Exercices de Topologie en maths Spé (prépa)

1. $Adhérences forment intervalle$

Soit

a

une suite de réels telle que

a_{n + 1} - a_{n}

tend vers

0

. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de

a

est un intervalle.

2. $Compact, unique adhérence$

Soit

K

une partie compacte d'un espace vectoriel normé

E

.
Montrer que si une suite

(u_{n})

d'éléments de

K

n'a qu'une seule valeur d'adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.

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3. $Adhérences a et - 2 a$

Soit

(u_{n})

une suite réelle bornée telle que

u_{n} + \frac{1}{2} u_{2 n} \to 0

.
Montrer que si

a

est une valeur d'adhérence de

(u_{n})

alors

- 2 a

l'est aussi.
En déduire que

(u_{n})

converge.

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4. $(u_{n} + u_{2 n} /2) converge$

Déterminer les suites réelles bornées telle que

(u_{n} + \frac{u _{2 n}}{2})_{n \geq 0}

converge.

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5. $Fermé d'un compact$

Montrer que toute partie fermée d'une partie compacte est elle-même compacte.

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6. $K + L compact$

Soient

K

L

deux compacts d'un espace vectoriel normé

E

.
Établir que

K + L = {x + y ∣ x \in K, y \in L}

est un compact de

E

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7. $Critère de compacité par fibres$

Soient

E

F

deux espaces normés,

A

une partie fermée de

E

B

une partie compacte de

F

.
Soit

f : A \to B

une application vérifiant :
-

f^{- 1} ({y})

est compact pour tout

y \in B

;
- l'image de tout fermé de

A

est un fermé de

B

.
Montrer que

A

est compact.

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8. $Boule unité fermée et dim finie$

Soient

(E, ∥ \cdot ∥)

un espace vectoriel normé et

F

un sous-espace vectoriel de dimension finie de

E

Q1-Montrer

\forall x \in E, \exists y \in F, d (x, F) = ∥ x - y ∥

Q2-Montrer, si

F \neq = E

, qu'il existe

u \in E

tel que

d (u, F) = ∥ u ∥ = 1

Q3-Montrer que

E

est de dimension finie si, et seulement si, la boule unité fermée

B = {x \in E ∣ ∥ x ∥ \leq 1}

est une partie compacte.

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9. $Compacité de l'ensemble de Perron$

Soit

n \in N

A \in M_{n} (R)

une matrice à coefficients strictement positifs.
Pour

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

y = (y_{1}, \dots, y_{n})

choisis dans

R^{n}

, on écrit

x \leq y

x_{i} \leq y_{i}

pour tout indice

i

.
Soit

S = {λ \in R_{+} ∣ \exists x \in R^{n} ∖ {0}, 0 \leq x et λ x \leq A x} .

Q1-Écrire un programme Python qui renvoie la valeur propre de module maximal d'une matrice passée en argument.

Q2-Tester ce programme pour dix matrices carrées à coefficients pris aléatoirement dans

[1; 2 [

Q3-Soit

λ \in S

. Montrer qu'il existe

x \in R^{n}

tel que

0 \leq x

i = 1 \sum n x_{i} = 1

λ x \leq A x

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10. $Lemme du nombre de Lebesgue$

Soit

K

une partie compacte d'un espace normé

E

(Ω_{i})_{i \in I}

une famille d'ouverts de

E

recouvrant le compact

K

, c'est-à-dire vérifiant

K \subset i \in I ⋃ Ω_{i} .

Q1-Montrer qu'il existe un réel

α > 0

tel que, pour tout

x \in K

, il existe au moins un indice

i \in I

tel que la boule

B (x, α)

soit incluse dans

Ω_{i}

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11. $Compact inclus dans un ouvert$

Soit

E

un espace vectoriel normé de dimension finie.

Q1-Soit

A

une partie non vide de

E

. Montrer que l'application

x \mapsto d (x, A)

est continue sur

E

Q2-Soit

K

un compact non vide inclus dans un ouvert

U

. Montrer qu'il existe

α > 0

tel que

\forall x \in K, B (x, α) \subset U

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12. $Stricte contraction, point fixe$

Soient

K

un compact non vide d'un espace normé

E

f : K \to K

telle que

\forall (x, y) \in K^{2}, x \neq = y ⟹ ∥ f (x) - f (y) ∥ < ∥ x - y ∥.

Q1-Montrer que

f

possède au plus un point fixe.

Q2-Justifier qu'il existe

c \in K

tel que

\forall x \in K, ∥ f (x) - x ∥ \geq ∥ f (c) - c ∥

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13. $Point fixe par contraction stricte$

Soit

K

un compact non vide d'un espace vectoriel normé

E

de dimension finie.
On considère une application

f : K \to K

vérifiant

\forall x, y \in K, x \neq = y ⟹ d (f (x), f (y)) < d (x, y) .

Montrer que

f

admet un unique point fixe.

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14. $Antécédent d'un segment par f$

Soient

f

une application continue de

R

dans

R

I

un segment inclus dans l'image de

f

.
Montrer qu'il existe un segment

J

tel que

f (J) = I

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15. $f ρ -lipschitz sur compact$

Soit

K

une partie compacte non vide d'un espace vectoriel normé

E

de dimension finie.
On considère

f : K \to K

une application

ρ

-lipschitzienne i.e. vérifiant

\forall x, y \in K, ∥ f (y) - f (x) ∥ \leq ρ ∥ y - x ∥.

Q1-On suppose

ρ < 1

. Montrer que

f

admet un point fixe.

Q2-On suppose

ρ = 1

K

convexe. Montrer à nouveau que

f

admet un point fixe. On pourra introduire, pour

a \in K

n \in N^{*}

, les fonctions

f_{n} : x \mapsto \frac{a}{n} + \frac{n - 1}{n} f (x)

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16. $Réciproque continue sur un compact$

Soient

E

F

deux espaces vectoriels normés de dimensions finies.
Soient

K

un compact de

E

f : K \to F

une application continue injective.

Q1-On pose

L = f (K)

. Montrer que

L

est compact.

Q2-Montrer que

f^{- 1} : L \to K

est continue.

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17. $Uniforme continuité si limite finie$

Soit

f

une fonction numérique continue sur

[0; + \infty [

telle que

f

ait une limite finie

ℓ

+ \infty

.
Démontrer que

f

est uniformément continue sur

[0; + \infty [

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18. $Boule stable par un endomorphisme$

E

désigne un espace vectoriel euclidien et

f

un endomorphisme de

E

Q1-Soit

x \in E

r > 0

. Justifier que la boule

B_{f} (x, r)

est compacte. Que dire de

f (B_{f} (x, r))

Q2-Soit

x \in E

et un réel

r

tel que

0 < r < ∥ x ∥

. On note

K = B_{f} (x, r)

et on suppose

f (K) \subset K

. On fixe

a \in K

et on pose, pour tout

n \in N^{*}

y_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f^{k} (a)

. Justifier que

(y_{n})_{n \geq 1}

est une suite d'éléments de

K

et que

f (y_{n}) - y_{n}

tend vers

0_{E}

. En déduire qu'il existe un vecteur

w \in K

tel que

f (w) = w

Q3-On reprend les notations précédentes et on suppose toujours

f (K) \subset K

. Montrer que

1 \in Sp f

Sp f \subset [- 1; 1]

Q4-À l'aide d'un exemple choisi en dimension

3

, montrer que

f

n'est pas nécessairement diagonalisable.

Q5-Dans cette dernière question, on choisit

dim E = 3

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

base orthonormée de

E

K = {x \cdot e_{1} + y \cdot e_{2} + z \cdot e_{3} ∣ \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1}

avec

a, b, c > 0

. On suppose

f (K) = K

. Montrer que

1

- 1

est valeur propre de

f

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19. $Coefficients diagonaux égalisés$

Soit

A \in M_{n} (R)

(avec

n \geq 2

). On souhaite établir qu'il existe une matrice

P \in O_{n} (R)

telle que les coefficients diagonaux de

P^{- 1} A P

soient tous égaux.

Q1-Établir la propriété quand

n = 2

Q2-Pour

M = (m_{i, j}) \in M_{n} (R)

, on pose

δ (M) = i = 1 \sum n - 1 ∣ m_{i + 1, i + 1} - m_{i, i} ∣

. Montrer que la fonction

φ : P \in O_{n} (R) \mapsto δ (P^{- 1} A P)

présente un minimum.

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20. $Cône R_{+} \cdot K fermé$

Soit

K

un compact d'un espace vectoriel normé

E

tel que

0 \in / K

.
On forme

F = {λ \cdot x ∣ λ \in R_{+}, x \in K}

. Montrer que

F

est une partie fermée.

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21. $Distance positive de deux compacts$

Soient

K

L

deux compacts disjoints d'un

K

-espace vectoriel.
Montrer que

d (K, L) > 0

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22. $d (K, L) > 0 compacts$

Soient

K

L

deux compacts non vides et disjoints. Montrer

d (K, L) = x \in K, y \in L in f ∥ y - x ∥ > 0.

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23. $Distance à un fermé atteinte$

Soit

F

une partie fermée non vide d'un espace vectoriel normé de dimension finie

E

Q1-Montrer que, pour tout

x \in E

, la distance de

x

F

est atteinte en un certain élément

y_{0} \in F

Q2-Y a-t-il unicité de cet élément

y_{0}

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24. $Graphe fermé et continuité de f$

Soient

f

une fonction de

R

dans

R

Γ_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in R}

son graphe.

Q1-On suppose

f

continue. Montrer que

Γ_{f}

est fermé.

Q2-On suppose

f

bornée et

Γ_{f}

fermé dans

R^{2}

. Montrer que

f

est continue.

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25. $Boule fermée minimale contenant A$

Soit

A

une partie bornée non vide d'un

R

-espace vectoriel de dimension finie

E

Q1-Montrer qu'il existe une boule fermée de rayon minimal contenant

A

Q2-On suppose l'espace

E

euclidien, montrer l'unicité de la boule précédente.

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26. $Épaississement d'un fermé, boules$

Soit

E

K

-espace vectoriel et

F

une partie fermée de

E

. On pose

F^{'} = x \in F ⋃ \overline{B (x, 1)}

Q1-Soit

F

une partie fermée d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie. L'ensemble

F^{'} = x \in F ⋃ \overline{B (x, 1)}

est-il fermé ?

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27. $Application propre et fermés$

Soient

E_{1}

E_{2}

deux espaces vectoriels normés réels,

f

une application de

E_{1}

dans

E_{2}

telle que pour tout compact

K

E_{2}

f^{- 1} (K)

soit un compact de

E_{1}

.
Montrer, si

F

est un fermé de

E_{1}

, que

f (F)

est un fermé de

E_{2}

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28. $Sev fermé en dim finie$

Soit

F

un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé

E

Q1-On suppose

E

de dimension finie. Montrer que

\overline{F} = F

Q2-On ne suppose plus

E

de dimension finie, montrer qu'il est possible que

\overline{F} \neq = F

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29. $Limites en : fractions$

Étudier les limites en

(0, 0)

des fonctions suivantes :

Q1-

f (x, y) = \frac{x ^{3}}{y}

Q2-

f (x, y) = \frac{x + 2 y}{x ^{2} - y ^{2}}

Q3-

f (x, y) = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{∣ x ∣ + ∣ y ∣}

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30. $Limites en (0, 0) : homogènes$

Étudier les limites en

(0, 0)

des fonctions suivantes :

Q1-

f (x, y) = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}}

Q2-

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{4} + y ^{4}}

Q3-

f (x, y) = \frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}}

Q4-

f (x, y) = \frac{x y}{x - y}

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31. $Limites en (0, 0), transcendants$

Étudier les limites en

(0, 0)

des fonctions suivantes :

Q1-

f (x, y) = \frac{sin ( x y )}{x ^{2} + y ^{2}}

Q2-

f (x, y) = \frac{1 - cos ( x y )}{x y ^{2}}

Q3-

f (x, y) = x^{y} = e^{y l n x}

Q4-

f (x, y) = \frac{sh x \cdot sh y}{x + y}

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32. $Continuité de x^{y} prolongée en 0$

Soit

f : R_{+} \times R_{+}^{*} \to R

définie par

f (x, y) = x^{y}

pour

x > 0

f (0, y) = 0

Q1-Montrer que

f

est une fonction continue.

Q2-Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur

R_{+} \times R_{+}

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33. $Limite radiale de F (x, y)$

Soit

f : R \to R

une fonction de classe

C^{1}

F : R^{2} ∖ {(0, 0)} \to R

définie par

F (x, y) = \frac{f ( x ^{2} + y ^{2} ) - f ( 0 )}{x ^{2} + y ^{2}} .

Déterminer

(x, y) \to (0, 0) lim F (x, y)

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34. $Continuité par morceaux sur R^{2}$

Soit

f : R^{2} \to R

définie par

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 x ^{2} + y ^{2} - 1} - \frac{1}{2} x^{2} si x^{2} + y^{2} > 1 sinon.

Montrer que

f

est continue.

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35. $TVI sur une partie convexe$

Soit

A

une partie convexe non vide de

R^{2}

f : A \to R

une fonction continue. Soit

a

b

deux points de

A

y

un réel tels que

f (a) \leq y \leq f (b)

.
Montrer qu'il existe

x \in A

tel que

f (x) = y

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36. $Deux points opposés avec g (A) = g (B)$

Soient

g : R^{2} \to R

continue et

C

un cercle de centre

O

et de rayon

R > 0

Q1-Montrer qu'il existe deux points

A

B

C

diamétralement opposés tels que

g (A) = g (B)

Q2-Montrer qu'il existe deux points

C

D

C

, se déduisant l'un de l'autre par un quart de tour tels que

g (C) = g (D)

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37. $Recollement sur deux fermés$

Soient

E_{1}

E_{2}

deux parties fermées d'un espace vectoriel normé

E

telles que

E = E_{1} \cup E_{2}

.
Montrer qu'une application

f : E \to F

est continue si, et seulement si, ses restrictions

f_{1}

f_{2}

au départ de

E_{1}

et de

E_{2}

le sont.

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38. $Distance à A est lipschitzienne$

Soient

A

une partie non vide de

R^{2}

x

un point de

R^{2}

. On note

d (x, A) = a \in A in f ∥ x - a ∥.

Montrer que l'application

d : R^{2} \to R

est lipschitzienne.

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39. $Constante de Lipschitz, une norme$

Soit

E

l'espace formé des fonctions réelles définies sur

[a; b]

, lipschitziennes et s'annulant en

a

.
Montrer que l'application

N : E \to R

qui à

f \in E

associe le réel

N (f) = in f {k \in R_{+} ∣ \forall (x, y) \in [a; b]^{2}, ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq k ∣ x - y ∣}

définit une norme sur

E

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40. $Normes N_{a} équivalentes sur L$

Soient

A

une partie bornée non vide d'un espace vectoriel normé

(E, N)

L

le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de

A

dans

E

Q1-Montrer que les éléments de

L

sont des fonctions bornées.

Q2-Pour

f \in L

, soit

K_{f} = {k \in R_{+} ∣ \forall (x, y) \in A^{2}, N (f (x) - f (y)) \leq k N (x - y)}

. Justifier l'existence de

c (f) = in f K_{f}

puis montrer

c (f) \in K_{f}

Q3-Soient

a \in A

N_{a} : L \to R_{+}

définie par

N_{a} (f) = c (f) + N (f (a))

. Montrer que

N_{a}

est une norme sur

L

Q4-Soient

a, b \in A

. Montrer que les normes

N_{a}

N_{b}

sont équivalentes.

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1.Adhérences forment intervalle

2.Compact, unique adhérence

3.Adhérences a et −2a

4.(un​+u2n​/2) converge

5.Fermé d'un compact

6.K+L compact

7.Critère de compacité par fibres

8.Boule unité fermée et dim finie

9.Compacité de l'ensemble de Perron

10.Lemme du nombre de Lebesgue

11.Compact inclus dans un ouvert

12.Stricte contraction, point fixe

13.Point fixe par contraction stricte

14.Antécédent d'un segment par f

15.f ρ-lipschitz sur compact

16.Réciproque continue sur un compact

17.Uniforme continuité si limite finie

18.Boule stable par un endomorphisme

19.Coefficients diagonaux égalisés

20.Cône R+​⋅K fermé

21.Distance positive de deux compacts

22.d(K,L)>0 compacts

23.Distance à un fermé atteinte

24.Graphe fermé et continuité de f

25.Boule fermée minimale contenant A

26.Épaississement d'un fermé, boules

27.Application propre et fermés

28.Sev fermé en dim finie

29.Limites en (0,0) : fractions

30.Limites en (0,0) : homogènes

31.Limites en (0,0), transcendants

32.Continuité de xy prolongée en 0

33.Limite radiale de F(x,y)

34.Continuité par morceaux sur R2

35.TVI sur une partie convexe

36.Deux points opposés avec g(A)=g(B)

37.Recollement sur deux fermés

38.Distance à A est lipschitzienne

39.Constante de Lipschitz, une norme

40.Normes Na​ équivalentes sur L

1. $Adhérences forment intervalle$

2. $Compact, unique adhérence$

3. $Adhérences a et - 2 a$

4. $(u_{n} + u_{2 n} /2) converge$

5. $Fermé d'un compact$

6. $K + L compact$

7. $Critère de compacité par fibres$

8. $Boule unité fermée et dim finie$

9. $Compacité de l'ensemble de Perron$

10. $Lemme du nombre de Lebesgue$

11. $Compact inclus dans un ouvert$

12. $Stricte contraction, point fixe$

13. $Point fixe par contraction stricte$

14. $Antécédent d'un segment par f$

15. $f ρ -lipschitz sur compact$

16. $Réciproque continue sur un compact$

17. $Uniforme continuité si limite finie$

18. $Boule stable par un endomorphisme$

19. $Coefficients diagonaux égalisés$

20. $Cône R_{+} \cdot K fermé$

21. $Distance positive de deux compacts$

22. $d (K, L) > 0 compacts$

23. $Distance à un fermé atteinte$

24. $Graphe fermé et continuité de f$

25. $Boule fermée minimale contenant A$

26. $Épaississement d'un fermé, boules$

27. $Application propre et fermés$

28. $Sev fermé en dim finie$

29. $Limites en : fractions$

30. $Limites en (0, 0) : homogènes$

31. $Limites en (0, 0), transcendants$

32. $Continuité de x^{y} prolongée en 0$

33. $Limite radiale de F (x, y)$

34. $Continuité par morceaux sur R^{2}$

35. $TVI sur une partie convexe$

36. $Deux points opposés avec g (A) = g (B)$

37. $Recollement sur deux fermés$

38. $Distance à A est lipschitzienne$

39. $Constante de Lipschitz, une norme$

40. $Normes N_{a} équivalentes sur L$