \frac{f ( x + 1/ n ) - f ( x )}{1/ n}

.
L'inégalité précédente, avec

h = 1/ n

, donne :

f (x + 1/ n) - f (x) - \frac{1}{n} f^{'} (x) \leq \frac{M}{2 n ^{2}}

.
En multipliant par

n

, on obtient pour tout

x \in R

∣ n (f (x + 1/ n) - f (x)) - f^{'} (x) ∣ \leq \frac{M}{2 n}

.
Cela se réécrit :

∣ g_{n} (x) - f^{'} (x) ∣ \leq \frac{M}{2 n}

.
3. Conclusion :
Le majorant

\frac{M}{2 n}

est indépendant de

x

et tend vers

0

lorsque

n \to + \infty

.
On a donc

x \in R sup ∣ g_{n} (x) - f^{'} (x) ∣ \leq \frac{M}{2 n} n \to + \infty 0

.
Ceci prouve que la suite de fonctions

(g_{n})

converge uniformément vers la dérivée

f^{'}

sur

R

tout entier.

28. $Théorème de Dini suite décroissante$

Soit

f_{n} : [0; 1] \to R

décroissante telle que

(f_{n})

converge simplement vers la fonction nulle.
Montrer que cette convergence est uniforme.

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29. $Limite uniforme de polynômes sur U$

On note

U

l'ensemble des complexes de module

1

et on considère

ω

un complexe de module

\neq = 1

.
Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction

z \mapsto \frac{1}{z - ω}

soit limite uniforme sur

U

d'une suite de fonctions polynomiales.

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30. $Convergence uniforme sur segment : n (f (t + 1/ n) - f (t))$

Soit

f : R \to R

de classe

C^{1}

. Pour tout

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} (t) = n (f (t + 1/ n) - f (t)) .

Montrer que la suite de fonctions

(u_{n})_{n \geq 1}

converge uniformément sur tout segment de

R

vers une fonction à préciser.

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31. $Suite intégrale convergeant vers u^{'} = u (x - x^{2})$

On définit

(u_{n})

suite de fonctions de

[0; 1]

vers

R

par

u_{0} (x) = 1 et \forall n \in N, u_{n + 1} (x) = 1 + \int_{0}^{x} u_{n} (t - t^{2}) d t .

Q1-Montrer que pour tout

x \in [0; 1]

0 \leq u_{n + 1} (x) - u_{n} (x) \leq \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

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32. $Série \sum (- 1)^{n} / (n + x) : relation et équivalents$

Pour

x > 0

, on pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + x} .

Q1-Justifier que

S

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q2-Préciser le sens de variation de

S

Q3-Établir

\forall x > 0, S (x + 1) + S (x) = 1/ x

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33. $Série \sum (- 1)^{n} / (n + x) : intégrale et C^{\infty}$

Pour

x > 0

, on pose

F (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + x} .

Q1-Montrer que

F

est bien définie.

Q2-Montrer que

F

est de classe

C^{1}

, de classe

C^{\infty}

Q3-Simplifier

F (x) + F (x + 1)

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34. $Série \sum\prod 1/ (x + k) : relation et équivalents$

Pour

x > 0

, on pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty k = 0 \prod n \frac{1}{x + k} .

Q1-Justifier que

S

est définie et continue sur

] 0; + \infty [

Q2-Former une relation liant

S (x)

S (x + 1)

Q3-Déterminer un équivalent de

S (x)

+ \infty

et en

0

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35. $Série \sum (tanh (x + n) - tanh n) et sa limite$

Pour tout

n \in N

et tout

x \in R^{+}

, on pose

f_{n} (x) = tanh (x + n) - tanh n .

Q1-Établir la convergence de la série de fonctions

\sum f_{n}

Q2-Justifier que la fonction somme

S = n = 0 \sum + \infty f_{n}

est continue et strictement croissante sur

R^{+}

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36. $Existence de g telle que g (x + 1) - g (x) = f (x)$

Soit

f : R^{+} \to R

continue décroissante et intégrable.
Montrer l'existence d'une fonction

g : R^{+} \to R

continue vérifiant

\forall x \in R^{+}, g (x + 1) - g (x) = f (x) .

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37. $Série \sum (- 1)^{n} / (n! (x + n)) et équivalents$

On rappelle que

\forall x \in R, n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}

et on pose pour

x > 0

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ! ( x + n )} .

Q1-Justifier que

S

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q2-Préciser le sens de variation de

S

Q3-Établir que

x S (x) - S (x + 1) = \frac{1}{e}

Q4-Donner un équivalent de

S

+ \infty

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38. $Série 1/ x + \sum (1/ (x + n) + 1/ (x - n)) périodique$

Justifier l'existence de

f (x) = \frac{1}{x} + n = 1 \sum + \infty (\frac{1}{x + n} + \frac{1}{x - n})

pour tout

x \in R ∖ Z

.
Montrer que

f

est

1

-périodique et qu'on a

f (\frac{x}{2}) + f (\frac{x + 1}{2}) = 2 f (x)

pour tout

x \in R ∖ Z

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39. $Équation fonctionnelle f (x) = \sum f (x^{n}) / 2^{n}$

Trouver les fonctions

f \in C ([0; 1], R)

telles que

\forall x \in [0; 1], f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{f ( x ^{n} )}{2 ^{n}} .

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40. $Équation f (2 x) = 2 f (x) - 2 f (x)^{2} et solutions$

On étudie l'équation fonctionnelle

(E) : f (2 x) = 2 f (x) - 2 f (x)^{2} .

Q1-Quelles sont les solutions constantes sur

R

Q2-Soit

h : R \to R

. On pose

f (x) = x h (x)

. À quelle condition sur

h

, la fonction

f

est-elle solution de

(E)

Q3-Montrer que

T_{x}

est

1

-lipschitzienne sur

[0; 1]

T_{x} ([0; 1]) \subset [0; 1]

. Montrer que

(h_{n})

converge uniformément sur

[0; 1]

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1.Limite simple conserve la convexité

2.Convergence uniforme de g∘fn​

3.Convergence uniforme du produit fn​gn​

4.Convergence uniforme de borne inf

5.Convergence de fn​(xn​) vers f(x)

6.Limite uniforme de polynômes

7.Convergence uniforme de xnlnx

8.Convergence uniforme de n(1+xn)x​

9.Convergence simple et uniforme de e−nxsin(nx)

10.Convergence uniforme de nx2e−nx

11.Convergence uniforme de (1+x2)−n

12.Convergence uniforme de x2sin(1/(nx))

13.Convergence de sinn(x)cos(x) sur R

14.Étude de la suite 1−e−x2nx2e−nx​

15.Convergence de (1+x)−1−1/p

16.Convergence uniforme de 1+n2nx22nx​

17.Convergence uniforme de 4n(x2n−x2n+1)

18.Convergence uniforme de nαx(1−x)n

19.Convergence de (1−x/n)n tronquée en n

20.Convergence uniforme de (1+x/n)−n sur R+

21.Suite en pic sur [0;1/n] et intégrale

22.Convergence de nsinxcosnx sur [0;π/2]

23.Convergence uniforme de x(1+nαe−nx)

24.Suite récurrente fn+1​=x/(2+fn​)

25.Point fixe de l'opérateur Φ(f)=∫0x​f​

26.Limite uniforme de x2+1/n​ pas C1

27.Convergence uniforme de n(f(x+1/n)−f(x)) vers f′

28.Théorème de Dini suite décroissante

29.Limite uniforme de polynômes sur U

30.Convergence uniforme sur segment : n(f(t+1/n)−f(t))

31.Suite intégrale convergeant vers u′=u(x−x2)

32.Série ∑(−1)n/(n+x): relation et équivalents

33.Série ∑(−1)n/(n+x): intégrale et C∞

34.Série ∑∏1/(x+k): relation et équivalents

35.Série ∑(tanh(x+n)−tanhn) et sa limite

36.Existence de g telle que g(x+1)−g(x)=f(x)

37.Série ∑(−1)n/(n!(x+n)) et équivalents

38.Série 1/x+∑(1/(x+n)+1/(x−n)) périodique

39.Équation fonctionnelle f(x)=∑f(xn)/2n

40.Équation f(2x)=2f(x)−2f(x)2 et solutions

1. $Limite simple conserve la convexité$

2. $Convergence uniforme de g \circ f_{n}$

3. $Convergence uniforme du produit f_{n} g_{n}$

4. $Convergence uniforme de borne inf$

5. $Convergence de f_{n} (x_{n}) vers f (x)$

6. $Limite uniforme de polynômes$

7. $Convergence uniforme de x^{n} ln x$

8. $Convergence uniforme de \frac{x}{n ( 1 + x ^{n} )}$

9. $Convergence simple et uniforme de e^{- n x} sin (n x)$

10. $Convergence uniforme de n x^{2} e^{- n x}$

11. $Convergence uniforme de (1 + x^{2})^{- n}$

12. $Convergence uniforme de x^{2} sin (1/ (n x))$

13. $Convergence de sin^{n} (x) cos (x) sur R$

14. $Étude de la suite \frac{n x ^{2} e ^{- n x}}{1 - e ^{- x^{2}}}$

15. $Convergence de (1 + x)^{- 1 - 1/ p}$

16. $Convergence uniforme de \frac{2 ^{n} x}{1 + n 2 ^{n} x ^{2}}$

17. $Convergence uniforme de 4^{n} (x^{2 n} - x^{2 n + 1})$

18. $Convergence uniforme de n^{α} x (1 - x)^{n}$

19. $Convergence de (1 - x / n)^{n} tronquée en n$

20. $Convergence uniforme de (1 + x / n)^{- n} sur R^{+}$

21. $Suite en pic sur [0; 1/ n] et intégrale$

22. $Convergence de n sin x cos^{n} x sur [0; π /2]$

23. $Convergence uniforme de x (1 + n^{α} e^{- n x})$

24. $Suite récurrente f_{n + 1} = x / (2 + f_{n})$

25. $Point fixe de l'opérateur Φ (f) = \int_{0}^{x} f$

26. $Limite uniforme de x^{2} + 1/ n pas C^{1}$

27. $Convergence uniforme de n (f (x + 1/ n) - f (x)) vers f^{'}$

28. $Théorème de Dini suite décroissante$

29. $Limite uniforme de polynômes sur U$

30. $Convergence uniforme sur segment : n (f (t + 1/ n) - f (t))$

31. $Suite intégrale convergeant vers u^{'} = u (x - x^{2})$

32. $Série \sum (- 1)^{n} / (n + x) : relation et équivalents$

33. $Série \sum (- 1)^{n} / (n + x) : intégrale et C^{\infty}$

34. $Série \sum\prod 1/ (x + k) : relation et équivalents$

35. $Série \sum (tanh (x + n) - tanh n) et sa limite$

36. $Existence de g telle que g (x + 1) - g (x) = f (x)$

37. $Série \sum (- 1)^{n} / (n! (x + n)) et équivalents$

38. $Série 1/ x + \sum (1/ (x + n) + 1/ (x - n)) périodique$

39. $Équation fonctionnelle f (x) = \sum f (x^{n}) / 2^{n}$

40. $Équation f (2 x) = 2 f (x) - 2 f (x)^{2} et solutions$