Exercices de Suites et séries de fonctions en maths Spé (prépa) (page 3)

82. $Convergences de \frac{x ^{n} e ^{- x}}{n !}$

ccp

On introduit l'application sur

[0; + \infty [

f_{n} : x \mapsto \frac{x ^{n} e ^{- x}}{n !} .

Q1-Étudier les convergences de la suite de fonctions

(f_{n})

Q2-Étudier les convergences de la série de fonctions

\sum f_{n}

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83. $CU selon un paramètre alpha$

ccp

On considère les fonctions

f_{n} (x) = x (1 + n^{α} e^{- n x})

définies sur

R_{+}

pour

α \in R

n \in N^{*}

Q1-Montrer que

(f_{n})

converge simplement vers une fonction

f

à déterminer.

Q2-Déterminer les valeurs de

α

pour lesquelles il y a convergence uniforme.

Q3-Calculer

n \to + \infty lim \int_{0}^{1} x (1 + n e^{- n x}) d x

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84. $Étude de \frac{n x ^{2} e ^{- n x}}{1 - e ^{- x^{2}}}$

ccp

Étudier la suite de fonctions

(f_{n})

définie par

f_{n} (x) = \frac{n x ^{2} e ^{- n x}}{1 - e ^{- x^{2}}} .

85. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (x / n), bis$

ccp

Définition, continuité et classe

C^{1}

x \mapsto n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (\frac{x}{n}) .

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86. $Continuité et classe C^{1} de \sum \frac{a r c t a n ( n x )}{n ^{2}}, bis$

ccp

Montrer que

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} arctan (n x)

est continue sur

R

et de classe

C^{1}

sur

R^{*}

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87. $Deux normes non équivalentes$

ccp

On note

E

l'espace des suites réelles bornées

u = (u_{n})_{n \in N}

telles que

u_{0} = 0

Q1-Montrer que

N_{\infty} (u) = n \in N sup ∣ u_{n} ∣

N (u) = n \in N sup ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣

définissent des normes sur

E

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88. $Continuité de produits matriciels$

ccp

On munit

E = M_{p} (C)

de la norme

∥ M ∥ = 1 \leq i, j \leq p max ∣ m_{i, j} ∣

Q1-Soient

X

fixé dans

C^{p}

P

fixé dans

G L_{p} (C)

; montrer que

φ (M) = M X

ψ (M) = P^{- 1} M P

définissent des applications continues.

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89. $Généralisation du théorème de Rolle$

ccp

Soit

u, v, w

trois fonctions de classe

C^{2}

[a; b]

vers

R

(avec

a < b

). On suppose

u (a) u (b) u^{'} (a) v (a) v (b) v^{'} (a) w (a) w (b) w^{'} (a) = 0.

Montrer qu'il existe

c \in] a; b [

vérifiant

u (a) u (b) u^{''} (c) v (a) v (b) v^{''} (c) w (a) w (b) w^{''} (c) = 0.

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90. $Calcul de \sum \frac{z ^{2^{n}}}{1 - z ^{2^{n + 1}}}$

centrale

Convergence et calcul, pour

z

complexe tel que

∣ z ∣ < 1

, de

n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{2^{n}}}{1 - z ^{2^{n + 1}}} .

91. $Prolongement continu de ζ, bis$

centrale

Soit

ζ (s) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{s}}

avec

s \in C

Q1-Montrer la définition de

ζ (s)

pour

Re (s) > 1

Q2-Montrer qu'alors

\frac{ζ ( s )}{1 - 2 ^{1 - s}} = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{s}}

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92. $Solution continue de f (2 x) = 2 f (x) - 2 f (x)^{2}$

centrale

On étudie l'équation fonctionnelle

(E) : f (2 x) = 2 f (x) - 2 f (x)^{2} .

Q1-Quelles sont les solutions constantes sur

R

Q2-Soit

h : R \to R

. On pose

f (x) = x h (x)

pour tout

x \in R

. À quelle condition sur

h

, la fonction

f

est-elle solution de

(E)

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93. $Caractérisation de ln Γ$

centrale

Pour

n \in N^{*}

, on définit la fonction

u_{n}

sur

R_{+}^{*}

par

u_{n} (x) = x ln (1 + \frac{1}{n}) - ln (1 + \frac{x}{n}) .

Q1-Montrer que

\sum u_{n} (x)

converge si

x > 0

. Montrer que

f : x \mapsto - ln (x) + n = 1 \sum + \infty u_{n} (x)

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

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94. $Convergence de S_{N} vers π cot (π x), corrigé$

centrale

On définit la suite de fonctions

(S_{N})_{N \in N}

\forall N \in N, \forall x \in R ∖ Z, S_{N} (x) = n = - N \sum N \frac{1}{x + n} = \frac{1}{x} + n = 1 \sum N \frac{2 x}{x ^{2} - n ^{2}} .

Q1-Écrire avec Python une fonction S(N,x) renvoyant

S_{N} (x)

Q2-Écrire une fonction prenant trois paramètres N, a et b et traçant le graphe de

S_{N}

sur le segment

[a; b]

Q3-Montrer que la suite

(S_{N})

converge simplement sur

R ∖ Z

vers une fonction que l'on notera

S

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95. $Rayon et régularité de \sum \frac{ζ ( n )}{n} x^{n}$

mines

x > 1

, on pose

ζ (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{x}}

Q1-Quelle est la limite de

ζ (x)

quand

x \to + \infty

Q2-Pour quels réels

x

la série

\sum \frac{ζ ( n )}{n} x^{n}

converge-t-elle ?

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96. $Convergence normale d'une suite (u_{n})$

mines

On pose

u_{0} (x) = 1

u_{n + 1} (x) = \int_{0}^{x} u_{n} (t - t^{2}) d t

pour tout réel

x \in [0; 1]

et tout entier naturel

n

.
Montrer que la série de terme général

u_{n}

est normalement convergente.

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97. $Approximation uniforme sur U$

mines

On note

U

l'ensemble des complexes de module

1

et on considère

ω

un complexe de module

\neq = 1

.
Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction

z \mapsto \frac{1}{z - ω}

soit limite uniforme sur

U

d'une suite de fonctions polynomiales.

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98. $Existence d'une primitive discrète$

mines

Soit

f : R_{+} \to R

continue décroissante et intégrable.
Montrer l'existence d'une fonction

g : R_{+} \to R

continue vérifiant

\forall x \in R_{+}

g (x + 1) - g (x) = f (x)

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99. $Convergence simple et uniforme de \frac{1}{( 1 + x ) ^{1 + 1/ p}}$

mines

On pose, pour

x \geq 0

f_{p} (x) = \frac{1}{( 1 + x ) ^{1 + 1/ p}}

.
Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions

(f_{p})_{p \in N^{*}}

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100. $Construction de Γ par limite, bis$

mines

x > 0

n \in N^{*}

, soit

f_{n} (x) = \frac{n ^{x} n !}{\prod _{k = 0}^{n} ( x + k )}

Q1-Montrer l'existence de

Γ (x) = n \to + \infty lim f_{n} (x)

Q2-Montrer

ln Γ (x) = - ln x - γ x + n = 1 \sum + \infty (\frac{x}{n} - ln (1 + \frac{x}{n}))

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101. $Domaine et continuité de \sum u_{n} (x), bis$

mines

Soit

α

un réel. Pour tout entier

n > 0

et tout réel

x

, on pose

u_{n} (x) = \frac{n ^{α} x e ^{- n x}}{n ^{2} + 1}

.
On note

I

le domaine de définition de

S : x \mapsto n = 0 \sum \infty u_{n} (x)

Q1-Déterminer

I

Q2-Montrer que

S

est continue sur

R_{+}^{*}

Q3-A-t-on convergence normale sur

R_{+}

Q4-On suppose

α \geq 2

. Montrer que

k = n + 1 \sum \infty u_{k} (1/ n)

ne tend pas vers

0

. La convergence est-elle uniforme sur

I

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102. $Régularité de S (x) = \sum \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}, bis$

mines

On pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}

.
Étudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité de

S

. Donner un équivalent de

S

0

et en

1^{-}

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103. $Continuité et dérivabilité de \sum \frac{x}{n ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}, bis$

mines

Définition, continuité et dérivabilité de

S : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{x}{n ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}

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104. $Rayon spectral et convergence de M^{k}$

mines

Soit

M \in M_{n} (C)

. Montrer l'équivalence de :
(i) toute valeur propre de

M

est de module strictement inférieur à

1

;
(ii) la suite

(M^{k})

tend vers

0

;
(iii) la série de terme général

M^{k}

converge.

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105. $Limite de A^{k} antisymétrique$

mines

Soit

A \in M_{n} (R)

une matrice antisymétrique telle que la suite

(A^{k})_{k \in N}

converge vers

B

dans

M_{n} (R)

.
Que dire de

B

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106. $Inégalité entre normes et max$

mines

Soit

(E, ∥ \cdot ∥)

un espace vectoriel normé sur

K

(

K = R

C

Q1-Montrer que

∥ x ∥ + ∥ y ∥ \leq 2 max (∥ x + y ∥, ∥ x - y ∥)

Q2-Montrer que l'on peut avoir l'égalité avec

x \neq = 0

y \neq = 0

Q3-Si la norme est euclidienne, montrer

∥ x ∥ + ∥ y ∥ \leq 2 max (∥ x + y ∥, ∥ x - y ∥)

Q4-Peut-on améliorer la constante

2

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107. $Limite polynomiale sur R$

mines

Soient

d

un entier naturel et

(f_{n})

une suite de fonctions polynomiales de

R

dans

R

de degré au plus

d

. On suppose que cette suite converge simplement.
Montrer que la limite est polynomiale de degré au plus

d

, la convergence étant de plus uniforme sur tout segment.

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108. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

Soit

n \in N^{*}

. On note

(E_{n})

l'équation

\frac{ln ( x )}{x} = \frac{1}{n}

Q1-Montrer qu'il existe des suites

(u_{n})

(v_{n})

telles que, pour

n

assez grand,

u_{n}

v_{n}

vérifient

(E_{n})

0 < u_{n} < e < v_{n}

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109. $Centrale$

Q1-Pour

n \in N^{*}

, montrer que l'équation

k = 1 \sum n \frac{x ^{k}}{k} = 1

admet une unique solution

x_{n}

dans

R_{+}

Q2-Etudier la convergence de la suite

(x_{n})

Q3-Calculer sa limite.

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110. $ENSEA$

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

, l'équation

cos x = n x

possède une unique solution

x_{n} \in [0, 1]

Q2-Déterminer la limite de

(x_{n})

Q3-Etudier la monotonie de

(x_{n})

Q4-Etablir que

x_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{n}

Q5-Déterminer un équivalent de

x_{n} - \frac{1}{n}

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111. $CCINP (ou CCP) PC 2014$

Montrer que

k = 1 \sum n (\frac{k}{n ^{2}} - sin (\frac{k}{n ^{2}}))

tend vers

0

quand

n

tend vers

+ \infty

.

En déduire la limite de

k = 1 \sum n sin (\frac{k}{n ^{2}})

quand

n

tend vers

+ \infty

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112. $Mines-Télécom MP 2018$

Q1-Déterminer l'ensemble de définition de la série

f : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{1}{sh ( n x )}

. Donner un équivalent simple de

f

0

Q2-Mêmes questions avec

g : x \mapsto n = 1 \sum + \infty \frac{1}{sh ^{2} ( n x )}

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113. $Mines-Télécom MP 2017$

On définit la suite de fonctions

(g_{n})

[0, 1]

dans

R

par

g_{0} = 1

\forall n \in N, \forall x \in [0, 1], g_{n + 1} (x) = \int_{0}^{x} g_{n} (1 - t) d t

Q1-Montrer que pour tout

n \in N

g_{n}

est bornée et que

\forall n \in N^{*}, ∥ g_{n + 1} ∥_{\infty} \leq \frac{1}{2} ∥ g_{n - 1} ∥_{\infty}

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114. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

Q1-Existe-t-il une suite de réels

(a_{n})_{n \in N}

telle que

\forall k \in N^{*}, n = 0 \sum + \infty a_{n}^{k} = k

Q2-Existe-t-il une suite de réels

(a_{n})_{n \in N}

telle que

\forall k \in N^{*}, n = 0 \sum + \infty a_{n}^{k} = \frac{1}{k ^{2}}

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115. $Arts et Métiers PSI$

Soit

f

une fonction continue sur

[a, b]

à valeurs dans

R

. Soit

(f_{n})

la suite de fonctions définies par

f_{0} = f

et pour tout

n \in N

\forall x \in [a, b], f_{n + 1} (x) = \int_{a}^{x} f_{n} (t) d t

Q1-Déterminer la nature de la convergence de la série

n \in N \sum f_{n}

sur

[a, b]

Q2-On note

F

la somme de cette série. Montrer que

\forall x \in [a, b], F (x) = f (x) + e^{x} \int_{a}^{x} e^{- t} f (t) d t

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116. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Q1-Etudier la convergence simple de

n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n} e ^{- n x}}{n + 1}

sur

R_{+}

. On note, pour

x \in R_{+}

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n} e ^{- n x}}{n + 1} .

Q2-La série de fonctions considérée converge-t-elle normalement sur

R_{+}

? Converge-t-elle uniformément ?

Q3-Montrer que sa somme est continue sur

R_{+}

et donner sa limite en

+ \infty

Q4-Résoudre

y^{'} - y = - \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}

sur

] 0, + \infty [

Q5-En déduire l'expression de

S

à l'aide des fonctions usuelles.

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117. $CCINP (ou CCP) MP 2023$

Pour

n \in N^{*}

x \in R

, on pose

v_{n} (x) = n x e^{- n x}

. Soit

S : x \mapsto n = 1 \sum + \infty v_{n} (x)

Q1-Donner l'ensemble de définition de

S

Q2-Montrer que

S

est continue sur son ensemble de définition.

Q3-Donner la limite de

S

+ \infty

à l'aide du théorème de la double limite.

Q4-

n \geq 1 \sum v_{n}

converge-t-elle uniformément sur

] 0, + \infty [

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118. $CCINP (ou CCP) MP 2018$

Soit

(λ_{n})

une suite strictement croissante de réels strictement positifs de limite

+ \infty

. On pose pour

n \in N

x \in R_{+}^{*}

f_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{- λ_{n} x}

Q1-Etudier la convergence simple de la série

\sum f_{n}

sur

R_{+}^{*}

Q2-Etudier sa convergence uniforme sur

R_{+}^{*}

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119. $CCINP (ou CCP) PC 2017$

On considère pour

x > 0

la suite

(u_{n})

définie pour

n \in N

par

u_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{x + n}

f (x) = n = 0 \sum + \infty u_{n} (x)

Q1-

f

est-elle bien définie et continue sur

R_{+}^{*}

Q2-Montrer que

\forall x > 0, f (x) = \frac{1}{x} - k = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{x + k + 1}

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120. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Soit

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + x}

Q1-Montrer que

S

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

et montrer que

\forall x \in R_{+}^{*}, S^{'} (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( n + x ) ^{2}}

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81.

82.Convergences de n!xne−x​

83.CU selon un paramètre alpha

84.Étude de 1−e−x2nx2e−nx​

85.Régularité de ∑n(−1)n​sin(x/n), bis

86.Continuité et classe C1 de ∑n2arctan(nx)​, bis

87.Deux normes non équivalentes

88.Continuité de produits matriciels

89.Généralisation du théorème de Rolle

90.Calcul de ∑1−z2n+1z2n​

91.Prolongement continu de ζ, bis

92.Solution continue de f(2x)=2f(x)−2f(x)2

93.Caractérisation de lnΓ

94.Convergence de SN​ vers πcot(πx), corrigé

95.Rayon et régularité de ∑nζ(n)​xn

96.Convergence normale d'une suite (un​)

97.Approximation uniforme sur U

98.Existence d'une primitive discrète

99.Convergence simple et uniforme de (1+x)1+1/p1​

100.Construction de Γ par limite, bis

101.Domaine et continuité de ∑un​(x), bis

102.Régularité de S(x)=∑1+xnxn​, bis

103.Continuité et dérivabilité de ∑n(1+n2x2)x​, bis

104.Rayon spectral et convergence de Mk

105.Limite de Ak antisymétrique

106.Inégalité entre normes et max

107.Limite polynomiale sur R

108.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

109.Centrale

110.ENSEA

111.CCINP (ou CCP) PC 2014

112.Mines-Télécom MP 2018

113.Mines-Télécom MP 2017

114.Banque Mines-Ponts MP 2019

115.Arts et Métiers PSI

116.CCINP (ou CCP) MP 2021

117.CCINP (ou CCP) MP 2023

118.CCINP (ou CCP) MP 2018

119.CCINP (ou CCP) PC 2017

120.CCINP (ou CCP) MP 2021

82. $Convergences de \frac{x ^{n} e ^{- x}}{n !}$

83. $CU selon un paramètre alpha$

84. $Étude de \frac{n x ^{2} e ^{- n x}}{1 - e ^{- x^{2}}}$

85. $Régularité de \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (x / n), bis$

86. $Continuité et classe C^{1} de \sum \frac{a r c t a n ( n x )}{n ^{2}}, bis$

87. $Deux normes non équivalentes$

88. $Continuité de produits matriciels$

89. $Généralisation du théorème de Rolle$

90. $Calcul de \sum \frac{z ^{2^{n}}}{1 - z ^{2^{n + 1}}}$

91. $Prolongement continu de ζ, bis$

92. $Solution continue de f (2 x) = 2 f (x) - 2 f (x)^{2}$

93. $Caractérisation de ln Γ$

94. $Convergence de S_{N} vers π cot (π x), corrigé$

95. $Rayon et régularité de \sum \frac{ζ ( n )}{n} x^{n}$

96. $Convergence normale d'une suite (u_{n})$

97. $Approximation uniforme sur U$

98. $Existence d'une primitive discrète$

99. $Convergence simple et uniforme de \frac{1}{( 1 + x ) ^{1 + 1/ p}}$

100. $Construction de Γ par limite, bis$

101. $Domaine et continuité de \sum u_{n} (x), bis$

102. $Régularité de S (x) = \sum \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}, bis$

103. $Continuité et dérivabilité de \sum \frac{x}{n ( 1 + n ^{2} x ^{2} )}, bis$

104. $Rayon spectral et convergence de M^{k}$

105. $Limite de A^{k} antisymétrique$

106. $Inégalité entre normes et max$

107. $Limite polynomiale sur R$

108. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

109. $Centrale$

110. $ENSEA$

111. $CCINP (ou CCP) PC 2014$

112. $Mines-Télécom MP 2018$

113. $Mines-Télécom MP 2017$

114. $Banque Mines-Ponts MP 2019$

115. $Arts et Métiers PSI$

116. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

117. $CCINP (ou CCP) MP 2023$

118. $CCINP (ou CCP) MP 2018$

119. $CCINP (ou CCP) PC 2017$

120. $CCINP (ou CCP) MP 2021$