Exercices de Suites et séries de fonctions en maths Spé (prépa) (page 4)

122. $Limite polynomiale sur [a, b]$

Soient

a, b \in R

tels que

a < b

p \in N

. On considère une suite

(P_{n})

de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à

p

qui converge simplement sur

[a, b]

vers une fonction

f

.
Montrer que

f

est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à

p

et que

(P_{n})

converge uniformément vers

f

sur

[a, b]

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123. $Limite uniforme des dérivées f^{(n)}$

Soit

f

une fonction de classe

C^{\infty}

sur

R

. On suppose que la suite

(f^{(n)})

des dérivées successives converge uniformément vers une fonction

φ

sur

R

. Que peut-on dire de

φ

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124. $CCP MP$

On pose

f_{n} : x \mapsto n cos^{n} (x) sin (x)

pour

n \in N

Q1-Étudier la convergence simple de la suite

(f_{n})

sur

R

Q2-La suite

(f_{n})

converge-t-elle uniformément sur

[0, \frac{π}{2}]

, sur

[a, \frac{π}{2}]

où

a \in] 0, \frac{π}{2}]

Q3-Soit

g

continue sur

[0, \frac{π}{2}]

. Montrer que

n \to + \infty lim \int_{0}^{\frac{π}{2}} f_{n} (t) g (t) d t = g (0)

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125. $Théorème de Dini$

Q1-Soit

(f_{n})

une suite croissante de fonctions réelles continues sur un segment

[a, b]

R

. Montrer que si

(f_{n})

converge simplement vers une fonction

f

continue sur

[a, b]

, alors la convergence est uniforme.

Q2-Soit

(f_{n})

une suite de fonctions croissantes, réelles et continues sur un segment

[a, b]

R

. Montrer que si

(f_{n})

converge simplement vers une fonction

f

continue sur

[a, b]

, alors la convergence est uniforme.

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126. $Limite d'une intégrale à bornes$

Soit

f

une fonction continue sur

[0, 1]

.
Calculer

n \to + \infty lim \int_{(1 - \frac{1}{n})^{n}}^{1} x^{\frac{1}{n}} f (x) d x

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127. $Convergence des itérées de 2 x (1 - x)$

Soit

f : {[0, 1] \to [0, 1] x \mapsto 2 x (1 - x)

. On définit la suite de fonctions

(f_{n})

par

f_{0} = Id_{[0, 1]}

f_{n + 1} = f \circ f_{n}

pour tout

n \in N

. Étudier la convergence de la suite

(f_{n})

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128. $Convergence de la suite n cos^{n} (x) sin (x)$

Soit

f_{n} : x \in R \mapsto n cos^{n} (x) sin (x)

pour tout

n \in N

. Étudier la convergence de la suite de fonctions

(f_{n})

sur

R

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129. $Approximation polynomiale de x$

Soit

(P_{n})

la suite de fonctions définies sur

[0, 1]

par

$P_{0} (x) = 0$ pour tout $x \in [0, 1]$ ;
$P_{n + 1} (x) = P_{n} (x) + \frac{1}{2} (x - P_{n} (x)^{2})$ pour tout $x \in [0, 1]$ et tout $n \in N$ .

Q1-Montrer que pour tout

x \in [0, 1]

0 \leq P_{n} (x) \leq x

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130. $Interversion limite-intégrale de f_{n}$

Pour

n \in N

, on pose

f_{n} : x \in R_{+} \mapsto \frac{x ^{n} e ^{- x}}{n !}

Q1-Montrer que

(f_{n})

converge uniformément sur

R_{+}

vers une fonction

f

à déterminer.

Q2-Calculer

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} f_{n} (t) d t

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

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131. $Convergence simple et uniforme de n^{α} x^{n} (1 - x)$

Soient

α \in R

f_{n} : x \in [0, 1] \mapsto n^{α} x^{n} (1 - x)

pour

n \in N^{*}

. Étudier la convergence simple et uniforme de

(f_{n})

sur

[0, 1]

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132. $Convergence simple et uniforme de \frac{ln ( 1 + n x )}{1 + n ^{2} x ^{2}}$

On pose

f_{n} : x \mapsto \frac{ln ( 1 + n x )}{1 + n ^{2} x ^{2}}

pour

n \in N

Q1-Sur quelle partie

D

R

la suite de fonctions

(f_{n})

converge-t-elle simplement ?

Q2-La suite

(f_{n})

converge-t-elle uniformément sur

D

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133. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

Soit

f

une fonction réelle continue définie sur

R

telle qu'il existe

M \in R_{+}

vérifiant :

\forall (x, y) \in R^{2}, ∣ f (x + y) - f (x) - f (y) ∣ \leq M

Pour tout

n \in N

, on note

h_{n} : x \mapsto \frac{f ( 2 ^{n} x )}{2 ^{n}}

Q1-Montrer que

(h_{n})_{n \in N}

converge vers une fonction

h

continue sur

R

Q2-Montrer que pour tout

(x, y) \in R^{2}

h (x + y) = h (x) + h (y)

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134. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2016$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

f_{n} : x \mapsto ⎩ ⎨ ⎧ 1 + x^{2} sin (\frac{1}{n x}) 1 si x \neq = 0 si x = 0

Q1-Montrer que

(f_{n})

converge uniformément sur tout segment de

R

Q2-Y a-t-il convergence uniforme sur

R

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135. $ENSEA/ENSIIE MP 2016$

On pose

\forall n \in N, \forall x \in [- 2, 2], f_{n} (x) = \frac{n ( x ^{2} - 4 )}{1 + n ( x + 2 )}

Étudier la convergence uniforme de la suite

(f_{n})_{n \in N}

sur

[0, 2]

et sur

[- 2, 2]

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136. $Convergence des itérées de sin (π f_{n} /2)$

On définit une suite de fonctions

(f_{n})

en posant

f_{0} (x) = sin (x)

f_{n + 1} (x) = sin (\frac{π}{2} f_{n} (x))

pour tout

x \in R

. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite

(f_{n})

sur

R

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137. $Régularité et variations de \sum \frac{n x ^{2 n - 1}}{1 - x ^{2 n}}$

On note

S (x) = n \geq 1 \sum \frac{n x ^{2 n - 1}}{1 - x ^{2 n}}

Q1-Déterminer le domaine de définition

D

S

Q2-Montrer que

S

est de classe

C^{1}

sur

D

Q3-Étudier les variations de

S

sur

D

Q4-Étudier les limites de

S

aux bornes de

D

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138. $Mines-Ponts PC$

On pose

f_{n} (x) = (k = 1 \sum n \frac{1}{k + x}) - 2 n

pour

n \in N^{*}

Q1-Étudier la convergence simple de

n \geq 1 \sum f_{n + 1} - f_{n}

Q2-Montrer que

(f_{n})

converge simplement vers une fonction

f

de classe

C^{1}

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139. $Convergence simple de \sum a_{n} sin (n x)$

Soit

(a_{n})_{n \geq 1}

une suite décroissante de limite nulle. On pose

f_{n} : x \mapsto sin n x

. Montrer que la série

n \geq 1 \sum a_{n} f_{n}

converge simplement sur

R

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140. $Critère d'uniformité de \sum a_{n} sin (n x)$

Soit

(a_{n})_{n \geq 1}

une suite réelle décroissante de limite nulle. On pose

f_{n} : x \mapsto sin n x

. Montrer que la série

n \geq 1 \sum a_{n} f_{n}

converge uniformément sur

R

si et seulement si la suite

(n a_{n})

converge vers

0

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141. $Mines-Télécom MP 2018$

Q1-Déterminer l'ensemble de définition de

f : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{1}{sinh ( n x )}

. Donner un équivalent simple de

f

0

Q2-Mêmes questions avec

g : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{1}{sinh ^{2} ( n x )}

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142. $Mines-Télécom MP 2017$

On définit la suite de fonctions

(g_{n})

[0, 1]

dans

R

par

g_{0} = 1

\forall n \in N, \forall x \in [0, 1], g_{n + 1} (x) = \int_{0}^{x} g_{n} (1 - t) d t

Q1-Montrer que pour tout

n \in N

g_{n}

est bornée et que

\forall n \in N^{*}

∥ g_{n + 1} ∥_{\infty} \leq \frac{1}{2} ∥ g_{n - 1} ∥_{\infty}

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143. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

Q1-Existe-t-il une suite de réels

(a_{n})_{n \in N}

telle que

\forall k \in N^{*}

n = 0 \sum + \infty a_{n}^{k} = k

Q2-Existe-t-il une suite de réels

(a_{n})_{n \in N}

telle que

\forall k \in N^{*}

n = 0 \sum + \infty a_{n}^{k} = \frac{1}{k ^{2}}

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144. $CCINP PC 2019$

Soit

t \in R

et on pose

f (t) = n = 0 \sum + \infty ln (1 + e^{n t})

Q1-Quel est l'ensemble de définition de

f

Q2-Montrer que

t \to - \infty lim f (t) = ln (2)

Q3-Montrer que

t \to 0^{-} lim f (t) = + \infty

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145. $CCINP MP 2019$

Soit

(a, b) \in (R_{+}^{*})^{2}

Q1-Pour

t \in] 0, 1 [

, écrire

\frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}}

comme somme de série

n \geq 0 \sum u_{n} (t)

, où les

u_{n}

sont des fonctions puissances.

Q2-Déterminer la nature de la série

\sum \int_{0}^{1} ∣ u_{n} (t) ∣ d t

. Que peut-on en déduire ?

Q3-Soit

S_{N} (t) = n = 0 \sum N u_{n} (t)

. Démontrer

\int_{0}^{1} \frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}} d t = N \to + \infty lim \int_{0}^{1} S_{N} (t) d t

Q4-En déduire

\int_{0}^{1} \frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}} d t = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{a + nb}

Q5-Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 n + 1}

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146. $Convergence et continuité de \sum e^{- n^{α} x}, bis$

Soit

α > 0

. On pose

f_{n} : x \mapsto e^{- n^{α} x}

f = n = 0 \sum + \infty f_{n}

Q1-Quel est le domaine de définition de

f

Q2-Étudier la continuité de

f

Q3-Étudier la limite de

f

+ \infty

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147. $Arts et Métiers PSI$

Soit

f

une fonction continue sur

[a, b]

à valeurs dans

R

. Soit

(f_{n})

la suite de fonctions définies par

f_{0} = f

et pour tout

n \in N

\forall x \in [a, b], f_{n + 1} (x) = \int_{a}^{x} f_{n} (t) d t

Q1-Déterminer la nature de la convergence de la série

n \in N \sum f_{n}

sur

[a, b]

Q2-On note

F

la somme de cette série. Montrer que

\forall x \in [a, b]

F (x) = f (x) + e^{x} \int_{a}^{x} e^{- t} f (t) d t

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148. $Centrale MP$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} : x \mapsto x ln (1 + \frac{1}{n}) - ln (1 + \frac{x}{n})

Q1-Montrer que la série

n \in N^{*} \sum u_{n}

converge simplement sur

R_{+}

Q2-On note

g

la somme de la série

n \in N^{*} \sum u_{n}

. Montrer que

g

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}

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149. $E3A MP 2019$

On rappelle les formules de trigonométrie que l'on pourra utiliser sans les redémontrer :

2 cos (p) cos (q) = cos (p + q) + cos (p - q)

2 sin (p) cos (q) = sin (p + q) + sin (p - q)

On rappelle que pour tout

z \in C

, la série

n \in N \sum \frac{z ^{n}}{n !}

converge et a pour somme

e^{z}

.
Soit

α

un réel non nul fixé. Pour tout entier naturel

n

, on définit la fonction

u_{n}

R

vers

R

par :

\forall x \in R, u_{n} (x) = \frac{α ^{n} cos ( n x )}{n !}

Q1-Déterminer l'ensemble de définition

D

de la fonction

C : x \mapsto n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

Q2-Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions

\sum u_{n}

sur

D

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150. $CCINP MP 2021$

On pose pour

x \in R_{+}

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n} e ^{- n x}}{n + 1}

Q1-Étudier la convergence simple de

n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n} e ^{- n x}}{n + 1}

sur

R_{+}

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151. $ENSAM Option T 1996$

Pour

n \in N^{*}

x \in R

, on pose

u_{n} (x) = \frac{x}{n ( 1 + n x ^{2} )}

Q1-Étudier la convergence simple de la série

n \in N^{*} \sum u_{n}

Q2-Étudier les variations de

u_{n}

. Que peut-on conclure pour la convergence de la série

\sum u_{n}

? La somme

S

de la série

n \in N^{*} \sum u_{n}

est-elle continue sur

R

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152. $CCINP MP 2023$

Pour tout

(n, x) \in N^{*} \times R

, on considère

f_{n} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + n ^{2}}

Q1-Montrer la convergence simple de

\sum f_{n}

sur

R

. On note

S

sa somme.

Q2-Étudier la continuité de

S

sur

R

Q3-Montrer que

x \to + \infty lim S (x) = π

. On pourra considérer, pour

x \in R_{+}^{*}

, la fonction

t \mapsto \frac{2 x}{x ^{2} + t ^{2}}

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153. $Somme explicite de \sum \frac{x ^{n} s i n ( n x )}{n}$

On pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n} sin ( n x )}{n}

Q1-Montrer que

f

est bien définie sur

] - 1, 1 [

Q2-Montrer que

f

est

C^{1}

sur

] - 1, 1 [

Q3-Montrer que

f^{'} (x) = \frac{sin x + x cos x - x ^{2}}{( 1 - x cos x ) ^{2} + ( x sin x ) ^{2}}

pour tout

x \in] - 1, 1 [

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154. $CCINP MP 2023$

Pour

n \in N^{*}

x \in R

, on pose

v_{n} (x) = n^{x} e^{- n x}

. Soit

S : x \mapsto n = 1 \sum + \infty v_{n} (x)

Q1-Donner l'ensemble de définition de

S

Q2-Montrer que

S

est continue sur son ensemble de définition.

Q3-Donner la limite de

S

+ \infty

à l'aide du théorème de la double limite.

Q4-

n \geq 1 \sum v_{n}

converge-t-elle uniformément sur

] 0, + \infty [

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155. $Banque Mines-Ponts MP 2023$

On pose :

\forall n \in N, \forall x \in] 0, + \infty [, u_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{x + n}

On définit

f : x \mapsto n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

Q1-

f

est-elle bien définie ? Continue ?

Q2-Trouver un équivalent de

f

0^{+}

, puis en

+ \infty

Q3-Écrire

f (x)

sous la forme d'une intégrale.

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156. $Convergence uniforme d'une série \sum f_{n}$

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions définies sur un ensemble

X

et à valeurs dans

K

Q1-On suppose que la série

\sum f_{n}

converge uniformément sur

X

. Montrer que la suite

(f_{n})

converge uniformément vers la fonction nulle.

Q2-Montrer que la série

\sum f_{n + 1} - f_{n}

converge uniformément sur

X

si et seulement si la suite

(f_{n})

converge uniformément sur

X

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157. $CCINP MP 2018$

Soit

(λ_{n})

une suite strictement croissante de réels strictement positifs de limite

+ \infty

. On pose pour

n \in N

x \in R_{+}^{*}

f_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{- λ_{n} x}

Q1-Étudier la convergence simple de la série

\sum f_{n}

sur

R_{+}^{*}

Q2-Étudier sa convergence uniforme sur

R_{+}^{*}

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158. $CCINP PC 2017$

On considère pour

x > 0

la suite

(u_{n})

définie pour

n \in N

par

u_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{x + n}

f (x) = n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

Q1-

f

est-elle bien définie et continue sur

R_{+}^{*}

Q2-Montrer que

\forall x > 0, f (x) = \frac{1}{x} - k = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{x + k + 1}

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159. $Fonction ζ alternée$

On considère la fonction

S : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{x}}

Q1-Déterminer le domaine de définition

D

S

Q2-Déterminer la limite de

S

+ \infty

Q3-Montrer que pour tout

x \in D

2 S (x) - 1 = n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n - 1} u_{n} (x)

avec

u_{n} (x) = \frac{1}{n ^{x}} - \frac{1}{( n + 1 ) ^{x}}

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160. $CCINP MP 2021$

Soit

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + x}

Q1-Montrer que

S

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

et montrer que

\forall x \in R_{+}^{*}, S^{'} (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( n + x ) ^{2}}

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121.

122.Limite polynomiale sur [a,b]

123.Limite uniforme des dérivées f(n)

124.CCP MP

125.Théorème de Dini

126.Limite d'une intégrale à bornes

127.Convergence des itérées de 2x(1−x)

128.Convergence de la suite ncosn(x)sin(x)

129.Approximation polynomiale de x​

130.Interversion limite-intégrale de fn​

131.Convergence simple et uniforme de nαxn(1−x)

132.Convergence simple et uniforme de 1+n2x2ln(1+nx)​

133.Banque Mines-Ponts MP 2019

134.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2016

135.ENSEA/ENSIIE MP 2016

136.Convergence des itérées de sin(πfn​/2)

137.Régularité et variations de ∑1−x2nnx2n−1​

138.Mines-Ponts PC

139.Convergence simple de ∑an​sin(nx)

140.Critère d'uniformité de ∑an​sin(nx)

141.Mines-Télécom MP 2018

142.Mines-Télécom MP 2017

143.Banque Mines-Ponts MP 2019

144.CCINP PC 2019

145.CCINP MP 2019

146.Convergence et continuité de ∑e−nαx, bis

147.Arts et Métiers PSI

148.Centrale MP

149.E3A MP 2019

150.CCINP MP 2021

151.ENSAM Option T 1996

152.CCINP MP 2023

153.Somme explicite de ∑nxnsin(nx)​

154.CCINP MP 2023

155.Banque Mines-Ponts MP 2023

156.Convergence uniforme d'une série ∑fn​

157.CCINP MP 2018

158.CCINP PC 2017

159.Fonction ζ alternée

160.CCINP MP 2021

122. $Limite polynomiale sur [a, b]$

123. $Limite uniforme des dérivées f^{(n)}$

124. $CCP MP$

125. $Théorème de Dini$

126. $Limite d'une intégrale à bornes$

127. $Convergence des itérées de 2 x (1 - x)$

128. $Convergence de la suite n cos^{n} (x) sin (x)$

129. $Approximation polynomiale de x$

130. $Interversion limite-intégrale de f_{n}$

131. $Convergence simple et uniforme de n^{α} x^{n} (1 - x)$

132. $Convergence simple et uniforme de \frac{ln ( 1 + n x )}{1 + n ^{2} x ^{2}}$

133. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

134. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2016$

135. $ENSEA/ENSIIE MP 2016$

136. $Convergence des itérées de sin (π f_{n} /2)$

137. $Régularité et variations de \sum \frac{n x ^{2 n - 1}}{1 - x ^{2 n}}$

138. $Mines-Ponts PC$

139. $Convergence simple de \sum a_{n} sin (n x)$

140. $Critère d'uniformité de \sum a_{n} sin (n x)$

141. $Mines-Télécom MP 2018$

142. $Mines-Télécom MP 2017$

143. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

144. $CCINP PC 2019$

145. $CCINP MP 2019$

146. $Convergence et continuité de \sum e^{- n^{α} x}, bis$

147. $Arts et Métiers PSI$

148. $Centrale MP$

149. $E3A MP 2019$

150. $CCINP MP 2021$

151. $ENSAM Option T 1996$

152. $CCINP MP 2023$

153. $Somme explicite de \sum \frac{x ^{n} s i n ( n x )}{n}$

154. $CCINP MP 2023$

155. $Banque Mines-Ponts MP 2023$

156. $Convergence uniforme d'une série \sum f_{n}$

157. $CCINP MP 2018$

158. $CCINP PC 2017$

159. $Fonction ζ alternée$

160. $CCINP MP 2021$