Exercices de Suites et séries de fonctions en maths Spé (prépa) (page 2)

42. $Convergence normale de \sum 1/ (n^{2} + x^{2})$

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions

f_{n} (x) = \frac{1}{n ^{2} + x ^{2}} avec n \geq 1 et x \in R .

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43. $Convergences de \sum 1_{[n; n + 1 [} / (n + 1)$

On note

1_{I}

la fonction caractéristique d'un intervalle

I

.
Étudier la convergence simple, uniforme et normale sur

[0; + \infty [

de la série des fonctions

u_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} 1_{[n; n + 1 [} (x) .

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44. $Convergences de la suite et série x^{n} e^{- x} / n!$

On introduit l'application sur

[0; + \infty [

f_{n} : x \mapsto \frac{x ^{n} e ^{- x}}{n !} .

Q1-Étudier les convergences de la suite de fonctions

(f_{n})

Q2-Étudier les convergences de la série de fonctions

\sum f_{n}

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45. $Série \sum a_{n} x^{n} (1 - x) : normale et uniforme$

Soit

(a_{n})_{n \in N}

une suite réelle positive et décroissante. Pour tout

n \in N

, on pose

u_{n} (x) = a_{n} x^{n} (1 - x) avec x \in [0; 1] .

Q1-Montrer la convergence simple de la série de fonctions

\sum u_{n}

Q2-Montrer que cette série converge normalement si, et seulement si, il y a convergence de la série

\sum a_{n} / n

Q3-Montrer que la série de fonctions

\sum u_{n}

converge uniformément si, et seulement si,

a_{n} \to 0

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46. $Série normalement convergente \sum u_{n}$

On pose

u_{0} (x) = 1 et u_{n + 1} (x) = \int_{0}^{x} u_{n} (t - t^{2}) d t

pour tout

x \in [0; 1]

et tout

n \in N

.
Montrer que la série de terme général

u_{n}

est normalement convergente.

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47. $Convergences de \sum u_{n} et \sum u_{n}^{'}$

Soit

u_{n} : x \in R^{+} \mapsto \frac{x}{( 1 + n ^{2} x ) ^{2}}

avec

n \in N

.
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de

\sum u_{n}

\sum u_{n}^{'}

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48. $Série entière \sum ζ (n) x^{n} / n et fonction ζ$

x > 1

, on pose

ζ (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{x}}

Q1-Quelle est la limite de

ζ (x)

quand

x \to + \infty

Q2-Pour quels réels

x

la série

\sum \frac{ζ ( n )}{n} x^{n}

converge-t-elle ?

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49. $η alternée est de classe C^{1}$

On pose

η (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{x}} .

Montrer que la fonction

η

est définie et de classe

C^{1}

sur

] 0; + \infty [

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50. $ζ_{2} alternée est de classe C^{\infty}$

On pose

ζ_{2} (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{x}} .

Montrer que

ζ_{2}

est définie et de classe

C^{\infty}

sur

] 0; + \infty [

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51. $Limite en 0^{+} de la série alternée ζ_{2}$

Déterminer la limite quand

x \to 0^{+}

ζ_{2} (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{x}} .

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52. $Relation entre ζ et ζ_{2} alternée$

Soient

ζ (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{x}} et ζ_{2} (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{x}} .

Q1-Déterminer les domaines de définition des fonctions

ζ

ζ_{2}

Q2-Justifier que les fonctions

ζ

ζ_{2}

sont continues.

Q3-Établir la relation

ζ_{2} (x) = (1 - 2^{1 - x}) ζ (x)

pour tout

x > 1

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53. $Domaine de définition de \sum 1/ u_{n}^{x}$

Soit

(u_{n})_{n \geq 1}

une suite de réels strictement positifs de limite

+ \infty

. Lorsque cela a un sens, on pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{u _{n}^{x}} .

Q1-Montrer que

f

est définie sur un intervalle

I

et que, s'il n'est pas vide, cet intervalle est non majoré.

Q2-Montrer que la fonction

f

est continue sur

I

Q3-Donner un exemple de suite

(u_{n})

pour laquelle : l'intervalle

I

est vide ;

I

est ouvert non vide ;

I

est fermé non vide.

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54. $Série \sum (- 1)^{n + 1} x^{2 n + 2} ln x et intégrale$

On pose

u_{n} (x) = (- 1)^{n + 1} x^{2 n + 2} ln x

pour

x \in] 0; 1]

u_{n} (0) = 0

Q1-Calculer

n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

Q2-Montrer que la série des

u_{n}

converge uniformément sur

[0; 1]

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55. $Produit infini \prod (1 + 1/ n^{2}) par intégration$

On donne

\forall α \in [0; 1], n = 1 \sum + \infty \frac{2 α}{α ^{2} + n ^{2}} = π \frac{cosh ( π α )}{sinh ( π α )} - \frac{1}{α}

(prolongée par continuité en

0

).
En intégrant sur

[0; 1]

, en déduire la valeur de

n = 1 \prod + \infty (1 + \frac{1}{n ^{2}})

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56. $Domaine et équivalents de \sum e^{- x n}$

Ensemble de définition et continuité de

f (x) = n = 0 \sum + \infty e^{- x n} .

En trouver la limite en

+ \infty

et un équivalent en

0^{+}

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57. $Limite en 0^{+} de la série \sum (- 1)^{n} / (n t + 1)$

Pour

t > 0

, on pose

S (t) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n t + 1} .

Déterminer la limite de

S (t)

quand

t \to 0^{+}

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58. $Série alternée et sa limite en + \infty$

Pour

n \geq 1

x \in R

, on pose

u_{n} (x) = (- 1)^{n} ln (1 + \frac{x ^{2}}{n ( 1 + x ^{2} )}) .

Q1-Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions

\sum u_{n}

Q2-Déterminer la limite de sa somme en

+ \infty

. On pourra exploiter la formule de Stirling.

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59. $Interversion limite-somme et e^{α} / (e^{α} - 1)$

Montrer que pour tout

α > 0

k = 0 \sum n (1 - \frac{k}{n})^{n α} n \to + \infty \frac{e ^{α}}{e ^{α} - 1} .

On pourra exploiter le théorème d'interversion limite/somme infinie.

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60. $Interversion série-limite vers exp (z)$

Par une interversion série-limite, montrer que pour tout

z \in C

(1 + \frac{z}{p})^{p} p \to + \infty exp (z) .

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61. $Série \sum 1/ (n + n^{2} x) : monotonie et équivalents$

Pour

x > 0

, on pose

S (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n + n ^{2} x} .

Q1-Montrer que

S

est bien définie sur

R_{+}^{*}

Q2-Montrer que

S

est continue.

Q3-Étudier la monotonie de

S

Q4-Déterminer la limite en

+ \infty

S

puis un équivalent de

S

+ \infty

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62. $Série \sum (1/ n - 1/ (n + x)) liée à série harmonique$

Sur

I =] - 1; + \infty [

, on pose

S (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n} - \frac{1}{n + x} .

Q1-Montrer que

S

est définie et continue sur

I

Q2-Étudier la monotonie de

S

Q3-Calculer

S (x + 1) - S (x)

Q4-Déterminer un équivalent de

S (x)

- 1^{+}

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63. $Décroissance et équivalent de \sum e^{- x n}$

Soit

f (x) = n = 1 \sum + \infty e^{- x n} .

Q1-Quel est le domaine de définition de

f

? Étudier la continuité de

f

sur celui-ci.

Q2-Montrer que

f

est strictement décroissante.

Q3-Étudier la limite de

f

+ \infty

Q4-Déterminer un équivalent simple de

f (x)

quand

x \to 0^{+}

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64. $Continuité et variations de S (x) = \sum \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2 n}}$

Pour

x \geq 0

, on pose

S (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2 n}} .

Q1-Pour quelles valeurs de

x

dans

R^{+}

S (x)

est définie ?

Q2-Former une relation entre

S (x)

S (1/ x)

pour

x \neq = 0

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65. $Régularité de S (x) = \sum \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$

On pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}} .

Étudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité de

S

. Donner un équivalent de

S

0

et en

1^{-}

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66. $Continuité et dérivabilité de \sum \frac{x}{n ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}$

Définition, continuité et dérivabilité de

S : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{x}{n ( 1 + n ^{2} x ^{2} )} .

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67. $Continuité et classe C^{1} de \sum \frac{a r c t a n ( n x )}{n ^{2}}$

Montrer que

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} arctan (n x)

est continue sur

R

et de classe

C^{1}

sur

R^{*}

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68. $Série télescopique de arctan n + x$

Pour

n \in N

x \in R^{+}

, on pose

u_{n} (x) = arctan n + x - arctan n .

Q1-Étudier l'existence et la continuité de la fonction

S

définie sur

R^{+}

par

S (x) = n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

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69. $Régularité et équivalents de \sum \frac{1}{n ^{2} + x ^{2}}$

On étudie

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} + x ^{2}} .

Q1-Montrer que

f

est définie et de classe

C^{1}

sur

R

Q2-Donner, à l'aide d'une comparaison intégrale, un équivalent de

f

au voisinage de

+ \infty

Q3-Donner un développement limité à l'ordre

2

f

0

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70. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (x / n)$

Définition, continuité et classe

C^{1}

x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (\frac{x}{n}) .

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71. $Continuité et classe C^{1} de \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{1 + n t}$

Pour

t > 0

, on pose

S (t) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{1 + n t} .

Q1-Justifier que

S

est définie et continue sur

] 0; + \infty [

Q2-Étudier la limite de

S

+ \infty

Q3-Établir que

S

est de classe

C^{1}

sur

] 0; + \infty [

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72. $Parité et continuité de \sum (- 1)^{n - 1} \frac{x}{n + x ^{2}}$

Pour

x \in R

, on pose

S (x) = n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n - 1} \frac{x}{n + x ^{2}} .

Q1-Montrer que la fonction

S

est bien définie et étudier sa parité.

Q2-Montrer que la fonction

S

est continue.

Q3-Déterminer la limite de

S

+ \infty

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73. $Continuité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$

Pour tout

x \in R ∖ {- 1}

n \in N^{*}

on pose

u_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}} .

74. $Construction de Γ par limite$

x > 0

n \in N^{*}

, soit

f_{n} (x) = \frac{n ^{x} n !}{\prod _{k = 0}^{n} ( x + k )} .

Q1-Montrer l'existence de

Γ (x) = n \to + \infty lim f_{n} (x)

Q2-Montrer

ln Γ (x) = - ln x - γ x + n = 1 \sum + \infty (\frac{x}{n} - ln (1 + \frac{x}{n}))

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75. $Convergence et continuité de \sum e^{- n^{α} x}$

On fixe

α > 0

et on pose

f_{n} (x) = e^{- n^{α} x}

f (x) = n = 0 \sum + \infty f_{n} (x)

Q1-Domaine de définition de

f

Q2-Continuité de

f

Q3-Étudier

x \to + \infty lim f (x)

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76. $Domaine et continuité de \sum \frac{n ^{α} x e ^{- n x}}{n ^{2} + 1}$

Soit

α

un réel. Pour tout entier

n > 0

et tout réel

x

, on pose

u_{n} (x) = \frac{n ^{α} x e ^{- n x}}{n ^{2} + 1} .

On note

I

le domaine de définition de

S : x \mapsto n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

77. $Régularité de \sum a_{n} ∣ x - x_{n} ∣$

Soit des suites réelles

(a_{n})

(x_{n})

avec

a_{n} > 0

pour tout

n

.
On suppose que la série de terme général

a_{n} (1 + ∣ x_{n} ∣)

converge.
On pose

f : R \to R, x \mapsto n = 0 \sum + \infty a_{n} ∣ x - x_{n} ∣

.
Étudier la continuité et la dérivabilité de

f

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78. $Convergence de S_{N} (x) = \sum \frac{1}{x + n} vers π cot (π x)$

On définit la suite de fonctions

(S_{N})_{N \in N}

\forall N \in N, \forall x \in R ∖ Z, S_{N} (x) = n = - N \sum N \frac{1}{x + n} = \frac{1}{x} + n = 1 \sum N \frac{2 x}{x ^{2} - n ^{2}} .

79. $Continuité de l'inversion$

Soit

E

une algèbre de dimension finie munie d'une norme

∥ \cdot ∥

vérifiant

\forall a, b \in E, ∥ ab ∥ \leq ∥ a ∥∥ b ∥.

Q1-Soit

a \in E

vérifiant

∥ a ∥ < 1

. Montrer que

1_{E} - a

est inversible et exprimer son inverse comme la somme d'une série.

Q2-Montrer que l'application

x \in U (E) \mapsto x^{- 1}

est continue en

1_{E}

Q3-Montrer que l'application

x \in U (E) \mapsto x^{- 1}

est continue.

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80. $Série matricielle \sum \frac{t ^{k} A ^{k}}{k} et dérivée$

On suppose

M_{n} (K)

muni d'une norme notée

∥ \cdot ∥

vérifiant

\forall A, B \in M_{n} (K), ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥∥ B ∥.

Soit

A \in M_{n} (K)

. Pour

∣ t ∣ < 1/∥ A ∥

on pose

f (t) = k = 1 \sum + \infty \frac{1}{k} t^{k} A^{k} .

Q1-Montrer que

f

est bien définie.

Q2-Justifier que

f

est de classe

C^{1}

et que

(I - t A) f^{'} (t) = A

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41.

42.Convergence normale de ∑1/(n2+x2)

43.Convergences de ∑1[n;n+1[​/(n+1)

44.Convergences de la suite et série xne−x/n!

45.Série ∑an​xn(1−x): normale et uniforme

46.Série normalement convergente ∑un​

47.Convergences de ∑un​ et ∑un′​

48.Série entière ∑ζ(n)xn/n et fonction ζ

49.η alternée est de classe C1

50.ζ2​ alternée est de classe C∞

51.Limite en 0+ de la série alternée ζ2​

52.Relation entre ζ et ζ2​ alternée

53.Domaine de définition de ∑1/unx​

54.Série ∑(−1)n+1x2n+2lnx et intégrale

55.Produit infini ∏(1+1/n2) par intégration

56.Domaine et équivalents de ∑e−xn​

57.Limite en 0+ de la série ∑(−1)n/(nt+1)

58.Série alternée et sa limite en +∞

59.Interversion limite-somme et eα/(eα−1)

60.Interversion série-limite vers exp(z)

61.Série ∑1/(n+n2x): monotonie et équivalents

62.Série ∑(1/n−1/(n+x)) liée à série harmonique

63.Décroissance et équivalent de ∑e−xn​

64.Continuité et variations de S(x)=∑1+x2nxn​

65.Régularité de S(x)=∑1+xnxn​

66.Continuité et dérivabilité de ∑n(1+n2x2)x​

67.Continuité et classe C1 de ∑n2arctan(nx)​

68.Série télescopique de arctann+x​

69.Régularité et équivalents de ∑n2+x21​

70.Régularité de ∑n(−1)n​sin(x/n)

71.Continuité et classe C1 de ∑1+nt(−1)n​

72.Parité et continuité de ∑(−1)n−1n+x2x​

73.Continuité de ∑n(−1)n−1​1+xnxn​

74.Construction de Γ par limite

75.Convergence et continuité de ∑e−nαx

76.Domaine et continuité de ∑n2+1nαxe−nx​

77.Régularité de ∑an​∣x−xn​∣

78.Convergence de SN​(x)=∑x+n1​ vers πcot(πx)

79.Continuité de l'inversion

80.Série matricielle ∑ktkAk​ et dérivée

42. $Convergence normale de \sum 1/ (n^{2} + x^{2})$

43. $Convergences de \sum 1_{[n; n + 1 [} / (n + 1)$

44. $Convergences de la suite et série x^{n} e^{- x} / n!$

45. $Série \sum a_{n} x^{n} (1 - x) : normale et uniforme$

46. $Série normalement convergente \sum u_{n}$

47. $Convergences de \sum u_{n} et \sum u_{n}^{'}$

48. $Série entière \sum ζ (n) x^{n} / n et fonction ζ$

49. $η alternée est de classe C^{1}$

50. $ζ_{2} alternée est de classe C^{\infty}$

51. $Limite en 0^{+} de la série alternée ζ_{2}$

52. $Relation entre ζ et ζ_{2} alternée$

53. $Domaine de définition de \sum 1/ u_{n}^{x}$

54. $Série \sum (- 1)^{n + 1} x^{2 n + 2} ln x et intégrale$

55. $Produit infini \prod (1 + 1/ n^{2}) par intégration$

56. $Domaine et équivalents de \sum e^{- x n}$

57. $Limite en 0^{+} de la série \sum (- 1)^{n} / (n t + 1)$

58. $Série alternée et sa limite en + \infty$

59. $Interversion limite-somme et e^{α} / (e^{α} - 1)$

60. $Interversion série-limite vers exp (z)$

61. $Série \sum 1/ (n + n^{2} x) : monotonie et équivalents$

62. $Série \sum (1/ n - 1/ (n + x)) liée à série harmonique$

63. $Décroissance et équivalent de \sum e^{- x n}$

64. $Continuité et variations de S (x) = \sum \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2 n}}$

65. $Régularité de S (x) = \sum \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$

66. $Continuité et dérivabilité de \sum \frac{x}{n ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}$

67. $Continuité et classe C^{1} de \sum \frac{a r c t a n ( n x )}{n ^{2}}$

68. $Série télescopique de arctan n + x$

69. $Régularité et équivalents de \sum \frac{1}{n ^{2} + x ^{2}}$

70. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (x / n)$

71. $Continuité et classe C^{1} de \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{1 + n t}$

72. $Parité et continuité de \sum (- 1)^{n - 1} \frac{x}{n + x ^{2}}$

73. $Continuité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$

74. $Construction de Γ par limite$

75. $Convergence et continuité de \sum e^{- n^{α} x}$

76. $Domaine et continuité de \sum \frac{n ^{α} x e ^{- n x}}{n ^{2} + 1}$

77. $Régularité de \sum a_{n} ∣ x - x_{n} ∣$

78. $Convergence de S_{N} (x) = \sum \frac{1}{x + n} vers π cot (π x)$

79. $Continuité de l'inversion$

80. $Série matricielle \sum \frac{t ^{k} A ^{k}}{k} et dérivée$