Exercices de Suites et séries de fonctions en maths Spé (prépa) (page 5)

162. $E3A PSI 2020$

Pour tout entier naturel

n

, on définit sur l'intervalle

J = [1, + \infty [

la fonction

f_{n}

par :

f_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{1 + n x}

Q1-Montrer que la série de fonctions

n \in N \sum f_{n}

converge simplement sur

J

Q2-Montrer que

n \in N \sum f_{n}

ne converge pas normalement sur

J

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163. $CCINP MP 2022$

On pose pour

n \in N

u_{n} (x) = {(- 1)^{n + 1} x^{2 n + 2} ln (x) 0 si x \in] 0, 1] si x = 0

Q1-Calculer

n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

pour

x \in [0, 1]

Q2-Montrer que

\sum u_{n}

converge uniformément sur

[0, 1]

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164. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{l n ( n x )}$

On pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{ln ( n x )}

Q1-Montrer que

f

est bien définie sur

] 1, + \infty [

Q2-Déterminer la limite de

f

+ \infty

et en

1

Q3-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

] 1, + \infty [

et dresser son tableau de variations.

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165. $Nullité via moments \int f (t) t^{k} d t = 0$

Soit

f : [a, b] \to R

continue telle que pour tout

k \in N

\int_{a}^{b} f (t) t^{k} d t = 0

. Que peut-on dire de

f

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166. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

On considère un segment

[a, b]

R

et un espace vectoriel normé de dimension finie

E

Q1-Soit

φ

une fonction en escalier sur

[a, b]

à valeurs dans

E

. Montrer que

λ \to + \infty lim \int_{a}^{b} e^{iλ t} φ (t) d t = 0

Q2-Soit

f

une fonction continue par morceaux sur

[a, b]

à valeurs dans

E

. Montrer que

λ \to + \infty lim \int_{a}^{b} e^{iλ t} f (t) d t = 0

Q3-Soit

f

une fonction intégrable sur

R

à valeurs dans

E

. Montrer que

λ \to + \infty lim \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{iλ t} f (t) d t = 0

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167. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

Soit

(a, b) \in R^{2}

tel que

a < b

. Soit

E

l'espace des fonctions continues de

[a, b]

dans

R

, muni de la norme infinie. Soit

B

la boule fermée de centre

0

et de rayon

1

pour cette norme. Soit enfin

f \in E

. Montrer que

g \in B sup \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t = \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t

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Exercices de Suites et séries de fonctions, Spé (prépa) (page 5)

161.

162. $E3A PSI 2020$

163. $CCINP MP 2022$

164. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{l n ( n x )}$

165. $Nullité via moments \int f (t) t^{k} d t = 0$

166. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

167. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

161.

162.E3A PSI 2020

163.CCINP MP 2022

164.Régularité de ∑ln(nx)(−1)n−1​

165.Nullité via moments ∫f(t)tkdt=0

166.Lemme de Riemann-Lebesgue

167.Banque Mines-Ponts MP 2018

162. $E3A PSI 2020$

163. $CCINP MP 2022$

164. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{l n ( n x )}$

165. $Nullité via moments \int f (t) t^{k} d t = 0$

166. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

167. $Banque Mines-Ponts MP 2018$